本書講授的線性代數(shù)是面向非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的一門公共基礎(chǔ)課，它不僅為我們提供學(xué)好后繼課程的數(shù)學(xué)知識，而且為我們提供在各個學(xué)科領(lǐng)域中通用的分析問題與解決問題的方法。
　　本書是我們?yōu)榱诉m應(yīng)MOOC需要編著的，由我們制作的線性代數(shù)MOOC已在中國大學(xué)MOOC上線。我們按照教育部高等學(xué)校教學(xué)指導(dǎo)委員會以及全國碩士研究生入學(xué)考試大綱對線性代數(shù)課程的要求，基于MOOC的特點，本著“由淺人深、由易到難”的原則，對線性代數(shù)的課程內(nèi)容做了系統(tǒng)整合，使得課程結(jié)構(gòu)更加緊湊，課程的前后順序更加合理，使得這門課更加容易教與學(xué)。全書分為6章。
　　第一章講線性方程組。我們由線性方程組的化簡，引出線性方程組的初等變換（互換兩個方程的位置，某個方程乘非零常數(shù)，某個方程的倍數(shù)加到另外一個方程上）；將方程組等價到增廣矩陣、方程組的初等變換等價到增廣矩陣的初等行變換，定義一般矩陣的初等行變換；用矩陣的階梯形的非零行數(shù)定義矩陣的秩；給出線性方程組有解的充分必要條件是線性方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，線性方程組有解并且解唯一的充分必要條件是線性方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩且等于方程組的未知數(shù)的個數(shù)；通過方程組的增廣矩陣的簡化階梯形給出求有解線性方程組的解的方法。
　　第二章講矩陣代數(shù)。我們定義了矩陣的4種運(yùn)算：加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置。在定義矩陣乘法的時候，我們特別注重矩陣的行與列的整體性，將矩陣按行或者按列表示，這不僅講清了矩陣乘法的本質(zhì)，也為后面講矩陣的分塊、向量以及向量組做了鋪墊和準(zhǔn)備。進(jìn)一步地，矩陣的按行、按列表示也為證明矩陣運(yùn)算的性質(zhì)提供了極大的方便。
　　第三章講向量空間，這是線性代數(shù)的核心內(nèi)容。在這一章，判斷向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)，以及向量可否由向量組線性表示的工具是線性方程組，求向量組的極大無關(guān)組與秩的工具是矩陣以及矩陣的初等行變換。矩陣與向量組是可以互相轉(zhuǎn)換的。一個矩陣可以決定3個向量空間：零空間，列空間，行空間。由矩陣的零空間可以給出線性方程組的解的向量形式，這樣就完善了線性方程組的解的理論。在n元實向量空間上定義了兩個向量的內(nèi)積，向量的長度，以及兩個向量的正交，給出了線性無關(guān)向量組的施密特正交化方法，為講行列式在幾何方面的應(yīng)用與實對稱矩陣的相似對角化準(zhǔn)備好了工具。
　　第四章講行列式。我們采用遞歸的方法定義行列式，先給出2階行列式的定義與性質(zhì)，然后利用行列式的第1行的展開，遞歸定義當(dāng)n>2時的n階行列式。這樣定義既容易理解，也方便低階時直接計算，并且它還是行列式按行展開的一種特殊情況。關(guān)于行列式性質(zhì)的證明，只要熟悉數(shù)學(xué)歸納法，并不是很難理解。而且弄懂一個性質(zhì)的證明即可，方法都是一樣的。作為行列式在代數(shù)方面的應(yīng)用，我們證明了矩陣的秩等于矩陣的非零子式的最大階數(shù)，通過伴隨矩陣證明了求解nxn線性方程組的克拉默法則。作為行列式在幾何方面的應(yīng)用，我們給出了3階行列式的幾何意義：實數(shù)集上的3階行列式的絕對值等于以行列式的行向量組或者列向量組為鄰邊構(gòu)成的平行六面體的體積。
　　第五章講方陣的特征值與特征向量。這一章分為兩部分，第1部分討論方陣可以相似對角化的條件，第2部分證明實對稱矩陣可以用正交矩陣化為對角矩陣。第2部分為下一章介紹用正交替換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形提供了理論基礎(chǔ)。
　　第六章講二次型與正定矩陣。這一章的前半部分介紹了化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的3種方法（配方法，初等變換法，正交替換法），前兩種方法適用于任意二次型，第3種方法只能用于實二次型；后半部分討論實二次型的定性與正定矩陣的充分必要條件。
　　線性代數(shù)的內(nèi)容是自封閉的。在本書中，除了代數(shù)學(xué)基本定理（超出了范圍）以及少數(shù)幾個淺顯易懂的結(jié)論（避免過于冗長）以外，其他結(jié)論都給出了證明。此外，我們對線性代數(shù)的實際背景與歷史人物作了適當(dāng)介紹。所以，這是一本內(nèi)容豐富而又全面的線性代數(shù)教材，它既適用于課堂講授，也適用于自學(xué)。如果將本書與我們制作的MOOC視頻一起使用，采用“翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)法，那么將會極大地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，收到非常好的效果。
　　本書可以作為30到60學(xué)時之間的線性代數(shù)課程的教材或者教學(xué)參考書。如果學(xué)時數(shù)比較少，那么定理1.3、定理1.5、定理2.9、定理5.5、定理5.6、定理5.9、定理6.5、定理6.9的證明，不相容方程組的最小二乘法以及行列式的幾何應(yīng)用都可以作為選修內(nèi)容，靈活處理。
　　本書的出版得到北京理工大學(xué)“十三五”教材規(guī)劃的資助；我們的許多同事對本書的寫作提供了慷慨的幫助；我們的學(xué)生在使用本書初稿時，指出了若干錯誤；高等教育出版社的張長虹編輯對我們的寫作提供了許多指導(dǎo)；本書的責(zé)任編輯李茜為本書的出版做了大量工作。在此一并表示衷心感謝！