數(shù)獨終盤的排列組合

　　數(shù)獨中的數(shù)字排列千變?nèi)f化，那么究竟有多少種終 盤的數(shù)字組合呢？約有6.67×1021 種組合！ 2005 年由 Bertram Felgenhauer 和 Frazer Jarvis 計算出該數(shù)字，如 果將重復(fù)（如數(shù)字交換、對稱等）除外不計算，那么有5 472 730 538 種組合。數(shù)獨終盤的組合數(shù)量都如此驚人， 那么數(shù)獨的題目數(shù)量就更加不計其數(shù)了。

　　數(shù)獨的基本元素

　　單元格：數(shù)獨中最小的單元，標準數(shù)獨中共有

　　81 個；

　　行：橫向 9 個單元格的集合；

　　列：縱向 9 個單元格的集合；

　　宮：粗黑線劃分的區(qū)域，標準數(shù)獨中為 3×3 的

　　9 個單元格的集合；

　　已知數(shù)：數(shù)獨初始盤面給出的數(shù)字；

　　候選數(shù)：每個空單元格中可以填入的數(shù)字。

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　　數(shù)獨的基本規(guī)則

　　標準數(shù)獨的規(guī)則為：每一行、每一列及每一宮填 入數(shù)字 1~9 且不能重復(fù)，使得每行（從左到右），每列 （從上到下）以及每個九宮格（加粗線條部分）都要包 含 1~9 的數(shù)字。

　　基本解法技巧舉例

　　數(shù)獨解法全是由規(guī)則衍生出來的，基本解法分為兩 類，一類為排除法，一類為唯一法。更復(fù)雜的解法最終 也會歸結(jié)到這兩大類中。 下面簡單介紹幾種解法，只要 花幾分鐘看一遍，馬上就可以開始做數(shù)獨了。 1. 基礎(chǔ)摒除法 基礎(chǔ)摒除法就是利用1 ～ 9 的數(shù)字在每一行、每 一列、每一宮都只能出現(xiàn)一次的規(guī)則進行解題的方法。 基礎(chǔ)摒除法可以分為行摒除、列摒除、九宮格摒除。 實際尋找解的過程為： 尋找九宮格摒除解：找到了某數(shù)在某一個九宮格可 填入的位置只余一個的情形，即找到了該數(shù)在該九宮格

　　美國數(shù)獨 100 題 3 Sudoku 100 wordless crossword puzzles 3

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　　中的填入位置。 尋找列摒除解：找到了某數(shù)在某列可填入的位置只 余一個的情形，即找到了該數(shù)在該列中的填入位置。 尋找行摒除解：找到了某數(shù)在某行可填入的位置只 余一個的情形，即找到了該數(shù)在該行中的填入位置。 基礎(chǔ)摒除法的提升方法是區(qū)塊摒除法 , 這是直觀法 中使用頻率最高的方法之一。 2. 唯一解法 當某行已填數(shù)字的宮格達到8個，那么該行剩余 宮格能填的數(shù)字就只剩下那個還沒出現(xiàn)過的數(shù)字了，它 成為行唯一解。 當某列已填數(shù)字的宮格達到8個，那么該列剩余 宮格能填的數(shù)字就只剩下那個還沒出現(xiàn)過的數(shù)字了，它 成為列唯一解。 當某九宮格已填數(shù)字的宮格達到8個，那么該九 宮格剩余宮格能填的數(shù)字就只剩下那個還沒出現(xiàn)過的數(shù) 字了，它成為九宮格唯一解。 3. 唯余解法 唯余解法就是某宮格可以填入的數(shù)已經(jīng)被排除了8

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　　個，那么在這個宮格中就只能填入那個沒有出現(xiàn)的數(shù)字。 4. 區(qū)塊摒除法 區(qū)塊摒除法是基礎(chǔ)摒除法的提升方法，是直觀法 中使用頻率最高的方法之一。區(qū)塊摒除法是基本技巧 中的進階技法，它可能找到用基礎(chǔ)摒除法無法找到的 答案。 若某數(shù)字在某個九宮格中可填入的位置正好都在同 一行、列上，因為該九宮格中必須要有該數(shù)字，所以這 一行、列中不在該九宮格內(nèi)的單元格上將不能再出現(xiàn)該 數(shù)字。 若某數(shù)字在某行、列中可填入的位置正好都在同 一九宮格上，因為該行、列中必須要有該數(shù)字，所以該九 宮格中不在該行、列內(nèi)的單元格上將不能再出現(xiàn)該數(shù)字。 5. 余數(shù)測試法 所謂余數(shù)測試法就是在某行或列、九宮格所填數(shù)字 比較多,剩余2個或3個時,在剩余宮格填入數(shù)字進行 測試的解題方法。 6. 隱性唯一候選數(shù)法 當某個數(shù)字在某一列各宮格的候選數(shù)中只出現(xiàn)一次

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　　時，那么這個數(shù)字就是這一列的唯一候選數(shù)了，這個宮 格的值就可以確定為該數(shù)字。這是因為，按照數(shù)獨游戲 的規(guī)則，每一列都應(yīng)該包含數(shù)字 1~9，而其他宮格的候 選數(shù)都不含有該數(shù)，則該數(shù)不可能出現(xiàn)在其他的宮格， 那么就只能出現(xiàn)在這個宮格了。對于唯一候選數(shù)出現(xiàn)在 行、九宮格的同類情況，處理方法完全相同。 7. 三鏈數(shù)刪減法 找出某一列、某一行或某一個九宮格中的某3個 宮格候選數(shù)中，相異的數(shù)字不超過 3 個的情形，進而將 這 3 個數(shù)字自其他宮格的候選數(shù)中刪減掉的方法就叫作 三鏈數(shù)刪減法。 8. 隱性三鏈數(shù)刪減法 在某行，存在3個數(shù)字出現(xiàn)在相同的宮格內(nèi)，在 本行的其他宮格均不包含這 3 個數(shù)字，我們稱 3 個數(shù)是 隱形三鏈數(shù)。那么，這 3 個宮格的候選數(shù)中的其他數(shù)字 都可以排除。對于隱形三鏈數(shù)出現(xiàn)在列、九宮格的同類 情況，處理方法完全相同。 9. 關(guān)鍵數(shù)刪減法 進入解題后期，利用前面講到的唯一解法、隱性唯

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　　一候選數(shù)法、區(qū)塊摒除法、三鏈數(shù)刪減法、隱性三鏈數(shù) 刪減法等都沒有進展的時候，可以考慮使用關(guān)鍵數(shù)刪減 法。關(guān)鍵數(shù)刪減法就是在后期找到一個數(shù)，這個數(shù)在行 （或列，九宮格）僅出現(xiàn)兩次。我們假定這個數(shù)在其中 一個宮格內(nèi)，繼續(xù)求解，如果發(fā)生錯誤，則確定我們的 假設(shè)錯誤。如果繼續(xù)求解仍然出現(xiàn)困難，不妨假設(shè)這個 數(shù)在另外一個宮格，看能不能得到正確的結(jié)果。 這就是 關(guān)鍵數(shù)刪減法。 此外，還有一些其他的求解方法，限于篇幅，本書 就不一一列舉了，有興趣的讀者可自行查閱相關(guān)資料。