前言

推算世界的超級(jí)思維

取近似值在推算世界之前

假設(shè)你坐公交車上班，快要遲到了，不幸的是，由于太過(guò)匆忙，你忘了帶手表，手機(jī)也被壓在手提包的最底層。于是，你只好向鄰座的女士求助，問(wèn)她現(xiàn)在幾點(diǎn)了。她瞟了一眼腕上的手表，上面顯示8點(diǎn)33分46秒，但她卻對(duì)你說(shuō)：八點(diǎn)半。

她撒謊了嗎？她為什么不說(shuō)上午8點(diǎn)33分46秒？難道是她的手表不夠精準(zhǔn)嗎？或者說(shuō)，她和你一樣，也正趕著去上班，所以不愿意在你身上浪費(fèi)時(shí)間？又或者，她知道自己一旦說(shuō)完這句話，手表上的指針可能已指向8點(diǎn)33分48秒？

無(wú)論出于什么樣的原因，當(dāng)人們?cè)谔幚碛嘘P(guān)具體數(shù)字問(wèn)題的時(shí)候，總是傾向于不要那么精準(zhǔn)。對(duì)你而言，8點(diǎn)33分46秒和8點(diǎn)31分27秒似乎沒(méi)什么差別，相反，如果非要精準(zhǔn)地說(shuō)出8點(diǎn)33分46秒的話，可能會(huì)既耽誤你的時(shí)間，也耽誤她的時(shí)間。無(wú)論是整數(shù)化的八點(diǎn)半，還是在數(shù)字的后面加上一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，我們實(shí)際上都是在取近似值。對(duì)絕大多數(shù)人而言，為了節(jié)約時(shí)間而犧牲一點(diǎn)點(diǎn)精準(zhǔn)度其實(shí)是一筆很劃算的買賣，因?yàn)槲覀兌加懈�重要的工作要做，�?dāng)然，如果你在美國(guó)國(guó)家宇航局（NASA）工作，那就另當(dāng)別論了。但不管怎么說(shuō)，取近似值這種做法不僅可以為我們節(jié)約幾秒鐘的時(shí)間，它還是一個(gè)非常有價(jià)值的工具，可以幫助我們更好地理解數(shù)字。

當(dāng)你需要拿主意的時(shí)候，取近似值的做法就像一個(gè)過(guò)濾器，能夠幫你過(guò)濾掉那些比較糟糕的想法。假如你是一位商人，要決定是否生產(chǎn)某種商品；假如你是一位議員，要決定是否投票贊同在墨西哥邊界修筑防御工事；假如你是一位物理學(xué)家，要決定是否探測(cè)希格斯玻色子。總之，無(wú)論你是誰(shuí)，當(dāng)你需要開(kāi)展可行性測(cè)試的時(shí)候，取近似值都應(yīng)是你的首選。

比如說(shuō)你是一位政府官員，正在負(fù)責(zé)一項(xiàng)導(dǎo)彈防御計(jì)劃。你需要把納稅人的數(shù)十億美金全都投進(jìn)去，但結(jié)果卻可能是你根本就沒(méi)有機(jī)會(huì)去阻止一場(chǎng)核攻擊，那么，對(duì)于這樣的計(jì)劃，你真的會(huì)立即將其付諸實(shí)施嗎？一開(kāi)始，你是不是應(yīng)該大致地估算一下該計(jì)劃成功的概率呢？當(dāng)你提出一項(xiàng)切實(shí)可行的計(jì)劃的時(shí)候，是不是也該考慮一下能否再節(jié)約一些時(shí)間和成本呢？如果你估計(jì)這個(gè)計(jì)劃有90%的成功概率，那么，你肯定會(huì)將其付諸實(shí)施。即便你認(rèn)為它只有10%的成功概率，你也可能會(huì)鋌而走險(xiǎn)。但是，如果你估計(jì)出的結(jié)論是該計(jì)劃成功的可能性甚至比買彩票中獎(jiǎng)的概率還要小，那么，你再執(zhí)著于此事就只能說(shuō)你是愚蠢透頂了。對(duì)于日常生活中所要面臨的一些重要決定來(lái)說(shuō)，進(jìn)行此類的預(yù)估是必不可少的，即便我們不具備非常專業(yè)的水準(zhǔn)，卻依然可以進(jìn)行這樣的估算。無(wú)論是復(fù)雜的導(dǎo)彈防御還是簡(jiǎn)單的過(guò)馬路，我們都是片刻不停地在估算，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)也只不過(guò)是改善了我們估算的精準(zhǔn)度而已。

我們養(yǎng)成的取近似值的習(xí)慣除了對(duì)我們的想法進(jìn)行過(guò)濾，還可以提高我們的數(shù)值計(jì)算能力，尤其是可以提高我們對(duì)極大數(shù)字（或極小數(shù)字）的理解能力。你可能體會(huì)不到10億和1萬(wàn)億之間有什么差別，但是經(jīng)常使用這樣的數(shù)字卻能夠幫助你盡快地建立起你對(duì)它們的理解，幫助你快速地形成數(shù)值地標(biāo)，這種感覺(jué)可以引導(dǎo)你去理解一些概念上的東西。舉例來(lái)說(shuō)，在我寫(xiě)作本書(shū)的時(shí)候，10億這個(gè)數(shù)字就是世界人口的1/17，而1萬(wàn)億就是美國(guó)國(guó)債的1/10。通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算和一點(diǎn)點(diǎn)訓(xùn)練，你就能夠?qū)Σ徽摯笮〉娜魏问挛镞M(jìn)行估計(jì)，而且還會(huì)在理解大數(shù)字的過(guò)程中越發(fā)得心應(yīng)手。

如何取近似值：費(fèi)米法

取近似值的方法和技巧有很多，但其中最高效的則是費(fèi)米法。費(fèi)米法的高效性在于該方法使用起來(lái)既簡(jiǎn)單又便捷，而且對(duì)于背景信息的要求還很低。費(fèi)米法并沒(méi)有給出明確的操作程序，其通用的步驟就是先進(jìn)行看似合理的基本假設(shè)，然后再利用這些假設(shè)推算出你想要的結(jié)果。

比如說(shuō)，我想知道一棵樹(shù)上有多少片樹(shù)葉。簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我假設(shè)每根樹(shù)枝上大概有30片樹(shù)葉，每棵樹(shù)有10根樹(shù)枝，那么，每棵樹(shù)就有30片/根10根/棵=300片/棵。這個(gè)例子足夠簡(jiǎn)單，但它卻為復(fù)雜的例子提供了最基本的指導(dǎo)思路。

1. 從你知道的入手

假設(shè)你正在計(jì)算建造一棟新的教學(xué)樓需要買多少錢的磚，但是由于你不知道一棟教學(xué)樓需要多少塊磚，因此你無(wú)法著手進(jìn)行計(jì)算。但是你可能會(huì)知道一塊磚長(zhǎng)約0.5英尺，而且你還知道一棟教學(xué)樓長(zhǎng)約100英尺，于是，你就可以計(jì)算出一棟教學(xué)樓的長(zhǎng)度是200塊磚。同理，你可以猜出教學(xué)樓的高度大約是20英尺。所有的這些猜測(cè)都是合理的�？赡苊恳豁�(xiàng)都會(huì)偏差幾個(gè)百分點(diǎn)，但如果你一開(kāi)始就要猜測(cè)一棟教學(xué)樓總共需要多少塊磚，那么你的偏差可能就是10個(gè)百分點(diǎn)、100個(gè)百分點(diǎn)，甚至更離譜。從你最有把握的地方開(kāi)始取近似值，然后再對(duì)你不太有把握的方面進(jìn)行計(jì)算。

2. 利用單位對(duì)消獲取答案

在計(jì)算樹(shù)葉的那個(gè)例子里，我知道每根樹(shù)枝有多少片樹(shù)葉，也知道每棵樹(shù)有多少根樹(shù)枝。不過(guò)，你可能忘了自己在化學(xué)課上學(xué)過(guò)單位對(duì)消。事實(shí)上，如果你把它看作數(shù)字的相乘和相除，這個(gè)問(wèn)題就會(huì)變得非常簡(jiǎn)單了。例如，我可以拿每根樹(shù)枝上的樹(shù)葉來(lái)乘以每棵樹(shù)上的樹(shù)枝，那么樹(shù)枝就可以被對(duì)消，剩下的就是每棵樹(shù)上的樹(shù)葉。

這是非常簡(jiǎn)單的因式分解，1除以1等于1，37除以37等于1，樹(shù)枝除以樹(shù)枝等于1，任何事除以任何事都等于1。有時(shí)候，只需要把一長(zhǎng)串的單位都對(duì)消掉，就能得到你想要的答案。例如，在教學(xué)樓這個(gè)例子中，你可以列出每塊磚X元每面墻Y塊磚每座教學(xué)樓Z面墻這樣的算式，從而得到每座教學(xué)樓XYZ元的結(jié)果。

3. 利用極限值范圍

有些事物看起來(lái)并不難猜測(cè)，但是你卻覺(jué)得無(wú)從下手。例如，你想知道在洛杉磯城區(qū)里到底生活著多少位教師，但就是找不到著手點(diǎn)。那好吧，你總該知道，這個(gè)數(shù)字肯定是大于100的，因?yàn)?00個(gè)老師只能滿足兩所中等規(guī)模的學(xué)校。此外，你還應(yīng)該知道，這個(gè)數(shù)字肯定小于本市總?cè)丝诘?0%（在本案例中，洛杉磯城區(qū)的人口約為100萬(wàn)）。于是，我們就知道了教師數(shù)量的上限和下限�；蛟S你無(wú)法知道具體的答案到底是什么，但是你肯定知道它肯定不是什么，這樣一來(lái)，你就可以借助其他的一些信息，利用排除的過(guò)程進(jìn)行逐步排除，最終找到一個(gè)最佳的估計(jì)值。

4. 利用網(wǎng)絡(luò)

利用網(wǎng)絡(luò)來(lái)查詢你不知道的一些具體數(shù)字其實(shí)一點(diǎn)也不丟人。很多網(wǎng)站（如谷歌、維基百科等）都可以實(shí)現(xiàn)這一目的。在本書(shū)中，我也經(jīng)常會(huì)查詢一些我沒(méi)有興趣進(jìn)行計(jì)算的事物（比如，物理常數(shù)和政府預(yù)算等），它們對(duì)于取近似值這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程往往沒(méi)什么積極的意義。通常情況下，如果不是為了教學(xué)，凡是能通過(guò)簡(jiǎn)單的谷歌搜索就能找到的內(nèi)容，我是不會(huì)費(fèi)心去計(jì)算的，你應(yīng)該也一樣。

5. 要公正

因?yàn)槲覀兏髯杂懈髯缘钠�好，因此，公正可能就是最最重要的一條規(guī)則了，尤其是有不確定因素牽涉其中的時(shí)候，你必須確保你的計(jì)算結(jié)果不會(huì)受到你對(duì)事物應(yīng)有樣子的預(yù)判斷的影響，這是非常重要的。我發(fā)現(xiàn)，我經(jīng)常會(huì)強(qiáng)迫自己，讓自己的計(jì)算結(jié)果去迎合那些想當(dāng)然的想法。在這種情況下，當(dāng)你需要確定最終結(jié)果的時(shí)候，最好采用最保守的估計(jì)，并且對(duì)這個(gè)估計(jì)的結(jié)果保持最大的懷疑。

6. 遵守規(guī)則，制定數(shù)值地標(biāo)

老話說(shuō)熟能生巧，這在取近似值方面是再適用不過(guò)了。練習(xí)得越多，就會(huì)越擅長(zhǎng)，也就更容易識(shí)別數(shù)字。有朝一日，你就會(huì)在遨游數(shù)字空間的時(shí)候建立起自己的數(shù)值地標(biāo)。例如，當(dāng)你聽(tīng)到100萬(wàn)和10億這樣的數(shù)字的時(shí)候，你就會(huì)想起100萬(wàn)就是1.5周時(shí)間的總秒數(shù)，而10億秒則將近32年。把數(shù)字和具體的實(shí)際情況放在一起進(jìn)行參照，就能大大地提高一個(gè)人對(duì)于大數(shù)字的理解能力。

簡(jiǎn)化數(shù)字

讓取近似值的過(guò)程又快捷又簡(jiǎn)單的方法就是把數(shù)字簡(jiǎn)化。例如，我們可以把397簡(jiǎn)單地湊整為400。由于我們只是在取近似值，因此對(duì)于我們手頭上的工作而言，這兩個(gè)數(shù)字之間的差別其實(shí)無(wú)足輕重。下面，我給大家列舉一下經(jīng)常用到的一些技巧，這些技巧可以讓數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單。

湊整

就像前面談到的公交車乘客一樣，有時(shí)候，我們對(duì)于精準(zhǔn)的時(shí)間并沒(méi)有什么興趣，我們?cè)诤醯闹皇菍?duì)自身而言具有重要意義的東西。本書(shū)的絕大部分內(nèi)容，都會(huì)涉及兩個(gè)有效數(shù)字。我們可以把任何一個(gè)187變成190，也可以把任何一個(gè)7432變成7400。這不僅可以讓數(shù)學(xué)計(jì)算變得更簡(jiǎn)單，還可以節(jié)約大把的時(shí)間。

指數(shù)計(jì)數(shù)法

很多人都喜歡把數(shù)字寫(xiě)成或聽(tīng)成100萬(wàn)或10億，因?yàn)檫@樣它們才會(huì)有意義。但是我們真的理解它們的意義嗎？舉例來(lái)說(shuō)，如果能夠擁有100萬(wàn)或者10億美金，我們絕大多數(shù)人都會(huì)感到非常高興。拿100萬(wàn)美金來(lái)說(shuō)，如果每天消費(fèi)1000美金的話，我們需要將近3年的時(shí)間才能把它花完。10億美金呢？6年？30年？還是2740年？沒(méi)錯(cuò)，如果我們有10億美金，每天消費(fèi)1000美金的話，從耶穌時(shí)代一直花到現(xiàn)在也花不完，因?yàn)?0億是100萬(wàn)的1000倍。

我們對(duì)于極大數(shù)字（或極小數(shù)字）的印象都不是特別明晰，但是，指數(shù)計(jì)數(shù)法卻可以讓我們毫不費(fèi)力地把這個(gè)問(wèn)題想明白。在指數(shù)計(jì)數(shù)法中，數(shù)字會(huì)寫(xiě)作小數(shù)，在小數(shù)點(diǎn)之前只留一個(gè)非零位的數(shù)字，再乘以10的若干次冪。冪是告訴我們?nèi)绻�我們要把這個(gè)數(shù)字完全寫(xiě)出來(lái)，小數(shù)點(diǎn)的后面還有多少個(gè)數(shù)位的空間，如果你想把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)，把所有的數(shù)位空間全部都用完，你就需要按照冪次所示的數(shù)字，在小數(shù)點(diǎn)的前面補(bǔ)全所有的0。

例如，4.11015就可以把小數(shù)點(diǎn)向右挪一位，得到的數(shù)字是41，然后再加上14個(gè)0，你得到的數(shù)字就是41的后面跟著14個(gè)0。在6.2341053這個(gè)數(shù)字中，我們可以把小數(shù)點(diǎn)向右挪3位，然后在6234的后面加上50個(gè)0。毫無(wú)疑問(wèn)，6.2341053這種表達(dá)方式比623，400，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000更容易理解。對(duì)于負(fù)數(shù)冪，你則需要把小數(shù)點(diǎn)向左移位，這樣寫(xiě)出來(lái)的就是0的后面有一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)的后面是一定量的冪的負(fù)數(shù)。例如，3.2310-3就是小數(shù)點(diǎn)后面有（31）2個(gè)0，然后再續(xù)上323，即0.00323。

指數(shù)計(jì)數(shù)法縮減了書(shū)寫(xiě)空間，更有利于閱讀和識(shí)記。需要注意的是，在有些情況下，有些數(shù)字只能以指數(shù)計(jì)數(shù)法來(lái)書(shū)寫(xiě)，否則就難以操作，甚至不可能實(shí)現(xiàn)。例如，我們要把3.8105767415這個(gè)數(shù)印刷在一本書(shū)當(dāng)中，如果我們想把這個(gè)數(shù)后面的0全部印出來(lái)的話，僅僅這個(gè)數(shù)字就要占到5000頁(yè)。

湊整為大數(shù)序列

最小的大數(shù)序列是指10的冪。例如，0.00001、100和1，000，000都是10的整數(shù)次冪。用指數(shù)計(jì)數(shù)法來(lái)表示，分別是10-5、102和106。正確地使用指數(shù)計(jì)數(shù)，可以幫助數(shù)字運(yùn)算變得更加簡(jiǎn)單，因?yàn)槟憧梢酝ㄟ^(guò)對(duì)指數(shù)進(jìn)行相加而得到你想要的乘積。例如，102105=107，10210-5=10-3。