第1篇運(yùn)動(dòng)學(xué) 

      【引言】 

       運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的幾何規(guī)律的科學(xué)。 

       在靜力學(xué)中，我們所研究的對(duì)象都由于受到平衡力系的作用而處于靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，即所謂的平衡狀態(tài)。但當(dāng)力系的平衡條件不能滿足時(shí)，物體將改變其原有的靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。運(yùn)動(dòng)學(xué)只是從幾何學(xué)方面來研究物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即研究物體在空間的位置隨時(shí)間變化的幾何性質(zhì)，例如點(diǎn)的軌跡、速度、加速度等，而不考慮力和質(zhì)量等與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的物理因素。 

       運(yùn)動(dòng)學(xué)一方面是學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)，另一方面在工程技術(shù)中也有許多直接的應(yīng)用。例如在機(jī)械設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)分析中，運(yùn)動(dòng)學(xué)的知識(shí)是必不可少的。另外，在儀表設(shè)計(jì)中，由于零件受力較小，其運(yùn)動(dòng)分析成為設(shè)計(jì)的主要依據(jù)。 

      在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，將引入兩個(gè)描述時(shí)間的概念：瞬時(shí)t和時(shí)間間隔Δt。瞬時(shí)t是指某一時(shí)刻或某一剎那，一般用離開初始時(shí)刻的秒數(shù)來表示，例如第五秒末，而運(yùn)動(dòng)的初始時(shí)刻稱為初瞬時(shí);時(shí)間間隔Δt是指從某一瞬時(shí)開始到另一瞬時(shí)為止所經(jīng)過的秒數(shù)，例如從瞬時(shí)t1到瞬時(shí)t2的時(shí)間間隔是Δt=t2-t1。 

 

       我們?cè)诿枋瞿骋晃矬w的運(yùn)動(dòng)時(shí)，總是選定合適的物體作參考體。固連在參考體上的參考坐標(biāo)系，稱為參考系。在日常生活和工程實(shí)際中，我們總是選取地球作為參考體，取固連在地球上的坐標(biāo)系作為定參考系。值得注意的是，站在不同的參考系上觀察同一物體的運(yùn)動(dòng)，往往會(huì)得到不同的結(jié)果。例如下雨時(shí)，站在地面上觀察到的雨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，與坐在行駛的汽車中觀察到的雨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況是不同的。因此，對(duì)任何物體運(yùn)動(dòng)的描述都是相對(duì)于某一參考系而言的。 

       在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，可將物體抽象成點(diǎn)和剛體兩個(gè)模型。所謂點(diǎn)，是指一個(gè)沒有質(zhì)量和大小的純幾何點(diǎn)。當(dāng)物體的幾何尺寸和形狀在運(yùn)動(dòng)過程中不起主要作用時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)便可簡(jiǎn)化為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，否則便視為剛體的運(yùn)動(dòng)。應(yīng)當(dāng)指出的是，一個(gè)物體應(yīng)當(dāng)抽象成點(diǎn)還是抽象成剛體并不取決于物體幾何尺寸的大小，而是決定于所討論問題的性質(zhì)。例如地球雖龐大，但當(dāng)研究其在繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道上的運(yùn)行規(guī)律時(shí)，可將其視為一個(gè)點(diǎn);而精密儀表上的小齒輪的體積雖小，但當(dāng)研究它的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，就必須將其當(dāng)作剛體。并且，同一個(gè)物體在不同的問題中，有時(shí)視為剛體，有時(shí)則視為點(diǎn)，一切均由所研究的問題的性質(zhì)來決定。 

       由于剛體是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的，因此點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)既有其獨(dú)立的應(yīng)用，又是剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)。我們將首先研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)，然后研究剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 

第1章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) 

第 

1 

章 

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) 

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究點(diǎn)在空間中的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律，并進(jìn)一步研究能夠代表點(diǎn)在每個(gè)瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況的特征量——軌跡、速度、加速度。 

點(diǎn)在空間內(nèi)所走過的路線，稱為點(diǎn)的軌跡。點(diǎn)的軌跡為直線的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，稱為點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng);點(diǎn)的軌跡為曲線的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，稱為點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)。 

1.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度 

1��1��1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌跡為一條直線，取此直線為Ox軸，利用點(diǎn)的x坐標(biāo)來確定點(diǎn)在空間中的位置。在圖1��1 中，取直線上的任一點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，且規(guī)定沿直線的某一方向?yàn)閤軸的正向。當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的位置即坐標(biāo)x隨時(shí)間t變化。故可將坐標(biāo)x表示為時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即 

x=f(t)(1��1) 

若函數(shù)x=f(t)為已知，則動(dòng)點(diǎn)在每一瞬時(shí)的空間位置便可唯一確定。式(1��1)稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 

一般，動(dòng)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，同樣可用函數(shù)描述其運(yùn)動(dòng)。根據(jù)所選參考系的不同，點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)可以有多種表達(dá)方式�，F(xiàn)介紹幾種常見的形式。 

1. 矢量法 

由某一固定原點(diǎn)O畫出動(dòng)點(diǎn)M的矢徑r=OM，如圖1��2所示。點(diǎn)M在任一瞬時(shí)的位置均可由矢徑r唯一確定。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑r的大小和方向隨時(shí)間t發(fā)生變化，即r是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即 

r��=r��(t) 

(1��2) 

式(1��2)即為用矢量表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。矢徑r隨動(dòng)點(diǎn)M在空間劃過的矢端曲線就是點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡。 

圖1��1 

圖1��2 

2. 直角坐標(biāo)法 

在圖1��2中，以O(shè)點(diǎn)作為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系Oxyz，則任一瞬時(shí)點(diǎn)M的位置可用它的直角坐標(biāo)x、y、z表示。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位置坐標(biāo)隨時(shí)間t變化，即x、y、z均可寫成時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即 

x=f1(t) 

y=f2(t) 

z=f3(t) 

(1��3) 

式(1��3)稱為用直角坐標(biāo)表示的動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程。當(dāng)事先不知道點(diǎn)在空間的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，采用直角坐標(biāo)法描述其運(yùn)動(dòng)情況通常是較方便的。 

實(shí)際上，式(1��3)是以時(shí)間t為參數(shù)的空間曲線方程，從方程中消去參數(shù)t后，便可得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。 

利用點(diǎn)的直角坐標(biāo)可將點(diǎn)的矢徑表示成 

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k 

其中，i、j、k分別為沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量。 

3. 柱坐標(biāo)法 

由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，動(dòng)點(diǎn)在空間的位置可由點(diǎn)的柱坐標(biāo)唯一確定。如圖1��3所示，參數(shù)φ、r、z為動(dòng)點(diǎn)M的柱坐標(biāo)。當(dāng)點(diǎn)M在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，其柱坐標(biāo)隨點(diǎn)的位置的不同而變化，即柱坐標(biāo)為時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即 

φ=f1(t) 

r=f2(t) 

z=f3(t) 

(1��4) 

式(1��4)即為用柱坐標(biāo)表示的動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程。 

當(dāng)點(diǎn)M作平面曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位置用坐標(biāo)φ和r便可唯一確定。因此，可用極坐標(biāo)系代替柱坐標(biāo)系來描述動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，如圖1��4所示。此時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程可簡(jiǎn)化為 

φ=f1(t) 

r=f2 (t) 

(1��5) 

從上式中消去參數(shù)t，即可得到用極坐標(biāo)表示的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。 

圖1��3 

圖1��4 

除此之外，有時(shí)為了方便起見，也可采用空間球坐標(biāo)系來描述動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。 

圖1��5 

4. 自然法 

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡已知時(shí)，可參照點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的表示方法，以軌跡曲線本身作為參考系來決定點(diǎn)的位置，如圖1��5 所示。在軌跡曲線上任選一點(diǎn)O作為原點(diǎn)，并規(guī)定點(diǎn)O的某一側(cè)為正向，動(dòng)點(diǎn)M的位置由s=OM弧長(zhǎng)來確定。s為一代數(shù)量，稱為動(dòng)點(diǎn)M的弧坐標(biāo)。當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，弧坐標(biāo)s隨時(shí)間變化，它是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，可寫成 

s=f(t) 

(1��6) 

式(1��6)稱為用弧坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。若s=f(t)已知，則動(dòng)點(diǎn)在軌跡上的位置可唯一確定。這種用動(dòng)點(diǎn)在其自身軌跡上的弧坐標(biāo)來表示點(diǎn)的位置的方法，稱為自然法。 

圖1��6 

【例1��1 

】圖1��6 所示為一曲柄連桿機(jī)構(gòu)。曲柄OA以等角速度ω繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)φ=ω t，連桿AB在A端用鉸鏈與曲柄OA相連，而在B端通過鉸鏈帶動(dòng)滑塊沿水平槽運(yùn)動(dòng)。已知OA=AB=l，求A、B點(diǎn)和連桿中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)方程。 

【解】在支座O處建立直角坐標(biāo)系Oxy。對(duì)于所要討論的各點(diǎn)，可根據(jù)其運(yùn)動(dòng)軌跡的不同，采用適當(dāng)?shù)姆椒ń�立各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 

(1) A點(diǎn)。 

由于已知A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，則采用自然法確定A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程較為方便。為此，在圓周上選取與x軸相交的O1點(diǎn)作為原點(diǎn)，φ角從Ox軸量起，并以φ增加的方向作為弧坐標(biāo)的正向。于是A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 

s=OA·φ=lφ=lωt 

(2) B點(diǎn)。 

由于B點(diǎn)沿Ox軸作直線運(yùn)動(dòng)，因此可用B點(diǎn)的x坐標(biāo)來描述它的位置。于是B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 

xB=OAcosφ+ABcosφ=2lcosφ=2lcosωt 

(3) C點(diǎn)。 

C點(diǎn)在Oxy坐標(biāo)平面內(nèi)作曲線運(yùn)動(dòng)，但其運(yùn)動(dòng)軌跡不清楚。因此，采用直角坐標(biāo)法來表示C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，即 

xC=OAcosφ+ACcosφ 

=lcosφ+l2cosφ 

=3l2cosφ=3l2cosωt 

yC=l2sinφ=l2sinωt 

消去xC、yC的表達(dá)式中的t，則可得到C點(diǎn)的軌跡方程為 

xC32l2+yC12l2=1 

上式為一橢圓方程，其長(zhǎng)軸為2×32l=3l，其短軸為2×12l=l�？梢�，C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一橢圓。 

也可用直角坐標(biāo)法統(tǒng)一建立A、B、C三點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，請(qǐng)讀者自行練習(xí)。 

1��1��2點(diǎn)的速度 

設(shè)有一點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，從瞬時(shí)t到瞬時(shí)t+Δt，點(diǎn)由位置M移動(dòng)到M′，其矢徑分別為r和 

r′，如圖1��7 所示。在時(shí)間間隔Δt內(nèi)，矢徑的改變量為 

Δr=r′-r=MM′ 

Δr稱為M點(diǎn)在Δt時(shí)間間隔內(nèi)的位移;ΔrΔt表示點(diǎn)在時(shí)間間隔Δt內(nèi)運(yùn)動(dòng)的平均快慢程度，稱為點(diǎn)的平均速度，用v�潮硎荆�即v��=ΔrΔt，其方向與割線MM′的方向一致。 

當(dāng)Δt→0時(shí)，ΔrΔt的極限稱為動(dòng)點(diǎn)在瞬時(shí)t的速度v，即 

v=limΔt→0v��=limΔt→0ΔrΔt=drdt=r·(1��7) 

圖1��7 

即動(dòng)點(diǎn)的速度等于動(dòng)點(diǎn)的矢徑對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。注意：函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)用在函數(shù)上方加“·”表示。 

速度v描述點(diǎn)在t瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)的快慢與方向，它是一個(gè)矢量，其方向沿動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡上的M點(diǎn)的切線方向，并指向點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，如圖1��7 所示，其大小為 

v=drdt 

速度的大小又稱為速率。 

速度的單位通常為米每秒(m/s)或千米每小時(shí)(km/h)。 

1��1��3點(diǎn)的加速度 

點(diǎn)的加速度是為了描述點(diǎn)的速度大小和方向的變化情況而引入的又一物理量。設(shè)一動(dòng)點(diǎn)作空間曲線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1��8所示。設(shè)從瞬時(shí)t到瞬時(shí)t+Δt，點(diǎn)由M移動(dòng)到M′，其速度由v變?yōu)関′，則在Δt時(shí)間內(nèi)，速度的變化量為Δv=v′-v。將矢量v′平移至M點(diǎn)，并令v=MA,v′=MB,Δv=AB,則速度的改變量Δv與時(shí)間間隔Δt的比值，描述在Δt時(shí)間間隔內(nèi)速度v的平均變化情況，稱為動(dòng)點(diǎn)在Δt時(shí)間內(nèi)的平均加速度，記為a*，則有 

圖1��8 

a��=ΔvΔt 

當(dāng)Δt→0時(shí)，平均加速度趨于一極限值，記為a。a描述點(diǎn)的速度在瞬時(shí)t的變化情況，稱為點(diǎn)的瞬時(shí)加速度，簡(jiǎn)稱點(diǎn)的加速度，即 

a=limΔt→0ΔvΔt=dvdt=v· 

(1��8) 

或 

a=dvdt= 

d2rdt2=r·· 

(1��9) 

即動(dòng)點(diǎn)的加速度等于其速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，或其矢徑對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。 

圖1��9 

動(dòng)點(diǎn)的加速度a是一個(gè)矢量，它的模等于dvdt，它的方向由下述方法確定：在空間任選一點(diǎn)O，將M點(diǎn)在各不同瞬時(shí)的速度矢量v1，v2，v3，…,vn都平行移動(dòng)到O點(diǎn)，如圖1��9所示，并連接各速度矢量的端點(diǎn)，得到一條曲線，由此而得到的圖稱為動(dòng)點(diǎn)M的速度矢端圖。由高等數(shù)學(xué)可知，動(dòng)點(diǎn)在t時(shí)刻的加速度方向沿速度矢端圖相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的切線方向。加速度的常用單位為米每二次方秒（m/s2）或毫米每二次方秒（mm/s2）。