第1章 不動點(diǎn)理論簡介

非線性算子的迭代算法是非線性泛函分析理論的重要組成部分，它與近代數(shù)學(xué)的許多分支有著緊密性聯(lián)系，特別是在建立各類方程（其中包括各類線性或非線性的，確定或非確定型的微分方程，積分方程以及各類算子方程）解的存在唯一問題中起著重要的作用。20世紀(jì)60年代，L.Collatz在他寫的 《應(yīng)用于數(shù)值分析的泛函分析》一書的引言中說：“由于兩件事使數(shù)值分析發(fā)生了革命性的變化，這兩件事就是應(yīng)用了電子計(jì)算機(jī)和應(yīng)用了泛函分析”。在20世紀(jì)計(jì)算機(jī)科學(xué)的建立和發(fā)展引起了科學(xué)技術(shù)翻天覆地的變化，它在各個(gè)部門學(xué)科及其分支中的巨大影響是不容置疑的。讓人驚訝的是，不太為人所知的泛函分析對一門學(xué)科的影響竟然有著與計(jì)算機(jī)科學(xué)比肩的地位，其實(shí)讓人驚訝的還遠(yuǎn)不止這些。隨著人們對大自然認(rèn)識的不斷深入，已經(jīng)逐漸認(rèn)識到非線性科學(xué)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、控制論等科學(xué)領(lǐng)域中的重要性。

1.1 非線性算子的不動點(diǎn)理論

非線性分析中的非線性算子理論作為非線性科學(xué)的基礎(chǔ)理論和基本工具，已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，并在其他分支中發(fā)揮重要的作用，尤其在處理實(shí)際問題中出現(xiàn)的大量微分方程時(shí)發(fā)揮著不可替代的作用.由于大量的非線性問題都與非線性算子方程有著密切的聯(lián)系，而非線性算子方程的解往往可以轉(zhuǎn)化為某個(gè)非線性算子的不動點(diǎn).所以研究Banach空間中非線性算子方程解的迭代算法無疑具有重要的理論意義和實(shí)際意義.我們可以把看成是某個(gè)距離空間上的映射，于是解上述積分方程（從而解微分方程）的問題，就等價(jià)于求解空間中的滿足的元，即求映射的不動點(diǎn)問題，研究映射的不動點(diǎn)是一個(gè)很重要的問題。

不動點(diǎn)理論起源于求解方程的代數(shù)問題，后轉(zhuǎn)化為幾何理論中研究不動點(diǎn)的存在、個(gè)數(shù)、性質(zhì)與求法的理論，成為拓?fù)鋵W(xué)和泛函分析中的重要內(nèi)容。較早的不動點(diǎn)定理是壓縮映射原理，1890年由法國數(shù)學(xué)家Picard提出，后來被波蘭數(shù)學(xué)家Bancah(1922)所發(fā)展，成為許多方程的解得存在性、唯一性及迭代解法的理論基礎(chǔ)。1910年荷蘭數(shù)學(xué)家Brouwer證明了多面體的不動定理：設(shè)是歐氏空間中的非空有界閉凸集，則到自身的每個(gè)連續(xù)映射都至少有一個(gè)不動點(diǎn)。這個(gè)定理被稱為Brouwer不動點(diǎn)定理。1926年美國數(shù)學(xué)家S.Lefschetz發(fā)展了Brouwer定理，得到不動點(diǎn)指數(shù)中的Lefschetz不動點(diǎn)定理。1913年，G.D.Birkhoff證明了前一年法國數(shù)學(xué)家Henri Poincaré關(guān)于三提問題的一個(gè)猜想，得到Poincaré-Birkhoff不動點(diǎn)定理。G.D.Birkhoff還與另一美國數(shù)學(xué)家O.D.Kellogg于1922年共同把不動點(diǎn)定理推廣到無窮維函數(shù)空間，并應(yīng)用于證明微分方程的存在性。1930年烏克蘭數(shù)學(xué)家Schauder將Brouwer不動點(diǎn)定理推廣到線性賦泛函空間中的緊凸集、Bancah空間中的緊凸集等到自身的映射上，得到Schauder不定點(diǎn)定理。1935年原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家A.Tychonoff就將Brouwer的結(jié)果推廣到局部凸拓?fù)渚�性空間中緊凸集到自身的映射上，得到Tychonoff不動點(diǎn)定理。1941年日本數(shù)學(xué)家Kakutani又將Brouwer的結(jié)果推廣到極值映射上去。五六十年代，Browder,KyFan,Sadovskii等數(shù)學(xué)家將上述定理做了各種形式的推廣。

以上所有不動點(diǎn)定理的研究都是對其存在性的研究。半個(gè)多世紀(jì)以來，特別是最近三十年來，由于實(shí)際需要的推動和數(shù)學(xué)工作者的努力，對不動點(diǎn)定理的依據(jù)已經(jīng)出現(xiàn)了多元化的局面，不在局限于存在性的研究。眾所周知，Bancah壓縮映像原理實(shí)際上是經(jīng)典的Picard迭代法的抽象表述。學(xué)者們研究發(fā)現(xiàn)，根據(jù)這一定理，不僅可以判定不動點(diǎn)的存在性和唯一性，而且還可以構(gòu)成一個(gè)迭代程序，逼近壓縮映像的不動點(diǎn)到任意精確程度。由此非線性算子不動點(diǎn)迭代逼近這門學(xué)科也應(yīng)運(yùn)而生。目前，這門學(xué)科的理論及應(yīng)用的研究也已取得重要的進(jìn)展，并且日趨完善。為了逼近非線性算子不動點(diǎn)，歷史上曾出現(xiàn)過多種迭代格式：Picard迭代格式、正規(guī)Mann迭代格式、Ishikawa迭代格式、Halpern迭代格式、粘滯迭代法、最快下降迭代法、正規(guī)化迭代法、混雜迭代法(CQ算法)等多種形式，迭代格式的收斂性構(gòu)成了非線性算子不動點(diǎn)理論研究中的重要問題。有關(guān)非線性算子不動點(diǎn)迭代逼近的研究近年來非�；钴S，見參考文獻(xiàn).從具體空間(如空間)到抽象空間(如空間、Banach空間、賦范線性空間)；從單值映像到集值映像；從一般意義的映像(非擴(kuò)張映像、相對非擴(kuò)張映像、偽壓縮映像、強(qiáng)偽壓縮映像等)到漸進(jìn)意義的映像(如漸進(jìn)非擴(kuò)張映像、相對漸進(jìn)非擴(kuò)張映像、漸進(jìn)偽壓縮映像、漸進(jìn)強(qiáng)偽壓縮映像等)；從迭代序列的構(gòu)造(如Mann與Ishikawa迭代序列、具誤差(或混合誤差)的Mann與Iihikawa迭代序列、修正的Mann與Ishikawa迭代序列)到迭代序列的強(qiáng)(弱)收斂性、穩(wěn)定性及非線性算子方程解得存在唯一性，可以說成果十分豐富．關(guān)于非線性算子不動點(diǎn)迭代逼近問題，學(xué)者們主要是從兩方面來進(jìn)行進(jìn)一步的研究：一方面是非線性算子的性質(zhì)，包括各種算子不動點(diǎn)的存在性條件等；另一方面是用各種更好更有效的迭代格式逼近算子的不動點(diǎn)。 目前，非線性分析中的非線性算子理論作為非線性科學(xué)的理論基礎(chǔ)和基本工具，已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)基本分支，并在其分支中發(fā)揮著重要作用，尤其是在處理實(shí)際問題中出現(xiàn)的大量微分方程時(shí)發(fā)揮著不可替代的作用。由于大量的非線性問題都與非線性算子方程有著密切聯(lián)系，而非線性算子方程的解往往可以轉(zhuǎn)化為某個(gè)非線性算子的不動點(diǎn)問題。其中一個(gè)著名的例子就是凸可行問題對，Hilbert空間中的有限個(gè)閉凸子集且，尋找某個(gè)點(diǎn)。由于實(shí)Hilbert空間H中任意非空閉凸子集K均可被看做H到K度量投影pk的不動點(diǎn)集，因此凸可行問題也就轉(zhuǎn)化為找一個(gè)點(diǎn)屬于非擴(kuò)張映射有限族的不動點(diǎn)集的交集，即尋找非擴(kuò)張映射有限族的公共不動點(diǎn)問題。

自20世紀(jì)初Trouwer和Banach提出兩個(gè)以他們姓氏命名的Trouwer定理和Banach壓縮映像原理之后，半個(gè)多世紀(jì)以來，特別是最近三十年來，由于實(shí)際需要的推動和數(shù)學(xué)工作者的努力，這門學(xué)科已經(jīng)出現(xiàn)了多樣化的局面，Banach壓縮映像原理實(shí)際上是經(jīng)典的Picard迭代法的抽象表述.根據(jù)這一定理，不僅可以判定不動點(diǎn)的存在性和唯一性，而且還可以構(gòu)成一個(gè)迭代程序，逼近壓縮映像的不動點(diǎn)到任意精確程度.因此Banach映像原理在近代數(shù)學(xué)的許多分支，特備是在應(yīng)用數(shù)學(xué)的幾乎各個(gè)分支都有廣泛的應(yīng)用. Banach在上個(gè)世紀(jì)二十年代提出這一原理后，大半個(gè)世紀(jì)以來，特別是最近二十多年來，壓縮映像的概念和Banach壓縮映像原理已經(jīng)從各個(gè)方面和各個(gè)不同的角度有了重要的發(fā)展.許多人提出了一系列新型的壓縮映像概念，和一系列新型的壓縮映像的不動點(diǎn)定理，而且其中的某些結(jié)果已經(jīng)被成功地運(yùn)用于Banach空間中非線性Volterra積分方程，非線性積分-微分方程和非線性泛函微分方程解的存在性和唯一性，另外，壓縮型映像的某些不動點(diǎn)定理還被成功地應(yīng)用于隨機(jī)算子理論和隨機(jī)逼近理論。