我們進一步發(fā)展了線性回歸分析理論，它不再局限于模型矩陣X是固定的前提下。如果重復一個研究，我們期望因變量y能變化，但是由于X是固定的，那么在重復研究中自變量的值為常數(shù)。這種情形描述了實驗的真實情況，因為自變量是由研究者控制的。然而，對于大多數(shù)的社會學研究，數(shù)據(jù)都是觀測到的而不是實驗控制得來的；在一個觀測研究中（例如調查研究），我們一般會在重復研究中得到不同的解釋變量。所以，在觀測研究中，X是隨機的而非固定的。
　　只要符合某些條件，線性回歸統(tǒng)計學理論同樣適用于X是隨機的情況。對于固定的自變量，其前提假設為。即所有模型矩陣的離散行的誤差分布是相同的。當X為隨機變量時，我們需要假設這個性質對于樣本總體中所有可能的自變量組合都成立：即假設X和是獨立的，那么樣本中取值為的自變量誤差的條件分布為，不管選取的是哪個特定樣本。
　　因為X是隨機的，所以它存在一些（多元）概率分布。我們不需要對這些分布給定假設，但是我們需要：（1）要求對X的測定不存在誤差，且X和是獨立的（如前所述）；（2）假設X的分布跟模型回歸參數(shù)無關；（3）規(guī)定X的協(xié)方差矩陣是非奇異的（即在總體中沒有X是不變的，或者說沒有一個X是其它變量的完美線性函數(shù)）。特別是，我們不用假設回歸元（和誤差相比較）是正態(tài)分布的。這樣會好很多，因為許多X是非正態(tài)的，如虛擬變量和多項式變量，還有其它許多定量解釋變量。
　　雖然沒必要不斷重復，但是我會指出隨機解釋變量在新假設下的一些關鍵結果。其它結果可以此類推。
　　……