第1章函數Functions
　　1.1基本概念Basic concepts
　　第1章
　　函數
　　Functions
　　在中學數學中，我們雖然已經學習了函數的概念以及一些簡單的函數，但都是基于初等數學的范疇.在以微分學和積分學為核心的高等數學中，各類函數及其變化性態(tài)是主要的研究對象.為了更好地學習微積分學的知識，本章將首先介紹與函數相關的一些基本概念和必備知識；然后列出基本初等函數及其特性；最后引入函數的幾種常用表示方法以及一些特殊函數.
　　1.1基本概念
　　Basic concepts
　　在給出函數的定義之前，首先簡要地介紹集合、區(qū)間、絕對值和鄰域等一些基本概念.
　　1.1.1集合、區(qū)間、絕對值和鄰域〖*2〗
　　1. 集合
　　由于函數都是定義在某些集合上的，因此討論函數離不開集合這個概念.一般地，具有某種特定性質的事物匯集的總體稱為一個集合（set），組成這個集合的事物被稱為集合的元素（element）.如: 一個班級可以認為是一個集合，班級的每一位同學就是這個集合的元素；直線方程y=x+2上的所有點組成了一個集合.通常情況下，集合用大寫字母A，B，C,…表示，集合的元素用小寫字母a，b，c,…表示.
　　集合與元素之間的關系為: 若a是集合A的元素，則稱a屬于A，記作a∈A；若a不是集合A的元素，則稱a不屬于A，記作a�麬.
　　表示集合的方法通常有兩種: 一種是列舉法，即把集合的全體元素一一列舉出來，如由元素a1,a2,…,an組成的集合A可以表示為A={a1,a2,…,an}；另一種是描述法，即利用集合的某種特征來描述其元素，如xOy平面中單位圓周上點的集合B可以表示為B={(x,y)|x2+y2=1}.
　　若一個集合的元素個數有限，則稱這個集合為有限集（finite set），否則稱為無限集（infinite set）.不含任何元素的集合稱為空集（empty set），記作��.
　　最常遇到的數集有:
　　全體自然數（natural number）的集合，記作N；全體整數（integer）的集合，記作Z；全體有理數（rational number）的集合，記作Q；全體實數（real number）的集合，記作R；全體復數（complex number）的集合，記作C.
　　此外，正整數、正有理數和正實數的集合分別記作Z+，Q+和R+.如果沒有特殊聲明，本書中用到的數都是實數.
　　下面給出集合間的關系和運算.
　　設A和B是兩個集合，若集合A的所有元素都屬于集合B，則稱A是B的子集（subset），記作A�罛（或B�翧），讀作A包含于B（或者B包含A）.若A�罛，且存在元素a∈B且a�麬，則稱A是B的真子集（proper subset），記作A�糂（或者B�紸）.若A�罛，且B�罙，則稱集合A和B相等（equality），記作A=B.
　　規(guī)定: 空集�潦侨魏渭�合A的子集，即�联罙.
　　對于前面給出的各種數集，顯然有如下關系成立:
　　N�糧�糛�糝�糃和Z+�糛+�糝+.
　　給定兩個集合A和B，可以定義如下運算:
　　交集（intersection of sets）A∩B={x|x∈A且x∈B}；
　　并集（union of sets）A∪B={x|x∈A或x∈B}；
　　差集（difference of sets）A＼B={x|x∈A且x�麭}；
　　余集（complementary set）BcA=A＼B，其中B�糀.
　　集合間的各種運算及其結果可以用圖1.1來表示，其中陰影部分表示運算的結果.
　　圖1.1
　　2. 區(qū)間
　　區(qū)間（interval）是高等數學課程中經常遇到的一類數集.各種區(qū)間的符號、名稱、集合表示及在數軸上的圖形表示如表1.1所示.
　　表1��1
　　符號名稱集合表示圖形表示
　　(a,b)
　　［a,b］
　　(a,b］
　�。踑,b)
　　有限區(qū)間
　　開區(qū)間{x|a　　閉區(qū)間{x|a≤x≤b}
　　半開區(qū)間{x|a　　半開區(qū)間{x|a≤x　　(a,+∞)
　�。踑,+∞)
　　(-∞,a)
　　(-∞,a］
　　無限區(qū)間
　　開區(qū)間{x|x>a}
　　閉區(qū)間{x|x≥a}
　　開區(qū)間{x|x　　閉區(qū)間{x|x≤a}
　　關于表中記號的幾點說明：
　　(1) 表中的各個區(qū)間與集合的記法是嚴格對應的，不能混淆，特別是開區(qū)間(open interval)和閉區(qū)間(closed interval)的記法.
　　(2) 在有限區(qū)間(finite interval)和無限區(qū)間(infinite interval)中，a,b∈R，且a　　(3) 無限區(qū)間中的+∞和-∞分別讀作“正無窮”和“負無窮”，它們僅僅是一種符號，并不表示數，可以分別想象為沿著數軸的正向和負向無限延伸.詳細的定義將在后面章節(jié)中給出.特別地，全體實數組成的集合R記為R=(-∞,+∞).
　　3. 絕對值
　　實數a的絕對值（absolute value）記作|a|，它的定義為
　　|a|=a,a≥0,
　　-a,a<0.
　　該定義表明，實數a的絕對值|a|是非負的，它的幾何意義是數軸上的點到原點的距離.對于任意給定的實數a,b,c∈R，不難證明如下等式或不等式成立:
　　(1) |a-b|≥0；(2) |a-b|=|b-a|；(3) |a·b|=|a|·|b|；
　　(4) |a+b|≤|a|+|b|；(5) |a-c|≤|a-b|+|b-c|（三角不等式）；
　　(6) |a-b|≥||a|-|b||.
　　4. 鄰域
　　設a∈R，δ>0，數集{x||x-a|<δ}稱為以點a為中心,δ為半徑的鄰域（neighborhood），簡稱a的δ鄰域，記作U(a,δ)，即
　　U(a,δ)={x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ).
　　當不需要注明鄰域的半徑δ時，常把它表示為U(a)，簡稱點a的鄰域.
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