《黎曼幾何引論》上、下兩冊的分工是：上冊作為基礎(chǔ)數(shù)學專業(yè)研究生課程“黎曼幾何引論”的教材，其主要內(nèi)容應該、而且能夠在周學時為3、或4的一學期課程中講完，重點是黎曼幾何的基本概念和基本理論，以及大范圍黎曼幾何的主要結(jié)果和變分方法的運用；下冊可以作為后續(xù)課程“黎曼幾何Ⅱ”的教材，或討論班的學習材料。當前，微分幾何與數(shù)學的各個分支的相互影響越來越深刻、關(guān)系越來越密切，本書的下冊則體現(xiàn)了這種緊密的聯(lián)系。例如，Kahler流形是復流形幾何以及代數(shù)幾何的主要角色，在本書我們從微分幾何的角度論述了Kahler流形上的各種結(jié)構(gòu)的相容性及其幾何意義。黎曼對稱空間是一類特殊的黎曼流形，有相當豐富的對稱性質(zhì)，與李群和李代數(shù)有密切的聯(lián)系，它是微分幾何的重要研究對象，也是調(diào)和分析等的演繹舞臺。微分幾何在數(shù)學各個分支中的主要應用是，它提供了一種對于光滑切向量場進行微分的結(jié)構(gòu)，所以聯(lián)絡(luò)是微分幾何的核心內(nèi)容。本書的第十章從平行移動的角度闡述了主叢上的聯(lián)絡(luò)的由來及其幾何意義。一個約定俗成的準則是，一個數(shù)學命題是否屬于微分幾何的范疇，關(guān)鍵是看它是否涉及曲率的概念。曲率是圖形或某種空間結(jié)構(gòu)通過微分手段獲得的不變量，是微分幾何中最基本的概念，是衡量空間的某種結(jié)構(gòu)是否平凡的數(shù)量特征。本書各章都要講到各種結(jié)構(gòu)的曲率及其幾何意義為止。
　　翻閱本書不難發(fā)現(xiàn)，本書的選材和敘述與現(xiàn)有的數(shù)學文獻相比較都有它的獨到之處。本書是作者在北京大學學習微分幾何和長期從事微分幾何教學和研究的經(jīng)驗總結(jié)。在這里，我們特別懷念吳光磊教授，因為本書的有些講法出自吳先生在討論班上的演講。例如，復向量空間的對偶空間，向量叢上聯(lián)絡(luò)所誘導的水平分布等等都是吳先生在討論班上曾經(jīng)講過的內(nèi)容，凝集了他的學習心得。而且，他經(jīng)常要求我們用最簡潔的語言把概念清晰地表達出來。我們在本書所追求的目標之一就是把概念的由來和意義講清楚，而不滿足于它們的形式表述。數(shù)學的概念不只是術(shù)語和公式的堆砌，它們都有發(fā)生、發(fā)展和推廣的過程。我們試圖努力反映這種發(fā)展的過程。例如，第十章的（2。18）式定義的標架叢上的聯(lián)絡(luò)形式θ是主叢上的聯(lián)絡(luò)形式的特殊情形，我們還進一步指出：實際上它是向量叢E上的活動標架的相對分量。在這樣理解的基礎(chǔ)上，我們才能體會到抽象概念的豐富、生動的內(nèi)涵，而不只是一堆枯燥的公式。當然，本書只提供了K?hler流形、黎曼對稱空間、主纖維叢上的聯(lián)絡(luò)的基礎(chǔ)理論，并不是直接從事這些課題的前沿研究，但是它們?yōu)橛嘘P(guān)課題的前沿研究提供了堅實的基礎(chǔ)，我們相信這些內(nèi)容對于從事微分幾何、非線性分析、調(diào)和分析和數(shù)學物理研究的工作者是十分有用的。
　　和上冊一樣，李興校教授參與了本書的寫作，特別是本書的習題、答案和提示以及10。6是由他執(zhí)筆的。本書的寫作得到國家自然科學基金（項目批準號NSFC10271004）的資助，我們對此表示衷心的感謝。作者對責任編輯邱淑清老師的卓有成效的辛勤工作表示感謝。20年多來，她為數(shù)學書籍的出版傾注了很多心血，嚴格、細致的工作作風有口皆碑。借此機會向她表示崇高的敬意。
　　限于作者的水平，本書中的不足之處肯定是存在的，誠懇地希望讀者能不吝指正。