本教材主要內(nèi)容包含了復(fù)變函數(shù)引論、傅里葉變換、拉普拉斯變換、用分離變量法求解偏微分方程、二階線(xiàn)性常微分方程的級(jí)數(shù)解法和傅里葉級(jí)數(shù)、柱面坐標(biāo)中的偏微分方程解法、球面坐標(biāo)中的偏微分方程解法、無(wú)界區(qū)域的定解問(wèn)題、格林函數(shù)法求解數(shù)理方程。本教材以電子、信息類(lèi)學(xué)生為主要編寫(xiě)對(duì)象，適合作為電子科學(xué)類(lèi)、電子工程、通訊工程專(zhuān)業(yè)及應(yīng)用物理偏電類(lèi)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生的數(shù)學(xué)物理方法教材。
在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的今天,不但要求學(xué)生的知識(shí)面寬,而且對(duì)知識(shí)的深度也提出了更高的要求.例如,電子科學(xué)技術(shù)中有大量的小尺寸器件,要了解它們的特性,就需要解二維甚至三維的偏微分方程;對(duì)電子工程中的射頻電路和高速電路設(shè)計(jì)中的各種形狀的傳輸線(xiàn)、微帶線(xiàn)和微波器件進(jìn)行定量分析,至少要解二維偏微分方程.因此,電類(lèi)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)物理方法有利于學(xué)習(xí)和工作.另一方面,傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)物理方法內(nèi)容以介紹力學(xué)為主,對(duì)于電學(xué)問(wèn)題的處理基本上局限于對(duì)電動(dòng)力學(xué)的基本方程處理,與器件和電路結(jié)合較少.同時(shí),教材選用的內(nèi)容范圍過(guò)寬,這樣做的優(yōu)點(diǎn)是使學(xué)生了解了所有的相關(guān)內(nèi)容,缺點(diǎn)是內(nèi)容深度不夠.這些情況導(dǎo)致一般的數(shù)理方法教材與電類(lèi)學(xué)生所學(xué)的專(zhuān)業(yè)內(nèi)容不匹配,學(xué)生無(wú)法在專(zhuān)業(yè)知識(shí)中運(yùn)用數(shù)學(xué)物理方法.編者是專(zhuān)業(yè)課教師,兼任數(shù)學(xué)物理方法課程的教學(xué),到目前為止,編者的主要工作仍然是專(zhuān)業(yè)課的教學(xué).也正因?yàn)槿绱?編者深感數(shù)學(xué)物理方法課程改革的必要性,并希望把這種想法貫穿到教材中去,為此,編寫(xiě)了這本適合工科學(xué)生使用的教材.本教材有以下特點(diǎn):１．主要內(nèi)容包含了復(fù)變函數(shù)引論、傅里葉變換、拉普拉斯變換、數(shù)學(xué)物理方程的分離變量法、積分變換法、特征線(xiàn)法、格林函數(shù)法,引用了數(shù)學(xué)物理當(dāng)中的漸進(jìn)方法.考慮到有的專(zhuān)業(yè)已不再選學(xué)復(fù)變函數(shù),從第２章起的內(nèi)容刪除了與復(fù)變函數(shù)結(jié)合得過(guò)于緊密的內(nèi)容,課時(shí)少的專(zhuān)業(yè)只要?jiǎng)h除少量例題即可直接從傅里葉變換開(kāi)始教學(xué),對(duì)數(shù)學(xué)物理方法內(nèi)容的掌握沒(méi)有任何影響.２．電子科學(xué)、電子工程和通訊工程專(zhuān)業(yè)的學(xué)生在后續(xù)課程學(xué)習(xí)中要接觸到大量的特殊函數(shù)與電磁波理論,因此,本教材以６０％以上的篇幅講述了貝塞爾函數(shù)與勒讓德函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用、波動(dòng)方程的解法以及廣義傅里葉級(jí)數(shù),并以單獨(dú)的一章列出了二階線(xiàn)性常微分方程的級(jí)數(shù)解法,讓讀者熟悉與其他特殊函數(shù)相關(guān)的微分方程的解法.本教材的內(nèi)容都是電類(lèi)學(xué)生在后續(xù)課程學(xué)習(xí)和實(shí)際工作中遇到的數(shù)學(xué)難點(diǎn)和重點(diǎn).３．由于學(xué)時(shí)數(shù)的減少,教師在課堂上不能大量地講解推導(dǎo)過(guò)程和例題,本教材非常詳細(xì)地推導(dǎo)了相關(guān)的核心定理,每個(gè)定理都給出了足夠的例題以深化學(xué)生對(duì)定理的認(rèn)識(shí),便于學(xué)生在課后自學(xué).同時(shí),盡量解釋了偏微分程應(yīng)用的物理背景.由于此特點(diǎn),本教材尤為適用于普通本科院校學(xué)生以及教學(xué)課時(shí)較少的重點(diǎn)院校的學(xué)生.Ⅲ數(shù)學(xué)物理方法 第２版４．本教材還給出了編者在科研和實(shí)際工作中所遇到的一些數(shù)學(xué)物理方程,以及處理方法.通過(guò)對(duì)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí),讀者可以快速掌握在實(shí)際工作中數(shù)學(xué)物理方法的運(yùn)用.５．為了配合教材使用,制作了課件.由于以上嘗試和創(chuàng)新,本教材被評(píng)為普通高等教育“十一五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材.本教材承盛昭瀚教授和倪明放教授審稿.手稿的初期錄入由研究生梅振飛、劉梅、徐太龍、張本營(yíng)、吳昊、蔣先偉、王詩(shī)兵、方淼、張明、趙宇浩、魯世斌、張興建、周杰、劉萍、黃智、張婷、胡媛完成,尤其是梅振飛在錄入書(shū)稿中做了大量的工作.孫玉發(fā)教授、朱軍教授、李國(guó)祥副教授曾閱讀了教材部分初稿,并就電子工程和通信工程中所遇到的數(shù)理方法問(wèn)題處理提出了寶貴建議.孟堅(jiān)副教授也參加了本教材的編寫(xiě)工作.在此,對(duì)以上所有的人表示衷心的感謝.由于水平和經(jīng)驗(yàn)的限制,書(shū)中難免有欠妥之處,懇請(qǐng)讀者批評(píng)指正.編 者
目 錄
前 言
第１章 復(fù)變函數(shù)引論 １
�。�.１ 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) １
１.１.１ 復(fù)數(shù)表示法 ２
１.１.２ 復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則 ３
１.１.３ 復(fù)變函數(shù)的概念 ５
１.１.４ 復(fù)多項(xiàng)式與復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù) １０
１.２ 初等復(fù)變函數(shù)與反函數(shù) １４
１.２.１ 初等復(fù)變函數(shù)的定義 １４
１.２.２ 指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù) １５
１.２.３ 反函數(shù) １９
�。�.３ 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù) ２３
１.３.１ 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的定義 ２３
１.３.２ 柯西Ｇ黎曼方程 ２６
１.３.３ 多值函數(shù)的解析延拓 ２９
�。�.４ 復(fù)變函數(shù)的積分 ３２
１.４.１ 復(fù)變函數(shù)積分的概念和計(jì)算 ３２
１.４.２ 柯西古薩定理 ３５
１.４.３ 復(fù)變函數(shù)的原函數(shù)與積分 ３７
�。�.５ 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)和泰勒級(jí)數(shù) ４１
１.５.１ 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) ４１
１.５.２ 泰勒級(jí)數(shù) ４６
�。�.６ 羅朗級(jí)數(shù)與留數(shù) ４９
１.６.１ 羅朗級(jí)數(shù) ５０
１.６.２ 留數(shù)和圍道積分 ５４
１.６.３ 留數(shù)的簡(jiǎn)便求法 ５７
１.７ 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 ５８
１.７.１ ∫２π
０
f(cosθ,sinθ)dθ型積分 ６０
Ⅴ
數(shù)學(xué)物理方法 第２版
１.７.２ ∫＋∞
－∞
f(x)dx型積分 ６１
１.７.３ ∫＋∞
－∞
f(x)ejmxdx(m ＞０)型積分 ６２
１.７.４ ∫＋∞
－∞
f(x)dx型積分,且f(x)在實(shí)軸上有一階極點(diǎn)的積分 ６３
１.７.５ ∫＋∞
－∞
f(x)ejmxdx(m ＞０)型積分,且f(x)在實(shí)軸上有一階極點(diǎn)的積分 ６４
習(xí)題１ ６４
第２章 傅里葉變換 ６９
�。�.１ 函數(shù)空間及函數(shù)展開(kāi) ６９
２.１.１ 函數(shù)的內(nèi)積 ６９
２.１.２ 平方可積函數(shù)空間與函數(shù)展開(kāi) ７３
�。�.２ 傅里葉積分與傅里葉變換 ７８
２.２.１ 一維傅里葉變換定理 ７８
２.２.２ 多維傅里葉變換 ８３
�。�.３ 階躍函數(shù)與δ函數(shù)的傅里葉變換 ８４
２.３.１ 階躍函數(shù)及廣義傅里葉變換 ８４
２.３.２ 廣義函數(shù)及δ(x)函數(shù) ８８
２.３.３ δ(x)函數(shù)的性質(zhì) ９２
２.４ 傅里葉變換的性質(zhì) ９８
�。�.５ 函數(shù)的卷積與傅里葉變換的卷積定理 １０３
２.５.１ 函數(shù)的卷積 １０３
２.５.２ 傅里葉變換的卷積定理 １０６
２.６ 復(fù)值函數(shù)的傅里葉變換 １０８
習(xí)題２ １０９
第３章 拉普拉斯變換 １１３
�。�.１ 拉普拉斯變換的基本原理 １１３
３.１.１ 拉普拉斯變換的概念 １１３
３.１.２ 周期脈沖函數(shù)拉普拉斯變換的計(jì)算方法 １１７
３.２ 拉氏變換的性質(zhì) １１８
�。�.３ 拉氏變換的卷積定理 １２６
３.３.１ 卷積的意義和它的運(yùn)算規(guī)則 １２６
３.３.２ 卷積定理 １２７
�。�.４ 拉氏逆變換及其應(yīng)用 １３０
Ⅵ
目 錄
３.４.１ 拉氏逆變換的反演積分原理 １３０
３.４.２ 用拉氏逆變換解常微分方程 １３３
習(xí)題３ １３８
第４章 用分離變量法求解偏微分方程 １４０
４.１ 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出 １４０
�。�.２ 定解問(wèn)題的基本概念 １４６
４.２.１ 泛定方程的基本概念 １４６
４.２.２ 定解條件 １４９
４.２.３ 線(xiàn)性偏微分方程解的疊加定理 １５１
４.３ 直角坐標(biāo)系下的分離變量法 １５３
４.３.１ 一維齊次定解問(wèn)題的分離變量法 １５３
４.３.２ 高維齊次定解問(wèn)題的分離變量法 １５９
４.４ 直角坐標(biāo)系下的第三類(lèi)邊值問(wèn)題與廣義傅里葉級(jí)數(shù) １６１
４.４.１ 直角坐標(biāo)系下的第三類(lèi)邊值問(wèn)題的求解 １６１
４.４.２ 廣義傅里葉級(jí)數(shù) １６４
�。�.５ 拉普拉斯方程的定解問(wèn)題 １６７
４.５.１ 平面直角坐標(biāo)系中的狄利克萊問(wèn)題 １６７
４.５.２ 直角坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的混合定解問(wèn)題 １６９
４.５.３ 圓域內(nèi)的狄利克萊問(wèn)題 １７１
�。�.６ 特征函數(shù)展開(kāi)法解齊次邊界條件的定解問(wèn)題 １７４
４.６.１ 齊次邊界條件發(fā)展方程初值問(wèn)題的解法 １７５
４.６.２ 非齊次邊界條件邊值問(wèn)題的解法 １７７
�。�.７ 非齊次邊界條件的處理 １８０
習(xí)題４ １８４
第５章 二階線(xiàn)性常微分方程的級(jí)數(shù)解法和廣義傅里葉級(jí)數(shù) １８８
�。�.１ 貝塞爾方程與勒讓德方程 １８８
５.１.１ 貝塞爾方程的導(dǎo)出 １８９
５.１.２ 勒讓德方程的引入 １９１
�。�.２ 二階線(xiàn)性常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法 １９３
５.２.１ 二階線(xiàn)性常微分方程的奇點(diǎn)與常點(diǎn) １９３
５.２.２ 二階線(xiàn)性常微分方程的冪級(jí)數(shù)解 １９４
�。�.３ 二階線(xiàn)性常微分方程的廣義冪級(jí)數(shù)解法 １９８
５.３.１ 弗羅貝尼烏斯解法理論 １９８
５.３.２ 弗羅貝尼烏斯級(jí)數(shù)解法 ２０２
Ⅶ
數(shù)學(xué)物理方法 第２版
�。�.４ 常微分方程的邊值問(wèn)題 ２０７
５.４.１ 常微分方程邊值問(wèn)題的提出 ２０７
５.４.２ SL問(wèn)題的定理 ２１０
５.４.３ 廣義傅里葉級(jí)數(shù)的進(jìn)一步討論 ２１３
習(xí)題５ ２１７
第６章 柱面坐標(biāo)中的偏微分方程解法 ２１９
�。�.１ 貝塞爾方程的解與貝塞爾函數(shù) ２１９
６.１.１ 第一類(lèi)和第二類(lèi)貝塞爾函數(shù) ２１９
６.１.２ 整數(shù)階諾依曼函數(shù) ２
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