目錄
序言
前言
第1章 實分析基礎 1
1.1 集合與映射 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 映射 3
1.1.3 集合的基數(shù) 4
1.2 實數(shù)與函數(shù)的有關定理 7
1.2.1 實數(shù)的有關定理 7
1.2.2 函數(shù)的有關概念與定理 11
1.3 直線上的開集和閉集 15
1.3.1 開集和閉集的概念 15
1.3.2 開集和閉集的性質 17
1.3.3 開集和閉集的結構 19
1.4 可測集 20
1.4.1 有界開集和閉集的測度 20
1.4.2 可測集的概念 22
1.4.3 可測集的性質 24
1.5 可測函數(shù) 25
1.5.1 可測函數(shù)的概念 25
1.5.2 可測函數(shù)的性質 27
1.5.3 幾乎處處收斂和測度收斂 29
1.6 Lebesgue積分 31
1.6.1 Riemann積分 31
1.6.2 Lebesgue積分的概念 33
1.6.3 Lebesgue積分的性質 35
1.6.4 Lp空間 37
習題 1 38
第2章 距離空間 41
2.1 距離空間的定義和例子 41
2.1.1 距離空間的定義 41
2.1.2 距離空間的實例 41
2.2 度量空間中的點集 47
2.2.1 距離拓撲 47
2.2.2 稠密集與可分性 48
2.3 完備距離空間 49
2.3.1 距離空間的完備化 52
2.4 緊性與列緊性 54
2.5 Banach空間 60
2.6 不動點原理及其應用 68
2.6.1 Banach不動點原理及迭代方法 68
2.6.2 壓縮映像原理在積分方程理論中的應用 72
2.6.3 利用不動點定理求解常微分方程 74
2.7 有界線性泛函與Hahn-Banach擴張定理 76
2.7.1 有界線性算子 76
2.7.2 Hahn-Banach定理 84
習題 2 100
第3章 Hilbert空間 107
3.1 內積空間 107
3.1.1 內積空間的概念和性質 107
3.1.2 常見的內積空間 110
3.2 幾個常用的Hilbert空間 112
3.3 正交分解 115
3.3.1 正交與正交補 115
3.3.2 變分原理與正交分解定理 117
3.3.3 正交分解定理的應用 120
3.4 Hilbert空間中的Fourier分析 123
3.4.1 標準正交系 123
3.4.2 Fourier級數(shù) 126
3.5 Hilbert空間的同構 129
習題 3 131
第4章 有界線性算子 135
4.1 一致有界原理，開映射定理和閉算子定理 135
4.1.1 一致有界原理 135
4.1.2 開映射定理，閉算子定理 139
4.2 共軛空間與共軛算子 141
4.2.1 共軛空間 141
4.2.2 共軛算子 143
4.2.3 算子的值域與核空間 145
4.3 算子的譜 147
4.3.1 譜的定義和性質 147
4.3.2 具體算子的譜 149
4.4 緊算子 152
4.4.1 緊算子的定義及性質 152
4.4.2 緊算子的譜 155
4.5 自伴算子，射影算子 156
4.5.1 自伴算子的定義及性質 157
4.5.2 射影 161
4.5.3 不變子空間與約化子空間 164
習題 4 165
附錄 Sobolev空間 168
A.1 Sobolev空間 168
A.1.1 廣義導數(shù) 168
A.1.2 Sobolev空間 170
A.1.3 Sobolev空間 171
A.2 正規(guī)正交基的存在性與Parseval公式 174
A.2.1 正規(guī)正交基的存在性 174
A.2.2 Parseval公式 174
A.3 共軛雙線性泛函 176
A.4 Hilbert共軛算子與Lax-Milgram定理 178
A.4.1 Hilbert共軛算子 178
A.4.2 Lax-Milgram定理 182
A.4.3 算子的矩陣表示 185
A.5 二次變分問題 187
A.5.1 雙線性形式 187
A.5.2 二次變分問題的主定理 188
A.6 從泛函分析角度考察Dirichlet原理 190
A.6.1 經(jīng)典的歐拉{拉格朗日方程 191
A.6.2 廣義邊界值 194
A.6.3 Poincarffe-Friedrichs不等式 194
A.6.4 Dirichlet問題的解的存在性 196
參考文獻 199
索引 200