從這一章開始我們將要介紹泛函分析。泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)較新的重要分支。它起源于經(jīng)典數(shù)學(xué)物理中的變分問題、邊值問題，概括了經(jīng)典數(shù)學(xué)分析、函數(shù)論中的某些重要概念、問題和成果，又受到量子物理學(xué)、現(xiàn)代工程技術(shù)和現(xiàn)代力學(xué)的有力刺激。它綜合地運(yùn)用分析的、代數(shù)的和幾何的觀點(diǎn)和方法，研究分析數(shù)學(xué)、現(xiàn)代物理和現(xiàn)代工程技術(shù)提出的許多問題。從本世紀(jì)中葉開始，偏微分方程理論，概率論（特別是隨機(jī)過程理論）以及一部分計(jì)算數(shù)學(xué)，由于運(yùn)用了泛函分析而得到了大發(fā)展。現(xiàn)在，泛函分析的概念和方法已經(jīng)滲透到現(xiàn)代純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、理論物理及現(xiàn)代工程技術(shù)理論的許多分支，如微分方程、概率論、計(jì)算數(shù)學(xué)、量子場論、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、抽象調(diào)和分析、現(xiàn)代控制理論、大范圍微分幾何學(xué)等方面�，F(xiàn)在泛函分析對(duì)純粹數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)中的影響，好像本世紀(jì)初葉集論、點(diǎn)集論對(duì)后來數(shù)學(xué)的影響那樣。同時(shí)泛函分析本身也不斷地深入發(fā)展。例如算子譜理論以及各種表示理論已經(jīng)達(dá)到相當(dāng)深入的程度。

　　泛函分析大體分為線性泛函分析和非線性泛函分析兩大部分，線性泛函分析比起非線性泛函分析來說要成熟得多，也更基本一些，這是自然的。一般來說，因?yàn)閷?duì)于數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理中許多問題，人們大抵都是先作一次近似把它“線性化”；而線性問題總是比非線性問題容易研究得多，因而迄今所獲得的成果也就要豐富得多。本書中除個(gè)別地方外幾乎全部討論線性泛函分析。