2012 年盛夏，從歐洲大陸*北部的挪威王國傳出一條令人震驚的消息。首都奧斯陸近郊一座名為于特的湖心島上，80 多位參加夏令營的青少年被一名歹徒瘋狂掃射身亡。挪威是當今世界*富庶美麗、*寧靜安逸的國度，也是數學天才阿貝爾（N. H. Abel）的祖國，首屆菲爾茲獎1936 年在奧斯陸頒發(fā)，以阿貝爾命名的數學獎與諾貝爾和平獎也每年在奧斯陸評選并頒發(fā)。悲憤之余，仍有許多人對挪威發(fā)生如此恐怖的事件表示難以置信。
1829 年，26 歲的挪威青年阿貝爾死于營養(yǎng)不良和肺病，卻依然是19 世紀乃至人類歷史上*偉大的數學家之一。阿貝爾是*個揚名世界的挪威人，他取得的成就激發(fā)了他的同胞們的才智。在阿貝爾去世前一年，挪威誕生了戲劇家易卜生，接下來的還有作曲家格里格、藝術家蒙克和探險家阿蒙森，每一位都蜚聲世界。想到這些，不由得對奧斯陸槍擊案可能產生的陰影稍感樂觀，阿貝爾的英年早逝、易卜生的背井離鄉(xiāng)和蒙克的畫作《吶喊》，都說明這個國家的人民曾經遭受過不幸和磨難。
在所有與數學史有關的書籍里，阿貝爾的名字總是在人名索引里名列前茅。本書對他有較為詳細的描述，書中還談到他的晚輩同胞索菲斯·李（S. Lie，1842—1899），21 世紀的兩個重要數學分支—李群和李代數均得名于他。1872 年，德國數學家F. 克萊因（F. Klein，1849—1925）發(fā)表了《埃爾朗根綱領》，試圖用群論的觀點統(tǒng)一幾何學乃至整個數學領域，所依賴的正是李的工作。
限于篇幅， 本書未談及2007 年過世的挪威數學家賽爾伯格（A. Selberg，1917—2007），他是我本人見過且交談過的數論同行。早在1950 年，他便因給出素數定理的初等證明榮獲菲爾茲獎�；蛟S是一種補償，書中*后出場的奧地利人維特根斯坦（L. Wittgenstein，1889—1951）與挪威結緣，他是20 世紀*有數學意味的哲學家。任職劍橋大學期間，維特根斯坦在挪威西部鄉(xiāng)間蓋了一間小木屋，經常從英國跑到那里度假思索，有時一住就是一年，他死后出版的代表作《哲學研究》（1953）便是在小木屋里開始構想的。
從以上敘述中讀者可能已經看出，本書的寫作風格和宗旨是，既不愿錯過任何一位偉大的數學家和任何一次數學思潮，以及由此產生的內容、方法，也不愿放棄任何可以闡述數學與其他文明相互交融的機會。這是一部沒有藍本可以參照的書，從書名來看，*接近的同類著作是美國數學史家M. 克萊因（M. Kline，1908—1992）的《西方文化中的數學》（1953）�？墒牵琈. 克萊因的著作討論的范圍被“西方”和“文化”兩個詞限定了，我們卻不得不考慮整個人類的歷史長河，涉及的領域也超出了“文化”的范疇。如同英國數學家、哲學家阿爾弗雷德·懷特海所言，“現(xiàn)代科學誕生于歐洲，但它的家卻是整個世界�！�
從寫作方式來看，盡管存在著多種可能性，主要面臨的選擇卻只有兩個，即是否把數學史作為一種寫作線索？ M. 克萊因的著作雖以時間為主線（他的另一部力作《古今數學思想》也是這樣），卻以每章一個專題的形式來講述數學與文化的關系。顯而易見，M. 克萊因既精通數學，又熟知古希臘以來的西方文化（主要是古典部分），我認為這方面已經很難超越了。況且，他的書早已有了中文版。
不過，通過閱讀M. 克萊因的著作，我們不難發(fā)現(xiàn)，他假設的讀者對象是數學或文化領域的專家。而我心目中的讀者范圍更為寬廣，他們可能只學過初等數學或簡單的微積分，也許對數學的歷史及其與其他文明的關系所知不多，對數學在人類文明的發(fā)展歷程中扮演的重要角色認識不足，尤其是，對現(xiàn)代數學與現(xiàn)代文明（比如，現(xiàn)代藝術）的淵源缺乏了解。這樣一來，就留出了寫作空間。
在我看來，數學與科學、人文的各個分支一樣，都是人類大腦進化和智力發(fā)展進程的反映。它們在特定的歷史時期必然相互影響，并呈現(xiàn)出某種相通的特性。在按時間順序講述不同地域文明的同時，我們先后探討了數學與各式各樣文明之間的關系。例如，埃及和巴比倫的數學來源于人們生存的需要，希臘數學與哲學密切相關，中國數學的活力來自歷法改革，印度數學的源泉始于宗教，而波斯或阿拉伯的數學與天文學互不分離。
文藝復興是人類文明進程的一個里程碑，這個時期的藝術推動了幾何學的發(fā)展。到了17 世紀，微積分的產生解決了科學和工業(yè)革命的一系列問題，而18 世紀法國大革命時期的數學涉及力學、軍事和工程技術。19 世紀前半葉，數學和詩歌幾乎同時從古典進入現(xiàn)代，其標志分別是非交換代數和非歐幾何學的誕生，愛倫·坡（E. Allan Poe，1809—1849）和波德萊爾（C. Baudelaire，1821—1867）的出現(xiàn)。進入20 世紀以后，抽象化又成為數學和人文學科的共性。
數學中的抽象以集合論和公理化為標志，與此同時，藝術領域則出現(xiàn)了抽象主義和行動繪畫。哲學與數學的再次交匯產生了現(xiàn)代邏輯學，并誕生了維特根斯坦和哥德爾定理。更有意思的是，數學的抽象化不僅沒有使其被束之高閣，反而得到意想不到的廣泛應用，尤其在理論物理學、生物學、經濟學、電子計算機和混沌理論等方面。由此可見，這是符合歷史潮流和文明進程規(guī)律的。盡管如此，數學天空的未來并非一片晴朗。
本書的一個顯著特點是對現(xiàn)代數學和現(xiàn)代文明的比較分析和闡釋，這是我多年數學研究和寫作實踐的思考、總結。至于古典部分，我們也著力發(fā)現(xiàn)有現(xiàn)代意義的亮點。比如，談到埃及數學時，我們重點介紹了“埃及分數”這個既通俗易懂又極為深刻的數論問題，它甚至仍然困擾著21 世紀的數學家。又如，巴比倫人*早發(fā)現(xiàn)了畢達哥拉斯定理，同時知道了畢達哥拉斯數組，這一結果也是1 000 多年以后興起的希臘數學和文明的代表性成就，卻與20 世紀末的熱點數學問題——費爾馬大定理——相聯(lián)系。
本書的另一個特點是，多數小節(jié)以人物為標題，同時做到圖文并茂，以方便理解、欣賞和記憶。在100 余幅精心挑選的圖片（有的是我拍攝的照片）中，相當一部分與文學、藝術、科學、教育有密切的關聯(lián)。希望讀者能通過本書的閱讀，拉近與數學這門抽象學科的心理距離，從中理解各自所學或從事專業(yè)與數學的關系，進而反思人類文明的歷史進程甚或生活的意義。
誠如部分讀者所了解的，2012 年夏，商務印書館的“名師講堂”推出了我所著的《數學與人類文明》，后入選國家新聞出版廣電總局向全國青少年推薦的“百優(yōu)圖書”。該書源自我的同名教材，系教育部高等學�！笆�一五”國家級規(guī)劃教材的一種，應用于浙江大學等多所大學的通識課程。迄今為止，兩者已印了3 萬多冊。如今，商務印書館的版權到期，應中信出版社的約請和建議，我修訂了全書，更新了相當一部分圖片。
我們把這本書易名為“數學簡史”，正是這一點觸動了我，這個名字更符合書的本意。因為本書既著眼于數學的歷史，同時數學與人類文明的關系本身也屬于數學史的范疇，這樣一來就適時回避了現(xiàn)代數學的復雜性，努力幫助讀者從不同的角度理解數學。另一點引起我注意的是，中信出版社引進出版了以色列歷史學家尤瓦爾·赫拉利的兩本力作《人類簡史》和《未來簡史》。令人鼓舞的是，我在微博上發(fā)布征求本書封面設計方案的建議后，北京海淀區(qū)的藤先生留言道：“在國內引進的各種簡史浪潮中，終于有蔡教授挺身而出，寫一本數學簡史了。”
*后，我想用一首詩來結束本序言。這是2005 年夏天，作者偕同4 位研究生，到馬尼拉的菲律賓大學參加一個數論與密碼學的國際研討會期間所作。那是令麥哲倫折戟沙灘，殖民者不足以重視，數學史家和文化史家容易忽略的國度。詩中出現(xiàn)了一些幾何圖形，如線段、弧線、圓圈、扭結、曲面和拓撲變換，當然，均已被改換成相應的詩歌語言。這首詩似乎在敘述一些數學概念，但流露的分明是一種生活的情緒。
跳 繩
每一棵光潔的稻草
都布滿了銀色的月光
它們被編織成繩索
就像腳踝上的鏈子
那圓圈中的圓圈
也布滿了銀色的月光
無論眉梢、鬢角
還是手臂上的燙痕
反來復去地穿梭往來
蔡天新