目錄
《數(shù)學分析立體化教材》序言
第二版說明
第一版前言
使用說明
第1章 實數(shù)與數(shù)列極限 1
1.0 預備知識 1
1.0.1 一些常用的記號 1
1.0.2 邏輯命題的否命題 1
1.0.3 特殊的數(shù)集 2
1.1 實數(shù)的基本性質與常用不等式 3
1.1.1 實數(shù)的基本性質 3
1.1.2 一些常用的不等式 4
1.2 數(shù)列與數(shù)列極限的概念 6
1.2.1 數(shù)列的定義 6
1.2.2 數(shù)列極限的定義 7
1.3 收斂數(shù)列的性質 12
1.3.1 收斂數(shù)列的重要性質 12
1.3.2 無窮小與無窮大數(shù)列 17
1.4 發(fā)散數(shù)列與子列的概念 19
1.4.1 發(fā)散數(shù)列 19
1.4.2 數(shù)列的子列的概念 20
1.5 確界原理 22
1.5.1 有界集、上確界和下確界的概念 22
1.5.2 確界的數(shù)列刻畫 24
1.5.3 數(shù)集確界的存在性與唯一性 25
1.6 數(shù)列收斂的判別法 27
1.6.1 迫斂性定理 27
1.6.2 單調(diào)有界定理 27
1.6.3 致密性定理與 Cauchy 收斂準則 30
小結 34
復習題 35
第2章 函數(shù)與函數(shù)極限 38
2.0 預備知識 38
2.1 映射與函數(shù)的概念 39
2.1.1 映射的概念 39
2.1.2 函數(shù)的概念 39
2.1.3 函數(shù)的四種特性 41
2.1.4 函數(shù)的基本運算 43
2.1.5 反函數(shù) 44
2.1.6 初等函數(shù) 45
2.2 x1時函數(shù)極限的概念 49
2.2.1 引例 49
2.2.2 x 趨于 1 時的函數(shù)極限的定義 49
2.2.3 三種函數(shù)極限的關系 51
2.2.4 典型例子 51
2.3 xx0 時函數(shù)極限的概念 53
2.3.1 引例 53
2.3.2 x趨于x0時函數(shù)極限的定義 53
2.3.3 三種函數(shù)極限的關系 55
2.3.4 典型例子 56
2.4 函數(shù)極限的性質 58
2.5 函數(shù)極限存在的判別法 63
2.5.1 迫斂性定理 63
2.5.2 歸結原則——Heine 定理 66
2.5.3 函數(shù)的單調(diào)有界定理 69
2.5.4 Cauchy 準則 70
2.6 無窮小量和無窮大量 73
2.6.1 無窮大量與無窮小量的定義與性質 73
2.6.2 無窮小量的比較 75
小結 78
復習題 79
第3章 函數(shù)的連續(xù)性 82
3.1 連續(xù)函數(shù)的概念 82
3.1.1 函數(shù)在一點 x0 連續(xù)的定義 82
3.1.2 函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)及區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 83
3.1.3 典型例子 84
3.2 函數(shù)間斷的概念 86
3.2.1 間斷點的定義及其分類 86
3.2.2 典型例子 87
3.3 連續(xù)函數(shù)的局部性質與初等函數(shù)的連續(xù)性 89
3.3.1 局部性質 89
3.3.2 初等函數(shù)的連續(xù)性 90
3.3.3 應用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)極限 92
3.4 連續(xù)函數(shù)的整體性質 94
3.4.1 有界性定理和最值定理 94
3.4.2 零點定理與介值定理 97
3.4.3 一致連續(xù)性定理 99
小結 103
復習題 104
第4章 微分與導數(shù) 106
4.1 微分與導數(shù)的概念 106
4.1.1 微分的概念 106
4.1.2 導數(shù)的概念 109
4.1.3 可微與可導的關系 111
4.1.4 可微函數(shù)與可導函數(shù) 112
4.2 求導方法與導數(shù)公式 113
4.2.1 用定義求函數(shù)的導數(shù) 113
4.2.2 導數(shù)的四則運算法則 115
4.2.3 反函數(shù)求導法則 117
4.2.4 復合函數(shù)求導法則 118
4.3 微分的計算與應用 123
4.3.1 微分的運算法則 123
4.3.2 微分在近似計算中的應用 123
4.4 高階導數(shù)與高階微分 126
4.4.1 高階導數(shù) 126
4.4.2 高階微分 129
4.5 參數(shù)方程所表示的函數(shù)的導數(shù) 131
4.5.1 參數(shù)方程與函數(shù) 131
4.5.2 用參數(shù)方程表示的函數(shù)的導數(shù) 132
4.5.3 用極坐標方程表示的曲線的切線 133
4.5.4 參數(shù)方程所表示的函數(shù)的高階導數(shù) 134
小結 136
復習題 136
第5章 導數(shù)的應用 138
5.1 Fermat 定理和 Darboux 定理 138
5.1.1 極值的定義與 Fermat 定理 138
5.1.2 Darboux 定理 139
5.2 中值定理 140
5.2.1 Rolle 中值定理 140
5.2.2 Lagrange 中值定理 141
5.2.3 Cauchy 中值定理 144
5.3 不定式極限 146
5.3.1 L'Hospital 法則 147
5.3.2 其他類型的不定式極限 150
5.4 Taylor 公式 153
5.4.1 帶 Peano 型余項的 Taylor 公式 154
5.4.2 帶 Lagrange 型余項的 Taylor 公式 156
5.4.3 若干初等函數(shù)的 Maclaurin 公式 157
5.4.4 Taylor 公式應用舉例 160
5.5 函數(shù)的單調(diào)性與凸性 163
5.5.1 函數(shù)的單調(diào)性 163
5.5.2 函數(shù)的凸性 165
5.5.3 曲線的拐點 169
5.5.4 單調(diào)性與凸性的應用—— 證明一些不等式 170
5.6 函數(shù)的極值與最值 173
5.6.1 函數(shù)的極值 173
5.6.2 函數(shù)的最值 176
5.7 函數(shù)作圖 178
5.7.1 漸近線 179
5.7.2 函數(shù)圖形的描繪 180
小結 183
復習題 184
第6章 實數(shù)集的稠密性與完備性 187
6.1 實數(shù)集的稠密性 187
6.1.1 兩個實數(shù)的大小關系 187
6.1.2 實數(shù)集的稠密性 191
6.2 實數(shù)集的完備性 193
6.2.1 區(qū)間套定理 193
6.2.2 有限覆蓋定理 195
6.2.3 聚點定理 197
6.2.4 實數(shù)集完備性基本定理的等價性 199
6.3 上極限和下極限簡介 201
小結 203
復習題 204
習題答案或提示 205
參考文獻 215
附錄 216
索引 221