數(shù)學(xué)是美麗的,它既有趣又令人興奮,同時(shí)也很實(shí)用。本書探討了兩千多年的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中一些偉大的突破和有趣的話題:從埃及分?jǐn)?shù)到圖靈機(jī),從數(shù)字 的真正意義到證明樹、群對稱和機(jī)械化計(jì)算。如果你想知道高中幾何課中難以完成的證明背后到底隱藏著什么,或者什么限制了計(jì)算機(jī)的能力,本書將會帶你找到答案。作者從數(shù)字的基礎(chǔ)開始帶你開啟美麗的數(shù)學(xué)之旅,首先通過探討一些有趣的和奇怪的數(shù)字,如整數(shù)、自然數(shù)、有理數(shù)、超越數(shù)、零、黃金比例、虛數(shù)、羅馬數(shù)字、埃及分?jǐn)?shù)和連分?jǐn)?shù),帶你領(lǐng)略數(shù)字的趣味性、數(shù)字之美和數(shù)字之用,然后深入研究現(xiàn)代邏輯,包括線性邏輯、Prolog語言等,以及現(xiàn)代集合論和現(xiàn)代機(jī)械化計(jì)算的進(jìn)展與悖論,帶你感受數(shù)學(xué)的邏輯性和計(jì)算性。
如果你曾經(jīng)對黃金比例、圖靈機(jī)或者為什么圓周率永遠(yuǎn)算不完感到好奇,那么這本書就是為你準(zhǔn)備的.....
前言這本書來自哪里在成長過程中,我對父親最早的記憶是數(shù)學(xué)。我爸爸是一位物理學(xué)家,他在RCA公司做半導(dǎo)體制造,所以他的工作涉及很多數(shù)學(xué)知識。周末他有時(shí)會帶著一些未完成的工作回家。他會坐在我們家的客廳里,身邊散落著一堆紙張和他那把可靠的計(jì)算尺。
作為一個(gè)極客小孩,我認(rèn)為他做的東西看起來很酷,我問他相關(guān)的一些事情。當(dāng)我這樣做的時(shí)候,他總是停下手上的工作,向我解釋。他是個(gè)了不起的老師,我從他那里學(xué)到了很多數(shù)學(xué)知識。在我上三年級的時(shí)候,他就教給我貝爾(鐘形)曲線、標(biāo)準(zhǔn)差和線性回歸的基本知識!直到我上大學(xué)之前,我在學(xué)校的數(shù)學(xué)課上從來沒有學(xué)過任何東西,因?yàn)樵谖疑险n之前,我爸爸已經(jīng)教給我更多的數(shù)學(xué)知識。
他做的不僅僅是向我解釋內(nèi)容。他教我如何教書。他總是告訴我,在你向別人解釋某事之前,你自己不會真正明白它。所以他會讓我把內(nèi)容解釋給他聽,好像他不知道那些似的。
那些和爸爸在一起的時(shí)光奠定了我對數(shù)學(xué)的熱愛之情,并且一直持續(xù)了幾十年。
大約在2006年,我開始讀科學(xué)博客。我覺得這些博客的內(nèi)容真的很吸引人,真的令人激動(dòng)。但我不認(rèn)為我有什么話可以引起別人的興趣,所以我只是讀別人寫的,有時(shí)候做點(diǎn)評論。
然后有一天,我讀了一個(gè)叫Respectful
Insolence的博客,作者的筆名是Orac,是一名專業(yè)的腫瘤外科醫(yī)生。他談到幾個(gè)怪人完成了一篇論文,他們從數(shù)據(jù)中得出了荒謬的結(jié)論,并將它發(fā)表在了公共數(shù)據(jù)庫中。Orac精心地駁斥了他們的論點(diǎn),解釋為什么作者聲稱的基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)和生物學(xué)是荒謬的。但在閱讀原文后,令我印象深刻的是,反駁作者對生物的誤解是不必要的,他們解釋圖形數(shù)據(jù)的整個(gè)論斷完全是虛假的。那時(shí)候我意識到,存在大量的生物學(xué)家、醫(yī)生、神經(jīng)病學(xué)家、生理學(xué)家、物理學(xué)家的博客,并且各有特點(diǎn),但是沒有一個(gè)博客是關(guān)于數(shù)學(xué)的!
于是我去Bolgger網(wǎng)站創(chuàng)建了一個(gè)博客。我寫了我對草率數(shù)學(xué)的批判,然后把鏈接發(fā)送給Orac。我想可能會有幾十人來讀它,我可能會在幾個(gè)星期后放棄它。
但是,我在我的新博客上發(fā)表了第一篇文章之后,我就想起了我的爸爸。他是那種不喜歡花時(shí)間取笑別人的人。偶爾做這件事很好,但要把整個(gè)愛好都放棄呢?他是不會引以為傲的。
記得他教我的方法,我開始寫我喜歡的那種數(shù)學(xué),努力幫助其他人看到為什么它是如此美麗、如此有趣、如此迷人。最終的結(jié)果是我的博客Good Math/Bad Math。我寫博客已經(jīng)快七年了,現(xiàn)在我的文章數(shù)以千計(jì)!
當(dāng)我開始寫博客的時(shí)候,我想沒人會對我說的話感興趣。我想我可能會被幾十人讀到,我會在幾個(gè)星期后放棄。相反,幾年后,我獲得了成千上萬的粉絲,他們閱讀了我寫的每一篇文章。
這本書是我接觸更多讀者的方式。數(shù)學(xué)是有趣的、美麗的、迷人的。我想與你分享樂趣、美麗和魅力。在這本書中,你會發(fā)現(xiàn)我和我爸爸一起度過的時(shí)光,他教我熱愛數(shù)學(xué),教我如何教別人。
我一直保留著他的計(jì)算尺。這是我最珍貴的財(cái)產(chǎn)之一。
讀者對象如果你對數(shù)學(xué)感興趣,這本書是給你的!我試著把它寫出來,以便任何一個(gè)有高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人都能閱讀。具有更多的背景知識,你會發(fā)現(xiàn)更具深度的內(nèi)容,但是即使你只學(xué)習(xí)了高中代數(shù),也應(yīng)該能讀懂。
如何讀這本書這不是一本需要你逐頁閱讀的書。每一章幾乎都是獨(dú)立的。你可以選擇感興趣的話題,按任意順序閱讀。在這本書的六部分中,各章將經(jīng)常引用同一部分的前幾章來介紹細(xì)節(jié)。如果你閱讀參考章節(jié),會從這些章節(jié)中得到更多知識,但如果你不喜歡,仍然可以讀懂。
你需要做什么對于大部分書中內(nèi)容,你只需要好奇心。在幾章中,有幾個(gè)程序。如果你想運(yùn)行它們,程序中有鏈接和說明。
致謝感謝每個(gè)對這本書有貢獻(xiàn)的人,總是很難。我確信我會忘記某人:如果你應(yīng)該得到感謝,但我把你忘記了,我提前道歉,謝謝你的幫助!
非常感謝以下人士:
■我的blogfather和朋友Orac(又名David
Gorski),開始的時(shí)候他給了我寫博客的動(dòng)機(jī),并且?guī)椭乙鹱x者的注意。
■我博客的許多讀者,他們指出了我的錯(cuò)誤,幫助我成為一個(gè)更好的作家。
■我在Scientopia的朋友們。
■獻(xiàn)出時(shí)間和精力對這本書的草稿進(jìn)行技術(shù)審校的人:Paul Keyser、Jason Liszka、Jorge Ortiz和Jon Shea。
■我在Foursquare的同事,他們給我支持和反饋,讓工作成為一個(gè)有趣的地方。
■The
Pragmatic Bookshelf的員工,尤其是David Thomas和David Kelly,他們超越職責(zé)地排版這本數(shù)學(xué)書。
■當(dāng)然,還有我的家人,他們?nèi)淌苤偪竦臉O客作者。
MarkC.Chu-Carroll 擁有Delawre大學(xué)博士學(xué)位,目前在Spotify擔(dān)任數(shù)據(jù)基礎(chǔ)架構(gòu)軟件工程師,之前曾在Google、Twitter擔(dān)任高級軟件工程師。他一直從事編程語言和軟件開發(fā)工具方面的研究工作,有超過20年的從業(yè)經(jīng)驗(yàn)。他感興趣的領(lǐng)域包括協(xié)同軟件開發(fā)、編程語言和工具,以及如何改善軟件開發(fā)者的日常生活。業(yè)余時(shí)間,他是Scientopia.org的管理者和開發(fā)者,并撰寫了博客GoodMath/BadMath,你可以通過http://scientopia.org/blogs/goodmath訪問他的博客。
目錄
序
譯者簡介
前言
第一部分 數(shù) 字
第1章 自然數(shù) /2
1.1 自然數(shù)的公理化定義 /3
1.2 使用皮亞諾歸納法 /6
第2章 整數(shù) /8
2.1 什么是整數(shù) /8
2.2 自然地構(gòu)造整數(shù) /10
第3章 實(shí)數(shù) /14
3.1 實(shí)數(shù)的非正式定義 /14
3.2 實(shí)數(shù)的公理化定義 /17
3.3 實(shí)數(shù)的構(gòu)造性定義 /20
第4章 無理數(shù)與超越數(shù) /23
4.1 什么是無理數(shù) /23
4.2 聚焦無理數(shù) /24
4.3 無理數(shù)和超越數(shù)有什么意義,為什么它們很重要 /26
第二部分 有趣的數(shù)字第5章 零 /30
5.1 零的歷史 /30
5.2 一個(gè)令人生厭的困難數(shù)字 /33
第6章 e:不自然的自然數(shù) /36
6.1 無處不在的數(shù)字 /36
6.2 e的歷史 /38
6.3 e有什么含義 /39
第7章 :黃金比例 /41
7.1 什么是黃金比例 /42
7.2 荒唐的傳奇 /44
7.3 黃金比例真正存在的地方 /46
第8章 i:虛數(shù) /48
8.1 i的起源 /48
8.2 i是做什么的 /50
8.3 i有什么意義 /51
第三部分 書
寫 數(shù) 字
第9章 羅馬數(shù)字 /56
9.1 進(jìn)位系統(tǒng) /56
9.2 這場混亂來自哪里 /58
9.3 計(jì)算很簡單(但是算盤更簡單) /59
9.4 傳統(tǒng)的過失 /63第10章 埃及分?jǐn)?shù) /66
10.1 一場4000年前的數(shù)學(xué)考試 /66
10.2 斐波那契的貪婪算法 /67
10.3 有時(shí)美勝過實(shí)用 /69第11章 連分?jǐn)?shù) /70
11.1 連分?jǐn)?shù)簡介 /71
11.2 更干凈,更清晰,純粹是為了好玩 /73
11.3 作計(jì)算 /75
第四部分 邏 輯
第12章 斯波克先生與不符合邏輯 /80
12.1 什么是真正的邏輯 /82
12.2 一階謂詞邏輯 /83
12.3 展示一些新東西 /88
第13章 證明、真理和樹 /93
13.1 用樹來建立簡單的證明 /94
13.2 零基礎(chǔ)的證明 /96
13.3 家族關(guān)系的例子 /98
13.4 分支證明 /100
第14章 使用邏輯編程 /103
14.1 計(jì)算家族關(guān)系 /104
14.2 使用邏輯計(jì)算 /109
第15章 時(shí)序推理 /118
15.1 隨時(shí)間變化的命題 /119
15.2 CTL擅長什么 /124
第五部分 集 合
第16章 康托爾對角化:無窮不僅是無窮 /128
16.1 樸素的集合 /128
16.2 康托爾對角化 /132
16.3 不要保持簡單和直接 /136
第17章 公理化集合論:取其精華,去其糟粕 /139
17.1 ZFC集合論公理 /140
17.2 瘋狂的選擇 /147
17.3 為什么 /150
第18章 模型:用集合作為搭建數(shù)學(xué)世界的積木 /151
18.1 構(gòu)建自然數(shù) /152
18.2 從模型到模型:從自然數(shù)到整數(shù),以及超越 /154
第19章 超限數(shù):無限集的計(jì)數(shù)和排序 /158
19.1 超限基 /158
19.2 連續(xù)統(tǒng)假設(shè) /160
19.3 無限何在 /161
第20章 群論:用集合尋找對稱性 /164
20.1 費(fèi)解的對稱性 /164
20.2 不同的對稱性 /168
20.3 走入歷史 /170
20.4 對稱性之源 /172
第六部分 機(jī)械化數(shù)學(xué)
第21章 有限狀態(tài)機(jī):從簡單機(jī)器開始 /178
21.1 最簡單的機(jī)器 /178
21.2 實(shí)際使用的有限狀態(tài)機(jī) /182
21.3 跨越鴻溝:從正則表達(dá)式到機(jī)器 /185
第22章 圖靈機(jī) /192
22.1 添加磁帶讓一切都變得不同 /193
22.2 變元:模仿機(jī)器的機(jī)器 /198
第23章 計(jì)算的核心與病態(tài) /204
23.1 BF:偉大的、光榮的、完全愚蠢的 /206
23.2 圖靈完備還是毫無意義 /209
23.3 從莊嚴(yán)到荒謬 /210
第24章 微積分:不是那個(gè)微積分,是λ演算 /213
24.1 寫λ演算:幾乎就是編程 /214
24.2 求值:運(yùn)行 /218
24.3 編程語言與λ策略 /221
第25章 數(shù)字、布爾運(yùn)算和遞歸 /224
25.1 λ演算是圖靈完備的嗎 /224
25.2 計(jì)算自身的數(shù)字 /225
25.3 決定?回到Church /228
25.4 遞歸 /231
第26章 類型,類型,類型:對λ演算建!/238
26.1 類型簡介 /239
26.2 證明 /244
26.3 類型擅長什么 /246
第27章 停機(jī)問題 /248
27.1 一個(gè)杰出的失敗 /249
27.2 是否停機(jī) /251
參考文獻(xiàn) /256