數(shù)學(xué)寫真集（第4季） 直觀思考的進(jìn)階
定 價(jià)：39 元
- 作者：[美]羅杰 B.尼爾森（Roger B. Nelsen）
- 出版時(shí)間：2019/1/1
- ISBN：9787111561682
- 出 版 社：機(jī)械工業(yè)出版社
- 中圖法分類：O1-49
- 頁(yè)碼：
- 紙張：膠版紙
- 版次：
- 開(kāi)本：16開(kāi)
本書由近百個(gè)“無(wú)字證明”組成。無(wú)字證明（Proofs Without Words）也叫作“無(wú)需語(yǔ)言的證明”，一般是指僅用圖像而無(wú)需語(yǔ)言解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)結(jié)論。無(wú)字證明往往是指一個(gè)特定的圖片，有時(shí)也配有少量解釋說(shuō)明。本書正是因?yàn)閳D片豐富而趣味十足，所以取名為數(shù)學(xué)寫真集。
本書是數(shù)學(xué)愛(ài)好者的休閑讀物，也是中學(xué)生和大學(xué)生的課外參考書，還是數(shù)學(xué)教師的教學(xué)素材。
This work was originally published in English under the title, Proofs Without Words, III: Further Exercises in Visual Thinking.2015 held by the American Mathematical Society. All rights reserved. The present translation was created by China Machine Press under authority of the American Mathematical Society and is published by permission.
北京市版權(quán)局著作權(quán)登記 圖字：01-2016-8122號(hào)。
前言
一個(gè)無(wú)趣的證明可以用一個(gè)幾何類比作為一個(gè)補(bǔ)充，這樣定理的優(yōu)美性和正確性幾乎瞥一眼就能看得到�！R丁•加德納
在美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)1993年出版《數(shù)學(xué)寫真集（第1季）—無(wú)需語(yǔ)言的證明》后的一年，威廉•德漢姆在他的《數(shù)學(xué)領(lǐng)域——一次按字母順序排列的偉大證明、問(wèn)題及知名學(xué)者的數(shù)學(xué)之旅》一書中寫道：
數(shù)學(xué)家欣賞的證明是靈巧的，但是數(shù)學(xué)家特別欣賞的證明是既靈巧又經(jīng)濟(jì)的。這些證明僅需很少的論證，而即使是這些很少的論證也能夠直接指向問(wèn)題的核心，并且一針見(jiàn)血地達(dá)到證明的目標(biāo)。這樣的證明確實(shí)是優(yōu)美的。
數(shù)學(xué)的優(yōu)美不同于其他創(chuàng)意的活動(dòng)。它和莫奈用很少且靈巧的繪畫技巧在帆布上描繪出法國(guó)的風(fēng)景有些類似，也和用三行俳句詩(shī)去描繪出比其語(yǔ)言能夠達(dá)到的多得多的意境類似。優(yōu)美的極致是藝術(shù)而非數(shù)學(xué)性質(zhì)。
一種被數(shù)學(xué)家們叫作“無(wú)字證明”的東西就能實(shí)現(xiàn)極致的優(yōu)美。在“無(wú)字證明”中富有啟發(fā)意義的構(gòu)圖立刻傳遞一種證明而不需要任何解釋，這種感覺(jué)讓人感到再優(yōu)美不過(guò)了。
自從上述書籍出版后，第二個(gè)合集《數(shù)學(xué)寫真集（第2季）—無(wú)需語(yǔ)言的證明》由美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)于2000年出版，而本書是“無(wú)字證明”的第三本合集。我必須承認(rèn)，這本書像前兩本一樣，必然是不完整的。它并沒(méi)有包含從第二本合集出版以來(lái)的所有的無(wú)字證明，也沒(méi)有包括前兩本寫真集中忽略的全部。作為美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)期刊的讀者，我們深知，新的無(wú)字證明在紙媒上出現(xiàn)得很頻繁，而且現(xiàn)在還會(huì)在互聯(lián)網(wǎng)上以一種紙媒更優(yōu)越的形式出現(xiàn)，它可以動(dòng)還可以與讀者交互。
我希望閱讀這本合集的讀者在發(fā)現(xiàn)或者重拾某些數(shù)學(xué)思想的直觀展示的過(guò)程中能享受到樂(lè)趣。我希望老師們能將書中的內(nèi)容與學(xué)生們分享，我希望每個(gè)人都能受到激勵(lì)和鼓舞，去創(chuàng)造新的無(wú)字證明。
致謝：在此我想表達(dá)我對(duì)貢獻(xiàn)無(wú)字證明這種數(shù)學(xué)文化的人們的感謝與感激，他們的名字在本書的第184～187頁(yè)。沒(méi)有他們，這本書是不可能存在的。感謝蘇珊•斯特普爾斯和她的課堂教學(xué)資源團(tuán)隊(duì)細(xì)心地閱讀本書的初稿并提出了許多有益的建議。同時(shí)在本書出版過(guò)程中也必須感謝美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的出版人員卡羅爾•巴克斯特、貝弗利•魯埃迪和薩馬莎•韋伯的鼓勵(lì)、建議以及努力的工作。
羅杰B.尼爾森（Roger B.Nelsen）
路易克拉克大學(xué)
俄勒岡州波特蘭
原書作者注：1.為了形成一個(gè)統(tǒng)一的外觀，書中所有圖形重新描繪過(guò)。在一些例子中標(biāo)題改變了，并且為了更清楚，增加（減少）了一些陰影和符號(hào)。在這一過(guò)程中的任何錯(cuò)誤都是我的責(zé)任。
2.我們用不同的羅馬數(shù)字區(qū)分同一個(gè)定理不同的無(wú)字證明，而且這種編號(hào)次序從《數(shù)學(xué)寫真集（第1季）—無(wú)需語(yǔ)言的證明》和《數(shù)學(xué)寫真集（第2季）—無(wú)需語(yǔ)言的證明》一直沿用。比如，畢達(dá)哥拉斯定理在第1季中有6個(gè)，在第2季中還有幾個(gè)，這個(gè)定理在本書中從畢達(dá)哥拉斯定理開(kāi)始編號(hào)。
3.有些無(wú)字證明是以數(shù)學(xué)競(jìng)賽，比如普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽、哈薩克斯坦國(guó)家數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的問(wèn)題與解的形式給出的。但是，具體用這種解法能得多少分我們不能確定。因?yàn)�，在�?shù)學(xué)競(jìng)賽中，比方說(shuō)普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，要求選手將證明的每個(gè)必要步驟都說(shuō)清楚才能獲得滿分。
目錄
前言
幾何與代數(shù)1
畢達(dá)哥拉斯定理ⅩⅢ3
畢達(dá)哥拉斯定理ⅩⅣ4
畢達(dá)哥拉斯定理ⅩⅤ5
畢達(dá)哥拉斯定理ⅩⅥ6
畢達(dá)哥拉斯定理的帕普斯推廣7
畢達(dá)哥拉斯定理的倒數(shù)形式8
一個(gè)類似于畢達(dá)哥拉斯定理的定理9
四個(gè)類似于畢達(dá)哥拉斯定理的定理10
直角梯形的畢達(dá)哥拉斯定理14
缺角矩形的畢達(dá)哥拉斯定理15
海倫公式16
每個(gè)三角形有無(wú)窮多個(gè)內(nèi)接等邊三角形17
每個(gè)三角形可以被分割成6個(gè)等腰三角形18
更多的等腰分割19
維維安尼定理Ⅱ20
維維安尼定理Ⅲ21
托勒密定理Ⅰ22
托勒密定理Ⅱ23
平行四邊形分割中的相等面積24
內(nèi)部正方形的面積25
平行四邊形定律26
借助平行四邊形定律得到三角形中線長(zhǎng)公式27
兩個(gè)正方形和兩個(gè)三角形28
等邊三角形內(nèi)切圓半徑29
通過(guò)三角形內(nèi)心的直線30
三角形的面積和外接圓的半徑31
外圍三角形之外32
和為45°的角33
三等分線段Ⅱ34
面積和恒定的兩個(gè)正方形35
面積和恒定的四個(gè)正方形36
圓里和半圓里的正方形38
圣誕樹問(wèn)題39
“鞋匠之刀”的面積40
“鹽窖”的面積41
直角三角形的面積42
正十二邊形的面積Ⅱ43
四個(gè)月牙形的面積之和等于一個(gè)正方形的面積44
月牙形和正六邊形45
三棱錐的體積46
代數(shù)式的面積Ⅳ47
合比與分比——一個(gè)關(guān)于比例的定理48
配成完全平方Ⅱ49
坎迪多恒等式50
三角、微積分與解析幾何51
兩角和或差的正弦（通過(guò)正弦定理證明）53
兩角差的余弦Ⅰ54
兩角和的正弦Ⅳ以及兩角差的余弦Ⅱ55
二倍角公式Ⅳ56
歐拉正切半角公式57
三倍角的正弦、余弦公式Ⅰ58
三倍角的正弦、余弦公式Ⅱ59
15°角和75°角的三角函數(shù)60
18°角及其整倍數(shù)的三角函數(shù)61
莫爾韋德等式Ⅱ62
一般三角形中的牛頓公式63
三角形的一個(gè)正弦恒等式64
正余函數(shù)之和65
正切定理Ⅰ66
正切定理Ⅱ67
想找x+y=xy的一組解？68
secx+tanx的一個(gè)恒等式69
正切乘積的和70
三個(gè)正切的和與積71
正切的乘積72
反正切的和Ⅱ73
一個(gè)圖形，五個(gè)反正切恒等式74
赫頓和斯特拉尼斯基公式75
一個(gè)反正切恒等式76
歐拉反正切恒等式77
函數(shù)acost+bsint的極值78
最小面積問(wèn)題79
正弦的導(dǎo)數(shù)80
正切的導(dǎo)數(shù)81
一個(gè)極限的幾何求值Ⅱ82
一個(gè)數(shù)及其倒數(shù)的對(duì)數(shù)83
單位雙曲線圍出的等面積區(qū)域84
魏爾斯特拉斯替換法Ⅱ85
看，無(wú)需換元！86
自然對(duì)數(shù)的積分87
cos2θ和sec2θ的積分88
一個(gè)部分分式分解89
積分變換90
不等式91
算術(shù)平均-幾何平均不等式Ⅶ93
算術(shù)平均-幾何平均不等式Ⅷ（通過(guò)三角函數(shù)證明）94
算術(shù)平均-平方平均不等式95
柯西-施瓦茨不等式Ⅱ（用帕普斯定理*）96
柯西-施瓦茨不等式Ⅲ97
柯西-施瓦茨不等式Ⅳ98
柯西-施瓦茨不等式Ⅴ99
關(guān)于直角三角形各種半徑的不等式100
托勒密不等式101
代數(shù)不等式Ⅰ102
代數(shù)不等式Ⅱ103
正弦在［0，π］上的次可加性104
正切在［0，π/2）上的超可加性105
和為1的兩個(gè)數(shù)的不等式106
帕多阿不等式107
與e有關(guān)的斯坦納問(wèn)題108
辛普森悖論109
馬爾可夫不等式110
整數(shù)與整數(shù)求和111
奇數(shù)和Ⅳ113
奇數(shù)和Ⅴ114
奇數(shù)的交錯(cuò)和115
平方和Ⅹ116
平方和Ⅺ117
連續(xù)平方數(shù)的交錯(cuò)和118
奇數(shù)平方的交錯(cuò)和119
阿基米德平方和公式120
通過(guò)數(shù)三角形計(jì)算平方和121
平方數(shù)模3122
二階階乘的和123
把立方數(shù)表示為二重求和124
把立方數(shù)表示為等差數(shù)列的和125
立方和Ⅷ126
連續(xù)立方數(shù)的差模6余1127
斐波那契恒等式Ⅱ128
斐波那契地磚129
斐波那契梯形130
斐波那契三角形和梯形131
斐波那契數(shù)的平方與立方132
每個(gè)八邊形數(shù)是兩個(gè)平方數(shù)的差133
2的冪134
4的冪的和135
通過(guò)自相似證明n的連續(xù)冪的和136
每個(gè)大于1的四次冪都等于兩個(gè)不連續(xù)三角形數(shù)的和137
三角形數(shù)的和Ⅴ138
三角形數(shù)的交錯(cuò)和Ⅱ139
一串又一串的三角形數(shù)140
每第三個(gè)三角形數(shù)的和141
隔項(xiàng)奇數(shù)和與三角形數(shù)的和142
三角形數(shù)是二項(xiàng)式系數(shù)143
關(guān)于三角形數(shù)的容斥公式144
分拆三角形數(shù)145
三角形數(shù)恒等式Ⅱ146
三角形數(shù)的一個(gè)和式147
帶權(quán)重的三角形數(shù)的和148
中心三角形數(shù)149
雅各布斯塔爾數(shù)150
無(wú)窮級(jí)數(shù)及其他議題151
幾何級(jí)數(shù)V153
幾何級(jí)數(shù)Ⅵ154
幾何級(jí)數(shù)Ⅶ（通過(guò)直角三角形證明）155
幾何級(jí)數(shù)Ⅷ156
幾何級(jí)數(shù)Ⅸ157
幾何級(jí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)Ⅱ158
幾何裂項(xiàng)159
交錯(cuò)級(jí)數(shù)Ⅱ160
交錯(cuò)級(jí)數(shù)Ⅲ161
交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法162
交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)Ⅱ163
伽利略比值Ⅱ164
把箏形裁成扇形165
非負(fù)整數(shù)解與三角形數(shù)166
分割蛋糕167
可重復(fù)的無(wú)序選擇的數(shù)目168
一道普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的無(wú)字證明169
畢達(dá)哥拉斯三元組170
畢達(dá)哥拉斯四元組171
2的無(wú)理性172
Z×Z是可數(shù)集173
前n個(gè)整數(shù)的圖論式求和174
二項(xiàng)式系數(shù)的圖論式分解175
（0，1）和［0，1］有相同的勢(shì)176
不動(dòng)點(diǎn)定理177
在空間中，四種顏色是不夠的178
文獻(xiàn)索引179
英文人名索引184
中文人名索引186
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