本書是向蘇聯(lián)數(shù)學(xué)成就致敬的項(xiàng)目.蘇聯(lián)數(shù)學(xué)進(jìn)展系列由不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一名或多名資深專家作為主編,內(nèi)容包含來(lái)自俄羅斯的世界數(shù)學(xué)家的論文,此系列書籍在21卷之后作為美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)譯叢2的子系列出版,現(xiàn)在更名為蘇聯(lián)數(shù)學(xué)進(jìn)展系列.

本書為此系列的第13卷《冪等分析》.

冪等分析是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)新分支,代數(shù)結(jié)構(gòu)也是來(lái)源于冪等分析.在經(jīng)典分析中,主要的代數(shù)結(jié)構(gòu),其支撐作用的基礎(chǔ)是一個(gè)場(chǎng)的結(jié)構(gòu)(RorC).讓我們從場(chǎng)的公理列表中刪除存在逆元的要求.由此獲得的半環(huán)結(jié)構(gòu)太籠統(tǒng),不能作為分析具有該半環(huán)中的值的函數(shù)的基礎(chǔ),但是,如果刪除的添加屬性被冪等性所取代,這種結(jié)構(gòu)具有足夠的剛性,可以在分析中取得進(jìn)展,甚至可以遠(yuǎn)遠(yuǎn)超前人:在線性(在新操作意義上)的情況下,功能分析的許多基本事實(shí)的類似物被證明是有效的(并且是非凡的),像Resz和Hahn- Banach理論、傅里葉變換、譜分析、算子演算和分布理論.

這些類似物不僅為我們的幾何直覺提供了方便的背景,而且對(duì)它們的理解經(jīng)常暗示著非常重要的結(jié)構(gòu),如果我們不站在經(jīng)典分析的巨人的肩膀上,那么這些結(jié)構(gòu)很難被發(fā)明.

在這里獲得有意義且具有美學(xué)吸引力的理論的可能性與豐富的映射示例源相結(jié)合,其線性僅出現(xiàn)在冪等結(jié)構(gòu)中.由于這些映射通常都不是光滑的,并且在局部線性映射中很難逼近,所以不能通過(guò)傳統(tǒng)分析的方法成功地研究它們,但當(dāng)我們考慮優(yōu)化問(wèn)題、凸分析、博弈論、數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)等問(wèn)題時(shí),對(duì)它們的研究是不可避免的.

冪等分析被要求在與外部現(xiàn)象和結(jié)構(gòu)相關(guān)的許多數(shù)學(xué)分支中發(fā)揮相同的作用,這些分支在當(dāng)時(shí)通過(guò)數(shù)學(xué)物理、數(shù)值方法和微分方程的泛函分析發(fā)揮作用.為了實(shí)現(xiàn)這種統(tǒng)一,有必要研究出現(xiàn)在函數(shù)空間(及其映射空間)中的代數(shù)和解析結(jié)構(gòu),包括由冪等半環(huán)中的值組成的函數(shù).本書作者們希望本卷中的論文能在這方面取得進(jìn)展.

本卷所收入的具體文章包括:貝爾曼方程指數(shù)漸近和隧道效應(yīng)的量子

化有界函數(shù)的半模性的自同態(tài)有限生成自由半模的自同態(tài)冪等分析中的線性算子加性算子和齊次算子緊自同態(tài)的光譜有界函數(shù)半模中的凸集等.

本工作室今后將會(huì)投入很大的力量去引介源自世界數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)的優(yōu)秀經(jīng)典著作.重點(diǎn)關(guān)注的國(guó)家暫定為:美、蘇、德、法、意、日.大部分采取原版影印,小部分譯成中文,還有部分改編版、注釋版.在此過(guò)程中由于我們走出了自己的舒適區(qū),所以很快就發(fā)現(xiàn)了自己的能力限制.有人說(shuō):承認(rèn)自己的不完美,就如同發(fā)現(xiàn)自己不偉大一樣和平凡和解,才是成熟的滄桑姑且信之,聊以自慰.

劉培杰

2018年9月14日