《實(shí)變函數(shù)/高等學(xué)校數(shù)學(xué)教材》包含集合的基本概念、歐氏空間Rn中的點(diǎn)集、Lebesgue測(cè)度、可測(cè)函數(shù)、Lebesgue積分、微分與不定積分和附錄等7章。通過(guò)將實(shí)變函數(shù)中的問(wèn)題與學(xué)過(guò)的微積分內(nèi)容聯(lián)系起來(lái),讓學(xué)生明白所有問(wèn)題都有來(lái)源和出處,從而激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力和興趣;同時(shí)介紹與實(shí)變函數(shù)有關(guān)的學(xué)科領(lǐng)域,讓學(xué)生了解實(shí)變函數(shù)的應(yīng)用;書(shū)中配備了一些插圖,盡可能將抽象的概念和定理轉(zhuǎn)化為直觀有形的事物,特別是對(duì)內(nèi)容之間的聯(lián)系盡可能從多個(gè)方面給予說(shuō)明和解釋。另外,《實(shí)變函數(shù)/高等學(xué)校數(shù)學(xué)教材》配備了較多的習(xí)題,分成基本題和難題兩部分。作為教學(xué)基本要求,只要求學(xué)生完成基本題的部分;難題部分供機(jī)動(dòng)使用,鼓勵(lì)有能力和有時(shí)間的一些學(xué)生去研究。
《實(shí)變函數(shù)/高等學(xué)校數(shù)學(xué)教材》可以作為數(shù)學(xué)系本科生的教材,也可作為其他理工科研究生教材或參考書(shū)。
1 集合的基本概念
1.1 集合與子集合
1.2 集合的運(yùn)算
1.3 集列的極限
1.4 集合的映射與基數(shù)
1.5 可數(shù)集
1.6 不可數(shù)集
習(xí)題1
2 歐氏空間Rn中的點(diǎn)集
2.1 歐氏空間中的距離
2.2 鄰域·區(qū)間·有界集
2.3 聚點(diǎn)·導(dǎo)集·孤立點(diǎn)
2.4 內(nèi)點(diǎn)·外點(diǎn)·邊界點(diǎn)
2.5 開(kāi)集·閉集·完備集
2.6 歐氏空間中的緊性
2.7 直線上的開(kāi)集·閉集·完備集
2.8 Rn中開(kāi)集的構(gòu)造
習(xí)題2
3 Lebesgue測(cè)度
3.1 Lebesgue外測(cè)度
3.2 可測(cè)集及其運(yùn)算性質(zhì)
3.3 可測(cè)集的構(gòu)造
3.4 不可測(cè)集
3.5 可測(cè)空間與測(cè)度
習(xí)題3
4 可測(cè)函數(shù)
4.1 可測(cè)函數(shù)的定義及其性質(zhì)
4.2 可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)
4.3 可測(cè)函數(shù)列的收斂
4.4 可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)
4.5 復(fù)合函數(shù)的可測(cè)性
習(xí)題4
5 Lebesgue積分
5.1 非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分
5.2 一般可測(cè)函數(shù)的積分
5.3 含參變量積分
5.4 Lebesgue積分與Riemann積分
5.5 重積分·累次積分·Fubini定理
習(xí)題5
6 微分與不定積分
6.1 單調(diào)函數(shù)的可微性
6.2 有界變差函數(shù)
6.3 □□連續(xù)函數(shù)與不定積分
6.4 積分換元公式
6.5 斯蒂爾切斯(Stieltjes)積分
習(xí)題6
7 附錄
7.1 數(shù)列的上下極限
7.2 策梅洛(Zermelo)選擇公理簡(jiǎn)介
7.3 LP空間