在重點(diǎn)關(guān)注數(shù)據(jù)采集以及數(shù)據(jù)分析的領(lǐng)域，線性代數(shù)與矩陣方法越來越顯示出其重要性. 因此，這本書是為學(xué)習(xí)純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、數(shù)學(xué)生物學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、物理學(xué)以及統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)生而寫的. 假設(shè)讀者學(xué)習(xí)過初級微積分系列課程以及線性代數(shù)第一教程.
本書值得注意的特點(diǎn)包括以下方面：
�r 系統(tǒng)地用到分塊矩陣.
�r 強(qiáng)調(diào)了矩陣以及矩陣分解.
�r 由于酉矩陣與可行且穩(wěn)定的算法相關(guān)，所以本書中強(qiáng)調(diào)了涉及酉矩陣的變換.
�r 貫穿全書有大量的例子.
�r 用圖形來說明線性代數(shù)的幾何基礎(chǔ).
�r 以短小精練的章節(jié)涵蓋一學(xué)期課程的內(nèi)容.
�r 有許多章都包含了一些特殊的論題.
�r 每一章都包含一節(jié)問題（總共有600多個問題）.
�r 注記一節(jié)提供了有關(guān)額外信息來源的參考資料.
�r 每一章都總結(jié)了在該章中引進(jìn)的重要概念.
�r 本書中所用的符號都列在記號表中.
�r 有超過1700條索引幫助讀者確定概念與定義在書中出現(xiàn)的位置，這提高了本書作為參考資料的使用價值.
書中的矩陣與向量空間均相對于復(fù)數(shù)域而言. 使用復(fù)的向量使得對于特征值的研究更加便利，這也是與現(xiàn)代數(shù)值線性代數(shù)軟件相吻合的. 此外，它還與在物理學(xué)（量子力學(xué)中復(fù)的波函數(shù)與Hermite矩陣）、電氣工程（相位與振幅兩者都重要的電路與信號分析）、統(tǒng)計(jì)學(xué)（時間序列與特征函數(shù)）以及計(jì)算機(jī)科學(xué)（快速Fourier變換、迭代算法中的收斂矩陣以及量子計(jì)算）中的應(yīng)用密切相關(guān).
學(xué)生在使用這本書學(xué)習(xí)線性代數(shù)時，可以觀察并實(shí)際使用良好的數(shù)學(xué)交流技巧. 這些技巧包括：如何細(xì)心地陳述（以及閱讀）一個定理；如何選擇（以及利用）假設(shè)；怎樣用歸納法、反證法，或者通過證明逆否命題來證明一個命題；如何通過減弱假設(shè)或者加強(qiáng)結(jié)論來改進(jìn)一個定理；怎樣利用反例；如何對一個問題寫出有說服力的解答.
線性代數(shù)應(yīng)用中的許多有用內(nèi)容都超出了線性變換以及相似性的范圍，所以它們不出現(xiàn)在采用算子方法的教材之中. 這些內(nèi)容包括：
�r Ger�実orin 定理
�r Householder 矩陣
�r QR分解
�r 分塊矩陣
�r 離散Fourier變換
�r 循環(huán)矩陣
�r 非負(fù)元素組成的矩陣（Markov矩陣）
�r 奇異值分解與緊致奇異值分解
�r 低秩逼近數(shù)據(jù)矩陣
�r 廣義逆（Moore�睵enrose逆）
�r 半正定矩陣
�r Hadamard（逐個元素的）乘積與Kronecker（張量）乘積
�r 矩陣范數(shù)
�r 最小平方解與極小范數(shù)解
�r 復(fù)對稱陣
�r 正規(guī)陣的慣性
�r 特征值交錯與奇異值交錯
�r 包含特征值、奇異值以及對角元素的不等式
這本書是按照如下方式組織的：
第0章復(fù)習(xí)初等線性代數(shù)的定義與結(jié)論.
第1章與第2章復(fù)習(xí)復(fù)的與實(shí)的向量空間，包括線性無關(guān)性、基、維數(shù)、秩以及線性變換的矩陣表示.
“第二教程”的內(nèi)容從第3章開始，它建立了貫穿本書使用的分塊矩陣范式.
第4章與第5章復(fù)習(xí)歐幾里得平面上的幾何，并利用它來派生出內(nèi)積空間和賦范線性空間的公理. 內(nèi)容包括正交向量、正交射影、標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交化、Riesz表示定理、伴隨以及Fourier級數(shù)理論的應(yīng)用.
第6章引進(jìn)了酉矩陣，在本書其余部分的結(jié)構(gòu)中都要用到它. 在構(gòu)造QR分解時要用到Householder矩陣，而QR分解在許多數(shù)值算法中都要用到.
第7章討論正交射影、最佳逼近、線性方程組的最小平方（或極小范數(shù)）解，以及用QR分解來求解正規(guī)方程.
第8章介紹特征值、特征向量以及幾何重?cái)?shù). 我們要證明，n×n復(fù)矩陣有1到n個相異的特征值，并且要用Ger�実orin定理來確定復(fù)平面中包含它們的一個區(qū)域.
第9章處理特征多項(xiàng)式以及代數(shù)重?cái)?shù). 我們?yōu)閷�角化建立了判別法，并定義了可對角化矩陣的初等矩陣函數(shù). 內(nèi)容包括Fibonacci數(shù)、AB與BA的特征值、換位子以及同時對角化.
第10章包括令人稱奇的Schur定理：每一個方陣都與一個上三角陣（具有一個和交換族有關(guān)的結(jié)果）酉相似. Schur定理用來證明每個方陣都被它的特征多項(xiàng)式零化. 受后面這個結(jié)果的啟發(fā)而產(chǎn)生了極小多項(xiàng)式這個概念以及對其性質(zhì)的研究. 這里還證明了關(guān)于線性矩陣方程的Sylvester定理，并用它來證明每個方陣都與一個具有單譜對角分塊的分塊對角矩陣相似.
第11章建立在上一章的基礎(chǔ)之上，它要證明每個方陣都相似于一個特殊的分塊對角的上雙對角矩陣（它的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型），這個標(biāo)準(zhǔn)型除了其中直和項(xiàng)的排列次序之外是唯一的. Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用包括線性微分方程組的初值問題、AB與BA的Jordan構(gòu)造的分析、收斂矩陣與冪有界矩陣的特征刻畫，以及元素為正的Markov矩陣的一個極限定理.
第12章討論正規(guī)矩陣，即與其共軛轉(zhuǎn)置可交換的矩陣. 譜定理說的是：矩陣是正規(guī)矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它可以酉對角化.已知這一結(jié)論的其他多個等價的表述. Hermite矩陣、斜Hermite矩陣、酉矩陣、實(shí)正交陣、實(shí)對稱陣以及循環(huán)矩陣都是正規(guī)矩陣.
半正定陣是第13章的討論對象. 這種矩陣是在統(tǒng)計(jì)學(xué)（相關(guān)矩陣以及正規(guī)方程）、力學(xué)（振動系統(tǒng)中的動能與勢能）以及幾何學(xué)（橢球體）中出現(xiàn)的. 內(nèi)容包括平方根函數(shù)、Cholesky分解以及Hadamard乘積與Kronecker乘積.
第14章主要是奇異值分解，它是統(tǒng)計(jì)學(xué)、控制論、逼近論、圖像壓縮以及數(shù)據(jù)分析中許多現(xiàn)代數(shù)值算法的核心. 內(nèi)容包括緊致奇異值分解與極分解，并特別關(guān)注這些分解的唯一性問題.
在第15章里，用奇異值分解來壓縮圖像或者壓縮數(shù)據(jù)矩陣. 這一章里討論的奇異值分解的其他應(yīng)用有矩陣的廣義逆（Moore�睵enrose逆）、奇異值與特征值之間的不等式、矩陣的譜范數(shù)、復(fù)對稱矩陣以及冪等矩陣.
第16章研究加邊的或者遵從一個附加攝動的Hermite矩陣的特征值交錯現(xiàn)象. 相關(guān)的討論包括奇異值的交錯定理、正定性的行列式判別法以及刻畫Hermite矩陣的特征值和對角元素的不等式. 我們要證明關(guān)于Hermite矩陣的Sylvester慣性定理以及關(guān)于正規(guī)矩陣的一個推廣的慣性定理.
在前言后面有一個記號一覽表. 在第16章后面有復(fù)數(shù)的復(fù)習(xí)資料以及一系列參考文獻(xiàn). 本書末尾附有詳細(xì)的索引.
封面（指英文原書）圖片是2002年紐約的一位藝術(shù)家Lun�瞃i Tsai所繪的一幅名為《又是夏天》的畫，這位畫家的工作常常受到數(shù)學(xué)題材的啟發(fā).
感謝Zachary Glassman做了許多圖表，并回答了我們關(guān)于LaTex的問題.
感謝Dennis Merino、Russ Merris以及Zhongshan Li，他們仔細(xì)閱讀了本書的初稿.
感謝2014年與2015年秋季參加第一作者在Pomona學(xué)院舉辦的高等線性代數(shù)課程的學(xué)生. 特別要感謝Ahmed Al Fares、Andreas Biekert、Andi Chen、Wanning Chen、Alex Cloud、Bill DeRose、Jacob Fiksel、Logan Gilbert、Sheridan Grant、Adam He、David Khatami、Cheng Wai Koo、Bo Li、Shiyue Li、Samantha Morrison、Nathanael Roy、Michael Someck、Sallie Walecka以及Wentao Yuan，他們指出了本書初稿中的若干錯誤.
還要特別感謝Ciaran Evans、Elizabeth Sarapata、Adam Starr以及Adam Waterbury對本書極其認(rèn)真的審校.

S. R. G
R. A. H