本書(shū)的目的是介紹量子計(jì)算，使得任何一個(gè)熟悉高中數(shù)學(xué)知識(shí)和愿意投入一點(diǎn)時(shí)間的人都能理解。我們將會(huì)學(xué)習(xí)量子比特、量子糾纏、量子隱形傳態(tài)和量子算法，以及其他量子相關(guān)的主題。我們的目標(biāo)不是對(duì)這些概念給出一些不明確的想法，而是使它們清晰明了。
量子計(jì)算經(jīng)常出現(xiàn)在新聞中：中國(guó)通過(guò)隱形傳態(tài)將一個(gè)量子比特從地球傳送到一顆衛(wèi)星上；Shor算法使我們目前的加密方法面臨風(fēng)險(xiǎn)；量子密鑰分發(fā)將使加密再次變得安全；Grover算法將加速數(shù)據(jù)檢索。但這一切究竟意味著什么？這一切是如何運(yùn)作的？所有這些都將在本書(shū)中得到解釋。
不使用數(shù)學(xué)能做到這一點(diǎn)嗎？如果我們想真正了解發(fā)生了什么，那就需要使用數(shù)學(xué)。量子力學(xué)的基本思想往往與直覺(jué)相悖。試圖用文字來(lái)描述這些是行不通的，因?yàn)槲覀冊(cè)谌粘Ｉ�活中�?duì)它們沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)。更糟糕的是，文字描述常常給人留下這樣的印象：我們貌似理解了一些東西，而實(shí)際上我們還沒(méi)有理解。好消息是，我們并不需要引入太多的數(shù)學(xué)知識(shí)。作為一名數(shù)學(xué)家，我的職責(zé)是盡可能地簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)（堅(jiān)持絕對(duì)的本質(zhì)）并給出基本的例子來(lái)說(shuō)明它的用法與含義。也就是說(shuō)，這本書(shū)可能包含你以前從未見(jiàn)過(guò)的數(shù)學(xué)概念，而且和所有的數(shù)學(xué)知識(shí)一樣，新的概念一開(kāi)始可能看起來(lái)很奇怪。重要的是不要忽略這些例子，而且要仔細(xì)閱讀計(jì)算的每一步。
量子計(jì)算是量子物理與計(jì)算機(jī)科學(xué)的完美融合，將20世紀(jì)物理學(xué)中一些最令人驚嘆的觀點(diǎn)融入一種全新的計(jì)算思維方式中。量子計(jì)算的基本單位是量子比特。我們將看到什么是量子比特以及測(cè)量量子比特時(shí)會(huì)發(fā)生什么。一個(gè)經(jīng)典比特要么是0，要么是1。如果是0，我們測(cè)量它，得到0；如果是1，我們測(cè)量它，得到1。在這兩種情況下，比特都保持不變。量子比特的情況則完全不同。一個(gè)量子比特可能是無(wú)限多個(gè)狀態(tài)中的某一個(gè)——0和1的疊加態(tài)，但是當(dāng)我們測(cè)量它時(shí)，和經(jīng)典情況一樣，我們只得到兩個(gè)值中的一個(gè)——0或1。測(cè)量會(huì)改變量子比特，一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型可以精確地描述這一切。
量子比特還可能糾纏。當(dāng)我們對(duì)其中一個(gè)進(jìn)行測(cè)量時(shí)，會(huì)影響另一個(gè)的狀態(tài)。這是我們?cè)谌粘Ｉ�活中沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)的，但我們的數(shù)學(xué)模型完美地描述了這種現(xiàn)象。
這三個(gè)概念——疊加、測(cè)量和糾纏——是量子力學(xué)的核心。一旦我們理解了這些概念，就能知道如何在計(jì)算中使用它們。這正體現(xiàn)了人類的聰明才智。
數(shù)學(xué)家通常認(rèn)為：證明是美麗的，而且經(jīng)常包含意想不到的見(jiàn)解。對(duì)于我們將要討論的許多主題，我有完全相同的看法。貝爾定理、量子隱形傳態(tài)和超密編碼，這些都是珍寶。糾錯(cuò)線路和Grover算法更是相當(dāng)驚人的。
讀完本書(shū)，你應(yīng)該理解了量子計(jì)算的基本概念，并會(huì)看到一些巧妙而漂亮的結(jié)構(gòu)。同時(shí)，你還將認(rèn)識(shí)到量子計(jì)算和經(jīng)典計(jì)算并不是兩個(gè)截然不同的學(xué)科。量子計(jì)算是計(jì)算的一種更基本的形式——任何經(jīng)典計(jì)算機(jī)可以計(jì)算的都可以在量子計(jì)算機(jī)上計(jì)算。計(jì)算的基本單位是量子比特，而不是比特。從本質(zhì)上講，計(jì)算就是量子計(jì)算。
最后應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，本書(shū)是關(guān)于量子計(jì)算理論的介紹。它是關(guān)于軟件的，而不是硬件的。雖然我們?cè)谀承┑胤胶?jiǎn)要地提到了硬件，偶爾也會(huì)討論如何在物理上糾纏量子比特，但這些只是題外話。這本書(shū)講的不是如何構(gòu)建量子計(jì)算機(jī)，而是如何使用量子計(jì)算機(jī)。
以下是對(duì)這本書(shū)內(nèi)容的簡(jiǎn)要描述。
第1章。經(jīng)典計(jì)算的基本單位是比特。比特可以表示為處于兩種可能狀態(tài)之一的任何東西，標(biāo)準(zhǔn)例子是一個(gè)可以打開(kāi)或關(guān)閉的電子開(kāi)關(guān)。量子計(jì)算的基本單位是量子比特。這可以用電子的自旋或光子的偏振來(lái)表示，但自旋和偏振的性質(zhì)對(duì)我們來(lái)說(shuō)并不像開(kāi)關(guān)打開(kāi)或關(guān)閉那樣熟悉。
我們先來(lái)看看自旋的基本性質(zhì)。從奧托·斯特恩（Otto Stern）和瓦爾特·格拉赫（Walther Gerlach）的經(jīng)典實(shí)驗(yàn)開(kāi)始，他們?cè)趯?shí)驗(yàn)中研究了銀原子的磁性。我們可以看到在不同方向上測(cè)量自旋會(huì)發(fā)生什么。測(cè)量會(huì)影響量子比特的狀態(tài)。我們還會(huì)解釋與測(cè)量相關(guān)的隨機(jī)性。
該章的結(jié)論是，類似于自旋的實(shí)驗(yàn)可以用偏振濾光片和自然光來(lái)完成。
第2章。量子計(jì)算基于線性代數(shù)。幸運(yùn)的是，我們只需要一小部分概念。該章介紹我們需要的線性代數(shù)知識(shí)，并說(shuō)明在后面的章節(jié)中如何使用這些知識(shí)。
我們將介紹向量、矩陣、如何計(jì)算向量的長(zhǎng)度以及如何判斷兩個(gè)向量是否垂直。首先介紹向量的初等運(yùn)算，然后介紹矩陣是如何同時(shí)進(jìn)行這些運(yùn)算的。
起初這些知識(shí)的作用并不明顯，但確實(shí)有用。線性代數(shù)是量子計(jì)算的基礎(chǔ)。由于本書(shū)其余部分使用了這里介紹的數(shù)學(xué)知識(shí)，因此需要仔細(xì)閱讀。
第3章。該章介紹前兩章是如何聯(lián)系在一起的。線性代數(shù)給出了自旋或偏振的數(shù)學(xué)模型，這使我們能夠定義量子比特，并準(zhǔn)確地描述測(cè)量時(shí)會(huì)發(fā)生什么。
接下來(lái)書(shū)中舉了幾個(gè)在不同方向上測(cè)量量子比特的例子。最后介紹量子密碼學(xué)，并描述BB84協(xié)議。
第4章。該章描述兩個(gè)量子比特糾纏的含義。使用文字很難描述糾纏，與之相對(duì)，使用數(shù)學(xué)描述則很簡(jiǎn)單。張量積是一種新的數(shù)學(xué)思想，這是將單量子比特組合成多量子比特最簡(jiǎn)單的方法。
雖然糾纏的數(shù)學(xué)描述很直觀，但我們?cè)谌粘Ｉ�活中并不�?huì)接觸到。當(dāng)測(cè)量一對(duì)糾纏量子比特中的某一個(gè)時(shí)，會(huì)影響另一個(gè)。阿爾伯特·愛(ài)因斯坦（Albert Einstenin）不喜歡這種現(xiàn)象，并稱之為“幽靈般的超距作用”。我們會(huì)看幾個(gè)例子。
該章最后指出，我們不能使用糾纏來(lái)實(shí)現(xiàn)超光速通信。
第5章。我們看看愛(ài)因斯坦對(duì)糾纏的擔(dān)憂，以及隱變量理論能否保持定域?qū)嵲谛浴Ｎ覀冄芯控悹柌坏仁降臄?shù)學(xué)原理——這是一個(gè)顯著的結(jié)果，它提供了一種實(shí)驗(yàn)方法來(lái)確定愛(ài)因斯坦的論點(diǎn)是否正確。雖然貝爾當(dāng)時(shí)認(rèn)為愛(ài)因斯坦的觀點(diǎn)可能會(huì)被證明是正確的，但是愛(ài)因斯坦的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。
阿圖爾·埃克特（Artur Ekert）意識(shí)到，測(cè)試貝爾不等式的裝置還可以用于生成密碼學(xué)中使用的安全密鑰，并同時(shí)測(cè)試是否存在竊聽(tīng)者。在該章的最后，我們描述了這種加密協(xié)議。
第6章。該章從計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)主題開(kāi)始：比特、門和邏輯。然后簡(jiǎn)要地介紹可逆計(jì)算和愛(ài)德華·弗雷德金（Edward Fredkin）的想法。我們證明了Fredkin門和Toffoli門都是通用的——你可以僅使用Fredkin門（或Toffoli門）來(lái)構(gòu)建一臺(tái)完整的計(jì)算機(jī)。最后介紹Fredkin的臺(tái)球計(jì)算機(jī)。盡管這并不是書(shū)中余下內(nèi)容真正需要的，但它十足的獨(dú)創(chuàng)性值得介紹。
這臺(tái)計(jì)算機(jī)是由相互碰撞的球和很多墻組成的。它使人聯(lián)想起粒子之間的相互作用。這激發(fā)了理查德·費(fèi)曼（Richard Feynman）對(duì)量子計(jì)算的興趣，費(fèi)曼寫(xiě)了該領(lǐng)域最早的一些論文。
第7章。該章開(kāi)始學(xué)習(xí)使用量子電路進(jìn)行量子計(jì)算，并定義了量子門。我們將看到量子門如何作用于量子比特，并意識(shí)到我們一直在使用這種思想。我們只需要改變觀點(diǎn)：不再認(rèn)為正交矩陣作用于測(cè)量裝置，而是作用于量子比特。我們還證明了一些有關(guān)超密編碼、量子隱形傳態(tài)、克隆和糾錯(cuò)的驚人結(jié)果。
第8章。這可能是最具挑戰(zhàn)性的一章。我們會(huì)看到一些量子算法，并看到它們與經(jīng)典算法相比計(jì)算的速度有多快。為了討論算法的速度，我們需要引入復(fù)雜性理論中的思想。我們定義了查詢復(fù)雜性后，就開(kāi)始學(xué)習(xí)三個(gè)量子算法，并證明它們的查詢復(fù)雜性比經(jīng)典算法的更低。
量子算法揭示了正在解決的問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)，它不僅僅是量子并行的思想——把輸入放進(jìn)所有可能狀態(tài)的疊加中。該章介紹了最后一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)——矩陣的Kronecker積。實(shí)際上，這部分知識(shí)的困難源于我們正在以一種全新的方式進(jìn)行計(jì)算，而我們并沒(méi)有使用這些新思想來(lái)解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。
第9章。最后一章著眼于量子計(jì)算將對(duì)生活帶來(lái)的影響。我們首先簡(jiǎn)要描述兩個(gè)重要的算法，一個(gè)是彼得·肖（Peter Shor）發(fā)明的，另一個(gè)是洛夫·格魯弗（Lov Grover）發(fā)明的。
Shor算法提供了一種將大數(shù)分解為質(zhì)因數(shù)的方法。這似乎并不重要，但我們的互聯(lián)網(wǎng)安全依賴于分解質(zhì)因數(shù)是個(gè)難以解決的問(wèn)題。能夠分解大質(zhì)數(shù)的乘積威脅到我們當(dāng)前計(jì)算機(jī)之間的安全交易�？赡苓�要等一段時(shí)間，我們才能擁有足夠強(qiáng)大的量子計(jì)算機(jī)來(lái)分解目前正在使用的這些大數(shù)，但這一威脅是真實(shí)存在的，而且它已經(jīng)迫使我們思考如何重新設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)之間的安全對(duì)話方式。
Grover算法適用于特殊類型的數(shù)據(jù)檢索。我們展示了它是如何在一個(gè)小樣例中工作的，并說(shuō)明了它是如何在一般情況下工作的。Grover算法和Shor算法都很重要，不僅因?yàn)樗鼈兛梢越鉀Q問(wèn)題，還因?yàn)樗鼈円�入了新思想。這些基本思想正在被納入新一代算法中。
學(xué)習(xí)算法之后，我們轉(zhuǎn)個(gè)話題，簡(jiǎn)要地看一下如何使用量子計(jì)算來(lái)模擬量子過(guò)程。究其本質(zhì)，化學(xué)就是量子力學(xué)。經(jīng)典計(jì)算化學(xué)的工作原理是利用量子力學(xué)方程，并用經(jīng)典計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬。這些模擬是近似的，忽略了細(xì)節(jié)。這種方法在很多情況下都很有效，但在某些情況下就行不通了。在這種情況下，你需要這些細(xì)節(jié)，而量子計(jì)算機(jī)應(yīng)該能夠提供。
該章還簡(jiǎn)要地介紹了實(shí)際機(jī)器的構(gòu)建。這是一個(gè)快速發(fā)展的領(lǐng)域，第一批機(jī)器正在出售，“云”上甚至有一臺(tái)人人都可以免費(fèi)使用的機(jī)器�？磥�(lái)我們很快就會(huì)進(jìn)入量子霸權(quán)時(shí)代。（我們會(huì)解釋這意味著什么。）
本書(shū)的結(jié)論是，量子計(jì)算不是一種新型的計(jì)算，而是對(duì)計(jì)算本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)。




致　　謝 
我非常感謝許多人對(duì)本書(shū)出版提供的幫助。Mart Coleman、Steve LeMay、Dan Ryan、Chris Staecker和三位匿名審稿人非常仔細(xì)地閱讀了各版原稿，他們的建議和修正使這本書(shū)得到了極大的改進(jìn)。我還要感謝Marie Lee和她在MIT出版社的團(tuán)隊(duì)，感謝他們所有人的支持和努力，將一份粗略的提案變成了這本書(shū)。