本書圍繞黎曼流形優(yōu)化發(fā)展過程中的理論前沿與熱點問題，比較全面和系統(tǒng)地介紹了黎曼流形優(yōu)化的基本原理和應用實踐的**成果。全書共7章，分為理論與應用兩個部分。理論部分包括黎曼流形內涵、常用黎曼流形及其幾何結構、收縮、低秩流形收縮、黎曼最速下降法、黎曼牛頓法、黎曼共軛梯度法、黎曼信賴域法和黎曼擬牛頓法等內容。應用部分包括鑒別性結構化字典學習、多源多波段圖像融合、特征值問題求解（單位球面約束的Rayleigh商最小化、Stiefel流形上的Brockett函數(shù)最小化）等。本書內容新穎、體系完整，具有系統(tǒng)性、實用性、先進性和前瞻性。
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目錄
《博士后文庫》序言
前言
第1章 概論 1
1.1 黎曼流形優(yōu)化理論的內涵 1
1.2 黎曼流形優(yōu)化理論的研究現(xiàn)狀 3
1.2.1 黎曼流形優(yōu)化理論的發(fā)展歷史 3
1.2.2 黎曼流形優(yōu)化理論的相關應用 4
1.3 本章小結 10
第2章 黎曼流形優(yōu)化的幾何基礎 11
2.1 光滑流形 11
2.2 切空間 13
2.3 流形之間的映射 15
2.4 嵌入子流形 17
2.5 商流形 17
2.5.1 李群作用下的商流形 18
2.5.2 齊性空間下的商流形 19
2.5.3 商流形的切空間 19
2.6 黎曼結構和梯度 20
2.6.1 黎曼子流形 22
2.6.2 黎曼商流形 23
2.7 仿射聯(lián)絡和黎曼 Hessian 24
2.7.1 黎曼子流形的聯(lián)絡 26
2.7.2 黎曼商流形的聯(lián)絡 26
2.8 流形上的曲線 27
2.8.1 指數(shù)映射、收縮與對數(shù)映射 28
2.8.2 并行移動 30
2.8.3 曲率 32
2.9 定秩對稱半正定矩陣的嵌入幾何 33
2.9.1 嵌入子流形 34
2.9.2 半代數(shù)幾何中的嵌入子流形 38
2.9.3 切空間 38
2.9.4 黎曼度量 40
2.9.5 正交空間 40
2.9.6 正交投影 41
2.9.7 Levi-Civita 聯(lián)絡 42
2.9.8 測地線 42
2.10 常用的流形 43
2.11 Grassmann 流形和 Stiefel 流形的幾何結構 44
2.12 本章小結 48
第3章 基于收縮的黎曼流形優(yōu)化理論與方法 49
3.1 線搜索和收縮 50
3.2 黎曼最速下降法 52
3.3 黎曼牛頓法 53
3.4 黎曼共軛梯度法 54
3.5 黎曼信賴域法 57
3.5.1 基本黎曼信賴域法 57
3.5.2 收斂性分析 61
3.5.3 黎曼信賴域的實現(xiàn)細節(jié) 70
3.6 黎曼擬牛頓法 71
3.6.1 歐氏空間上的割線條件 71
3.6.2 黎曼流形上的割線條件 74
3.6.3 Broyden 系列黎曼擬牛頓法 75
3.6.4 全局收斂性分析 78
3.7 本章小結 83
第4章 低秩流形收縮 84
4.1 引言 84
4.2 低秩流形及收縮 84
4.2.1 低秩流形及收縮的基本概念 85
4.2.2 流形上的收縮 87
4.2.3 計算量分析 87
4.3 八種低秩流形收縮 88
4.3.1 投影收縮 88
4.3.2 正交收縮 89
4.3.3 緊 Stiefel 商收縮 90
4.3.4 非緊 Stiefel 商收縮 91
4.3.5 簡單二階收縮 92
4.3.6 簡單二階平衡收縮 93
4.3.7 Lie-Trotter 擴展收縮 94
4.3.8 指數(shù)收縮 96
4.4 數(shù)值仿真與實驗分析 96
4.4.1 點對點距離對比 97
4.4.2 二階特性分析 98
4.4.3 對稱性分析 98
4.4.4 運行時間對比 98
4.5 低秩矩陣填充 99
4.6 本章小結 102
第5章 基于 Grassmann 流形優(yōu)化的鑒別性結構化字典學習及應用 103
5.1 引言 103
5.2 問題建模 105
5.3 基于 Grassmann 流形優(yōu)化的鑒別性結構化字典學習 107
5.3.1 交替最小化 107
5.3.2 黎曼共軛梯度 109
5.3.3 收斂性分析 110
5.3.4 計算復雜度分析 111
5.3.5 實現(xiàn)細節(jié) 112
5.4 圖像復原實驗結果 112
5.4.1 實驗參數(shù)及配置 112
5.4.2 示例 114
5.4.3 去除混合高斯和隨機沖擊噪聲的實驗結果 115
5.4.4 去除混合高斯、椒鹽噪聲和隨機沖擊噪聲的實驗結果 118
5.4.5 三個圖像數(shù)據(jù)集的實驗結果 121
5.4.6 算法時間復雜度對比分析實驗 121
5.5 本章小結 122
第6章 基于黎曼流形優(yōu)化的多源多波段圖像融合 123
6.1 引言 123
6.2 基于低秩先驗的多源多波段圖像融合 124
6.2.1 多源多波段圖像觀測模型 124
6.2.2 線性混合模型 125
6.2.3 基于低秩先驗的多源多波段圖像融合模型 125
6.3 基于黎曼流形優(yōu)化的多源多波段圖像融合模型求解 126
6.3.1 交替最小化 126
6.3.2 求解子問題 128
6.4 多源多波段圖像融合實驗及融合性能分析 132
6.4.1 實驗參數(shù) 132
6.4.2 實驗結果及融合性能分析 133
6.5 本章小結 136
第7章 基于黎曼流形優(yōu)化的特征值問題求解 137
7.1 引言 137
7.2 基于黎曼最速下降的特征值問題求解 139
7.2.1 單位球面約束的 Rayleigh 商最小化 139
7.2.2 Stiefel 流形上的 Brockett 函數(shù)最小化 140
7.3 黎曼最速下降法收斂性分析 142
7.3.1 流形的收斂特性 142
7.3.2 最速下降法收斂性 143
7.3.3 不動點的穩(wěn)定性 144
7.4 基于黎曼牛頓的特征值問題求解 145
7.4.1 特征值問題的黎曼 Hessian 145
7.4.2 定秩流形上的 Jacobi 修正方程 147
7.4.3 子空間加速 154
7.4.4 計算復雜度分析 155
7.4.5 局部方程的塊 Jacobi 預條件 155
7.5 數(shù)值仿真實驗 157
7.5.1 數(shù)值仿真實驗一 158
7.5.2 數(shù)值仿真實驗二 159
7.5.3 數(shù)值仿真實驗三 160
7.5.4 數(shù)值仿真實驗四 160
7.6 本章小結 161
參考文獻 162
附錄 184
編后記 191
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