本書源自斯坦福大學(xué)每年開設(shè)的同名課程，該課程自1970年開設(shè)以來，每年有大約50名的選課學(xué)生，其中大部分為研究生，還有三、四年級的本科生，這些學(xué)生畢業(yè)后在其他地方也開設(shè)了類似課程。因此，是時候?qū)⒃撜n程的相關(guān)資料呈現(xiàn)給更廣泛的讀者（包括二年級本科生）了。
　　具體數(shù)學(xué)誕生之時正是基礎(chǔ)理論知識的價值受到質(zhì)疑的年代，基礎(chǔ)理論在大學(xué)課程體系中的地位受到了挑戰(zhàn)，數(shù)學(xué)也難逃厄運(yùn)。當(dāng)時，John Hammersley先生發(fā)表了一篇“On the enfeeblement of mathematical skills by'Modern Mathematics'and by similar soft intellectual trash in schools and universities”（關(guān)于高中和大學(xué)數(shù)學(xué)技能被所謂的“現(xiàn)代數(shù)學(xué)”和類似的軟智能垃圾化）的文章[176]，其內(nèi)容發(fā)人深省，還有一些數(shù)學(xué)家擔(dān)心[332]：數(shù)學(xué)還能被保留下來嗎？本書的作者之一高德納（Donald E。Knuth）先生曾以《計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)藝術(shù)》系列書聞名，在寫作第1卷時他發(fā)現(xiàn)忽略了數(shù)學(xué)方法，而全面透徹地理解計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)技巧需要的數(shù)學(xué)知識完全不同于在大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，因此，他開設(shè)了一門如他所期望的新課程。
　　這門課程取名“具體數(shù)學(xué)”的初衷是想?yún)^(qū)別于“抽象數(shù)學(xué)”，因?yàn)樵诂F(xiàn)代數(shù)學(xué)課程體系中具有抽象概念的“新數(shù)學(xué)”已經(jīng)取代了包含具體經(jīng)典結(jié)果的數(shù)學(xué)。抽象數(shù)學(xué)本身沒有任何問題——它完美，通俗，實(shí)用，是一門很神奇的學(xué)科，但是它的崇拜者誤導(dǎo)了人們其他數(shù)學(xué)部分是不值得關(guān)注的，由于這種概括化思想很盛行，使得一代數(shù)學(xué)家不能享受數(shù)學(xué)之美，特別是不能享受解決有挑戰(zhàn)性難題的樂趣以及欣賞解題技巧。抽象數(shù)學(xué)曾經(jīng)歷過近親繁殖階段，從而使其與現(xiàn)實(shí)脫節(jié)了，因此，數(shù)學(xué)教育需要改變以保證其原有的均衡性。
　　當(dāng)高德納先生第一次在斯坦福大學(xué)教授具體數(shù)學(xué)（Concrete Mathematics）時，對于有些奇怪的課程名稱解釋道：想教授一門“硬”數(shù)學(xué)以代替現(xiàn)在的“軟”數(shù)學(xué)。與某些理解相悖（concrete -詞在英文中還有另一個意思：混凝土），他聲稱：不教聚合論，也不講Stone嵌入定理，更沒有Stone-Cech緊化。（來自土木工程系的學(xué)生起身悄悄地離開了教室。）
　　盡管具體數(shù)學(xué)以逆潮流開始，但是能夠存留下來的主要原因是該課程的積極意義。作為課程體系中的一門普通課程，它的主要任務(wù)是鞏固和證明具體數(shù)學(xué)在各種新的應(yīng)用中的價值。Z.A.Melzak先生出版的兩卷本Companion to Concrete Mathematics（與具體數(shù)學(xué)為伴）[267]，讓我們想到了這個名字。
　　具體數(shù)學(xué)的內(nèi)容乍看上去好像是放在互不相通袋子里的戲法，但是實(shí)際應(yīng)用使它們有機(jī)結(jié)合成一套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒�。這些技術(shù)也確實(shí)是和諧統(tǒng)一的，并且具有很強(qiáng)的吸引力。作者之一的葛立恒（ Ronald L.Graham）先生，1979年首次教授這門課程的時候，學(xué)生們興趣盎然甚至相約一年后的（具體數(shù)學(xué)）課堂上再相聚。
　　那么，具體數(shù)學(xué)究竟是什么？是連續(xù)數(shù)學(xué)與離散數(shù)學(xué)的融合。更具體地說，是應(yīng)用一系列解題方法對數(shù)學(xué)公式進(jìn)行可控運(yùn)算。一旦你學(xué)過了本書的知識，為了驗(yàn)證看上去令人討厭的求和，求解復(fù)雜的遞歸關(guān)系，以及發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的微妙邏輯關(guān)系，你就需要具備冷靜的大腦、大量的演算紙，以及相當(dāng)工整的字跡。你的代數(shù)學(xué)技能必將很熟練，使得你能夠很容易地得到精確解而不是僅僅在限定條件下的近似解。
　　本書的主要內(nèi)容包括求和、遞歸、初等數(shù)論、二項(xiàng)式系數(shù)、生成函數(shù)、離散概率以及漸近方法。此處關(guān)注的是這些知識的運(yùn)算方法而非現(xiàn)有定理或組合推理，其目的是期望每一位讀者都能熟悉離散運(yùn)算（如最大整數(shù)函數(shù)和有限求和），就像微積分學(xué)生熟悉連續(xù)運(yùn)算（如絕對值函數(shù)和不定積分）一樣。