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算術(shù)探索
本書(shū)是數(shù)論的最經(jīng)典最權(quán)威的著作,共分7篇,內(nèi)容包括:數(shù)的同余、一次同余方程、冪剩余、二次同余方程、二次型和二次不定方程等。
潘承彪,1938年生于江蘇省蘇州市,1960年畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè),1961年起在北京農(nóng)業(yè)機(jī)化學(xué)院(后改名為北京農(nóng)業(yè)工程大學(xué)、中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué))工作,從1977年起同時(shí)在北京大學(xué)數(shù)學(xué)系工作。主要從事數(shù)學(xué),特別是數(shù)論的教學(xué)科研工作。與胞兄潘承洞合著有《哥德巴赫猜想》、《解析數(shù)論基礎(chǔ)》、《素?cái)?shù)定理的初等證明》、《代數(shù)數(shù)論》、《初等數(shù)論》及《模形式導(dǎo)引》等。
張明堯,1945年12月生于山東省菏澤市,1967年畢業(yè)于安徽大學(xué)數(shù)學(xué)系,1981年獲得碩士學(xué)位后在安徽大學(xué)工作;1987年獲得博士學(xué)位后在中國(guó)科技大學(xué)工作;1994年調(diào)海南大學(xué)工作;1996年調(diào)上海華東理工大學(xué)工作。譯著有《數(shù)論中未解決的問(wèn)題(第二版)》(原著者R.K.Guy)、《純數(shù)學(xué)教程(紀(jì)念版)》(原著者G.H.Hardy)以及《哈代數(shù)論(第六版)》(原著者G.H.Hardy以及E.M.Wright修訂者D.R.Heath-Brown以及J.H.Silverman)等。
第一篇 數(shù)的同余 第1~12目
1 同余的數(shù),模,剩余及非剩余 第1~3目 2 最小剩余 第4目 3 關(guān)于同余的若干基本定理 第5~11目 4 若干應(yīng)用 第12目 第二篇 一次同余方程 第13~44目 5 關(guān)于素?cái)?shù)、因數(shù)等的若干預(yù)備定理 第13~25目 6 一次同余方程的解 第26~31目 7 對(duì)若干個(gè)給定的模,求分別同余于給定的剩余的數(shù)的方法 第32~36目 8 多元線(xiàn)性同余方程組 第37目 9 若干不同的定理 第38~44目 第三篇 冪剩余 第45~93目 10 首項(xiàng)為1的幾何數(shù)列的各項(xiàng)的剩余組成周期序列 第45~48目 首先討論素?cái)?shù)模 第49~81目 11 當(dāng)模為素?cái)?shù)p時(shí),周期的項(xiàng)數(shù)是p-1的除數(shù) 第49目 12 Fermat定理 第50~51目 13 對(duì)應(yīng)的周期的項(xiàng)數(shù)等于p-1的給定的除數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù) 第52~56目 14 原根,基,指標(biāo) 第57目 15 指標(biāo)的運(yùn)算 第58~59目 16 同余方程xn≡A的根 第60~68目 17 不同系統(tǒng)的指標(biāo)間的關(guān)系 第69~71目 18 為特殊應(yīng)用選取基 第72目 19 求原根的方法 第73~74目 20 關(guān)于周期和原根的幾個(gè)不同的定理 第75~81目 (Wilson定理) 第76~78目 合數(shù)模的討論 第82~93目 21 模為素?cái)?shù)冪 第82~89目 22 模為2的方冪 第90~91目 23 由若干個(gè)素?cái)?shù)合成的模 第92~93目 第四篇 二次同余方程 第94~152目 24 二次剩余和非剩余 第94~95目 25 若模是素?cái)?shù),則在小于模的數(shù)中剩余的個(gè)數(shù)等于非剩余的個(gè)數(shù) 第96~97目 26 合數(shù)是否是給定素?cái)?shù)的剩余或非剩余的問(wèn)題依賴(lài)于它的因數(shù)的性質(zhì) 第98~99目 27 合數(shù)模 第100~105目 28 給定的數(shù)是給定素?cái)?shù)模的剩余或非剩余的一般判別法 第106目 以給定的數(shù)為其剩余或非剩余的素?cái)?shù)的討論 第107~150目 29 剩余-1 第108~111目 30 剩余+2和-2 第112~116目 31 剩余+3和-3 第117~120目 32 剩余+5和-5 第121~123目 33 剩余+7和-7 第124目 34 為一般討論做準(zhǔn)備 第125~129目 35 用歸納方法來(lái)發(fā)現(xiàn)一般的(基本)定理及由其推出的結(jié)論 第130~134目 36 基本定理的嚴(yán)格證明 第135~144目 37 用類(lèi)似方法證明第114目中的定理 第145目 38 一般問(wèn)題的解法 第146目 39 以給定的數(shù)為其剩余或非剩余的全體素?cái)?shù)的線(xiàn)性表示式 第147~150目 40 其他數(shù)學(xué)家關(guān)于這些研究的工作 第151目 41 一般形式的二次同余方程 第152目 第五篇 二次型和二次不定方程 第153~307目 42 研究計(jì)劃;型的定義及符號(hào) 第153目 43 數(shù)的表示;行列式 第154目 44 數(shù)M由型(a,b,c)來(lái)表示時(shí)所屬的表示式2-ac (mod M)的值第155~156目 45 一個(gè)型包含另一個(gè)型,或包含在另一個(gè)型之中;正常及反常變換 第157目 46 正常等價(jià)及反常等價(jià) 第158目 47 相反的型 第159目 48 相鄰的型 第160目 49 型的系數(shù)的公約數(shù) 第161目 50 給定的一個(gè)型變?yōu)榱硪粋(gè)型的所有可能的同型變換之間的關(guān)系 第162目 51 歧型 第163目 52 與同時(shí)既是正常地又是反常地包含在另一個(gè)型中的型有關(guān)的定理 第164目 53 由型表示數(shù)的一般性研究以及這些表示與變換的聯(lián)系 第166~170目 54 行列式為負(fù)的型 第171~181目 55 特殊的應(yīng)用:將一個(gè)數(shù)分解成兩個(gè)平方數(shù),分解成一個(gè)平方數(shù)和另一個(gè)平方數(shù)的兩倍,分解成一個(gè)平方數(shù)和另一個(gè)平方數(shù)的三倍 第182目 56 具有正的非平方數(shù)行列式的型 第183~205目 57 行列式為平方數(shù)的型 第206~212目 58 包含在另一個(gè)與之不等價(jià)的型之中的型 第213~214目 59 行列式為零的型 第215目 60 所有二元二次不定方程的一般整數(shù)解 第216~221目 61 歷史注記 第222目 關(guān)于型的進(jìn)一步研究 第223~265目 62 給定行列式的型的分類(lèi) 第223~225目 63 類(lèi)劃分成層 第226~227目 64 層劃分成族 第228~233目 65 型的合成 第234~244目 66 層的合成 第245目 67 族的合成 第246~248目 68 類(lèi)的合成 第249~251目 69 對(duì)給定的行列式,在同一個(gè)層的每一個(gè)族中都有同樣多個(gè)類(lèi) 第252目 70 不同的層中各個(gè)族所含類(lèi)的個(gè)數(shù)的比較 第253~256目 71 歧類(lèi)的個(gè)數(shù) 第257~260目 72 對(duì)于給定的行列式,所有可能的特征有一半不能適合于任何正常本原(當(dāng)行列式為負(fù)數(shù)時(shí),還是定正的)族 第261目 73 基本定理以及與剩余-1,+2,-2有關(guān)的其他定理的第二個(gè)證明 第262目 74 精確地確定不能適合于族的那一半特征 第263~264目 75 分解素?cái)?shù)成兩個(gè)平方數(shù)的特殊方法 第265目 76 三元型研究雜談 第266~285目 對(duì)于二元型理論的某些應(yīng)用 第286~307目 77 怎樣求一個(gè)型,由它的加倍可以得到主族中一個(gè)給定的二元型 第286目 78 除了在第263和264目中已經(jīng)證明其不可能的那些特征之外,其他所有的特征都與某個(gè)族相對(duì)應(yīng) 第287目 79 數(shù)及二元型分解為三個(gè)平方的理論 第288~292目 80 Fermat定理的證明:任何整數(shù)可以分解成三個(gè)三角數(shù)或者分解成四個(gè)平方數(shù) 第293目 81 方程ax2+by2+cz2=0的解 第294~295目 82 Legendre講述基本定理的方法 第296~298目 83 由任意的三元型表示零 第299目 84 二元二次不定方程的有理通解 第300目 85 族的平均個(gè)數(shù) 第301目 86 類(lèi)的平均個(gè)數(shù) 第302~304目 87 正常本原類(lèi)的特殊算法;正則和非正則的行列式,等 第305~307目 第六篇 前面討論的若干應(yīng)用 第308~334目 88 將分?jǐn)?shù)分解為若干個(gè)較簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù) 第309~311目 89 普通分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù) 第312~318目 90 用排除法解同余方程x2≡A 第319~322目 91 用排除法解不定方程mx2+ny2=A 第323~326目 92 A為負(fù)數(shù)時(shí)同余方程x2≡A的另一種解法 第327,328目 93 判別合數(shù)與素?cái)?shù)及尋求合數(shù)的因數(shù)的兩個(gè)方法 第329~334目 第七篇 分圓方程 第335~366目 94 討論可歸結(jié)為把圓分為素?cái)?shù)份的最簡(jiǎn)單情形 第336目 95 關(guān)于。ㄋ烧麄(gè)圓周的一份或若干份組成)的三角函數(shù)的方程;把三角函數(shù)歸結(jié)為方程xn-1=0的根 第337~338目 關(guān)于方程xn-1=0的根的理論(假定n是素?cái)?shù)) 第339~354目 96 若不計(jì)根1,則全部其余的根(Ω)是屬于方程X=xn-1+xn-2+…+x+1=0 第339~340目 97 函數(shù)X不能分解為系數(shù)均為有理數(shù)的因式的乘積 第341目 98 進(jìn)一步討論的目的的說(shuō)明 第342目 99 Ω中的所有的根可分為若干個(gè)類(lèi)(周期) 第343目 100 關(guān)于Ω中根組成的周期的幾個(gè)的定理 第344~351目 101 基于以上討論解方程X=0 第352~354目 進(jìn)一步討論根的周期 第355~360目 102 有偶數(shù)項(xiàng)的和是實(shí)數(shù) 第355目 103 把(Ω)中的根分為兩個(gè)周期的方程 第356目 104 第四篇中提到的一個(gè)定理的證明 第357目 105 把(Ω)中的根分為三個(gè)周期的方程 第358目 106 把求Ω中的根的方程化為最簡(jiǎn)方程 第359~360目 以上研究在三角函數(shù)中的應(yīng)用 第361~364目 107 求對(duì)應(yīng)于(Ω)中每個(gè)根的角的方法 第361目 108 不用除法從正弦與余弦導(dǎo)出正切,余切,正割及余割 第362目 109 逐次降低關(guān)于三角函數(shù)的方程次數(shù)的方法 第363,364目 110 利用解二次方程或幾何作圖方法可實(shí)現(xiàn)的圓周的等分 第365,366目 補(bǔ)記 附表 譯者注 附錄 高斯--數(shù)學(xué)王者 科學(xué)巨人 1 德國(guó)情勢(shì) 2 貧寒之家 3 心算神童 4 學(xué)院三載 5 大學(xué)攻讀 6 出手不凡 7 科學(xué)隨記 8 博士論文 9 算術(shù)探索 10 一算成名 11 戀愛(ài)結(jié)婚 12 公爵之死 13 喪妻再娶 14 天文著作 15 輝煌十年 16 大地測(cè)量 17 曲面理論 18 非歐幾何 19 物理研究 20 教學(xué)工作 21 政治風(fēng)波 22 晚年生活 23 業(yè)余愛(ài)好 24 人際關(guān)系 25 工作風(fēng)格 26 溘然長(zhǎng)逝 27 高斯全集 注 人名索引 人名譯名表 編輯手記
獻(xiàn)給最尊敬的
Brunswick和Luneburg公爵 Charles William Ferdinand親王殿下 最尊敬的親王殿下: 您允許我用您最尊貴的名字為這著作增添光輝,這是我最大的榮幸,把這部著作呈獻(xiàn)給您是我神圣的職責(zé)。最尊敬的親王殿下,如果不是您的恩寵,我就不會(huì)邁入科學(xué)之門(mén)。如果不是您對(duì)我研究工作的不間斷的資助,我就不可能全身心地從事我所熱愛(ài)的數(shù)學(xué)研究,正是由于您天下無(wú)雙的慷慨大度,才使得我不為他事煩心,能讓自己有這么多年致力于富有成果的專(zhuān)心思考和研究,并最終為我提供了在這部書(shū)中寫(xiě)下我的部分研究成果的機(jī)會(huì)。當(dāng)我最終準(zhǔn)備好要將我的著作公諸于世時(shí),又正是您獨(dú)一無(wú)二的寬厚,才清除了不斷延遲出版這一著作的所有障礙。您對(duì)我以及我的工作所給予的這樣的恩施,使我只能以深情感激和默默敬佩之心銘記永思;對(duì)此我不可能奉獻(xiàn)相應(yīng)的報(bào)答。這不僅僅是因?yàn)槲易约焊械诫y以勝任這樣的任務(wù),更由于每一個(gè)人都知道您的異乎尋常的無(wú)私關(guān)懷賜予了所有獻(xiàn)身于高深學(xué)科的人。眾人皆知,對(duì)于那些通常被視為過(guò)于高深且遠(yuǎn)離日常生活的科學(xué),您從來(lái)就沒(méi)有把它們排除在您的保護(hù)和鼓勵(lì)之外,您本人以您無(wú)上的智慧明察,這是為了在所有的科學(xué)之間建立聯(lián)系,并關(guān)系到人類(lèi)社會(huì)各方面的繁榮幸福所必需的根本保證。為此,作為表達(dá)我對(duì)您的最深敬意及我獻(xiàn)身于最崇高的科學(xué),我謹(jǐn)將本書(shū)奉獻(xiàn)給您。最尊敬的親王殿下,如果您認(rèn)為這本書(shū)是值得您始終給予我的厚愛(ài),那么我就可以祝賀自己,我的辛勞沒(méi)有白費(fèi),并得到了超乎一切的無(wú)上榮光。 最尊敬的親王殿下 您最忠實(shí)的仆人 C.F.Gauss 1801年7月于Brunswick ……
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