本書不是講授數(shù)學的專業(yè)書,而是一本讀者可以從不同的角度發(fā)現(xiàn)數(shù)學方程的地圖。世界為什么需要它們?它們是如何發(fā)展的?今天的價值又是什么?除了極負盛名的經(jīng)典理論,如芝諾的四個悖論和畢達哥拉斯定理,還有后來的薛定諤曲線和谷歌 PageRank 算法 , 每一個方程式都被分解開來,配合豐富的插圖內(nèi)容,逐一講解了它們歷史和價值、含義和用處。透過這些直觀的圖示和語言,我們發(fā)現(xiàn)這些方程式不僅關乎數(shù)學方法和思維,還為更浩瀚的社會科學領域的革新奠定了基礎。
數(shù)學方程式為何是優(yōu)美的?它們?yōu)楹瘟钊梭@訝,又為何令人著迷?29個精妙有趣的數(shù)學方程故事,150余幅精美形象的插圖,帶你開啟數(shù)學新學法,讓孩子燃起學習理科的興趣!
本書權威撰寫、專業(yè)審訂、重點突出、寓教于樂,用一種輕松有趣的方式帶領孩子走進數(shù)學的世界。將科學原理融入日常生活,用科學實驗加深理論記憶。梳理并延伸中小學課堂內(nèi)容,提前接軌英國教學理念。展示前沿學科成果,同時涉及音樂、美術、語文、體育等其他多學科知識點。
本書作者專業(yè)權威,內(nèi)容經(jīng)典前沿,獲得北京市特級教師、中國科學院大學教授、英國劍橋大學博士、生物基金專家等聯(lián)袂推薦。裸背鎖線工藝,輔以內(nèi)文版式的旁批留白設計,讀者可以平鋪展開任意一頁,方便記筆記和寫心得;150余幅精美圖解配以四色銅版紙印刷,跨頁圖的展現(xiàn)更加震撼!
公元820年左右,波斯數(shù)學家阿布·阿卜杜拉·穆罕默德·本·穆薩·阿爾·花拉子密(Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi,約780年約850年)完成了他的手稿《代數(shù)學》(Calculation by Completion and Balancing)。在這本書稿中,花拉子密使用了代數(shù)一詞,收集整理了一些基本的代數(shù)運算法則。平衡是代數(shù)的基礎概念之一,而方程體現(xiàn)的正是平衡之理。假如我們將一個蘋果、一個橘子置于天平兩端的托盤之上,只有蘋果與橘子的重量相等時,天平兩邊才是平衡的。實際上,每一個方程都表示兩個數(shù)學式之間的相等關系。
那么,如何閱讀這本《數(shù)學的奧秘》呢?
本書可以一頁一頁地從頭讀到尾。可是,大多數(shù)讀者不會像翻看小說一樣閱讀數(shù)學書籍。數(shù)學擁有自己的概念網(wǎng)絡,包含了大量相互聯(lián)系的概念,需要仔細地研讀。有鑒于此,本書中許多章節(jié)相互參照,或許不能以某種預設的順序快速地瀏覽。有些章節(jié)甚至需要在讀完它后面的章節(jié)之后,再回頭重讀一遍,方可更好地理解其中的內(nèi)容。
各位讀者也大可不必為此而心生煩惱。我們在學習數(shù)學的時候,一旦學懂了某些概念,可能就會突然明白一些先前學過的內(nèi)容,我們大多數(shù)人在大多數(shù)時候是不是都有這種感覺呢?即使是偉大的數(shù)學家,他們在新的領域?qū)W習新知的時候,也會有思路不清、迷惘失措的時候,但他們也會收獲意外發(fā)現(xiàn)某種聯(lián)系之后的內(nèi)心愉悅。有些時候,意外發(fā)現(xiàn)之驚喜,實則是美妙的心靈感受,足以讓人引以為豪。
在遇到新的數(shù)學概念時,我們大都需要借助于直觀圖像來理解。撰寫本書之目的決定了書中的內(nèi)容不能過于專業(yè)化每一章涉及的數(shù)學知識,或是初級的、簡單的,或是高級的、復雜的,但互為關聯(lián),共同形成了統(tǒng)一整體。本書意欲達成之目標,就是用簡樸的語言來解釋一般性的數(shù)學概念,并構建起這些概念之間的相互對話。
但有些時候,相關討論不可避免地需要在數(shù)學、科學和日常生活等不同領域之間交叉跨越。因此,本書需要用到一些簡單易懂的表達。將抽象概念簡單化,或許可以得到數(shù)學初學者的欣賞,但一定需要請求數(shù)學專家們的原諒。出于相同的原因,書中的插圖也沒有標注數(shù)值、尺度,這又可能會使一些數(shù)學教師大為光火。然而,去掉細枝末葉的信息真的無關緊要,反而可以讓我們聚焦于探討問題的全貌。
無論怎樣,本書是有關數(shù)學方程的,那么,它又怎樣處理數(shù)學符號呢?大多數(shù)普及性數(shù)學著作的作者與編輯,會精心地設計出一套技術路線來,以避免過多地使用那些令人生畏的數(shù)學公式。本書反其道行之。數(shù)學家發(fā)明的數(shù)學符號,原本就是為了將問題簡單化的,不是嗎?
從某種意義上說,數(shù)學家使用的符號,與音樂家的樂譜符號、編輯的校對符號、舞美的編導符號、繡娘的編織符號和棋手的棋譜符號一樣,都是特殊符號 如果我們不能解析出這些符號所指何物,就完全不會明白它們所示何意。一旦我們弄清了它們指代的含義,它們就猶如美麗的圖畫,可以簡潔、明晰地傳遞信息,其表達功效遠勝于啰唆繁復的言語。
本書講述數(shù)學知識的方式,不一定完全具有邏輯性。數(shù)學有著久遠的歷史,有些數(shù)學概念與大多數(shù)事物一樣,可能是獨特的,也可能是怪異的;可能是的,也可能是愚蠢的,但相關概念產(chǎn)生的歷史進程又是有跡可循的,所以,追本溯源或許可以幫助我們從源頭上來探究數(shù)學方程的奧秘。當然,也許可以采用全新的敘事方式來講述方程,使內(nèi)容更具連貫性,但若非駕輕就熟,這么做將是愚蠢又魯莽的冒險。
所以,當你對書中某個數(shù)學符號知其然不知其所以然時,不要為此而發(fā)愁。有時候,你甚至會發(fā)現(xiàn),讀懂那些印在某一頁上的文字,遠比理解某個數(shù)學符號更為困難。本書的相關討論,涉及一套完整的符號系統(tǒng),但這些符號幾乎全都是數(shù)學家隨意創(chuàng)設的,符號本身與所指概念之間沒有任何關聯(lián)。假如你能解析符號所指,相信你也能克服理解文字的困難。
舉例來說吧,相信各位讀者都了解正整數(shù)和負整數(shù),知道什么是分數(shù),也明白一些代數(shù)原則。例如,字母或別的什么符號,可以用來表示未知數(shù)或可變數(shù)。兩個未知量相乘, 可以用一個字母置于另一個字母之后來表述,即 ab=ab ; 而某個數(shù)除以另一個數(shù),也可以用分號表述為:a÷b= ab。再如,等號=是極為重要的運算符號,其意義在于它兩邊表達式代表的值相等。其他的數(shù)學符號將在正文內(nèi)分別給予介紹。
方程好比小型的機器,依靠各自的零件維持運轉(zhuǎn)。我們的主要任務,就是弄清楚在每一部正常運轉(zhuǎn)的機器中,每一個零件可以做什么,它又是如何與其他零件相互作用的。
就理解數(shù)學符號而言,我們有時需要拆分或解碼數(shù)學符號,有時需要以簡單的實例加以說明,有時則需要從底層的問題出發(fā),或者從鮮為人知的方面開始,但有關方程的很多內(nèi)容都是一筆帶過的,所以,我們向讀者呈現(xiàn)的也僅僅是方程大觀園里的匆匆一瞥。
事實上,假若以講授數(shù)學知識先易后難的慣例來判斷, 本書并未遵循傳統(tǒng),各章節(jié)的內(nèi)容難易程度不一。某一節(jié)說的還是中學水平的代數(shù),而緊接其后的內(nèi)容又達到了大學難度。我有意地忽略了難度跳躍,因為數(shù)學問題不可能全部按照預設的難度水平循序漸進地出現(xiàn),對吧?我們在兒時學會的一些算術運算,竟然是深奧甚至神秘的數(shù)學難題;而許多所謂具有高階的數(shù)學難題,一旦用數(shù)學專業(yè)的行話來解釋,實質(zhì)上是極易領悟的。
總而言之,閱讀此書時,讀者可以像閱讀其他書籍一樣,多讀自己能理解的內(nèi)容,細讀自己感興趣的內(nèi)容。任何行得通的閱讀方法,都是閱讀本書的良方。
理查德·科克倫,教育家,作家,撰寫數(shù)學方面的書籍以及音樂方面的期刊。
章 空間的形狀
幾何與數(shù)字
畢達哥拉斯定理
(勾股定理)
三角學
圓錐曲線
芝諾二分法
斐波那契數(shù)列
微積分基本定理
曲率
對數(shù)
歐拉恒等式
歐拉示性數(shù)
第二章 身邊的變革技術
墨卡托投影
球面三角學
交比
德摩根定律
糾錯碼
信息論
傅里葉變換
布萊克斯科爾斯方程
模糊邏輯
四元數(shù)旋轉(zhuǎn)
谷歌頁面排序
第三章 未知的探索概率與不確定性
均勻分布
賭徒破產(chǎn)問題
貝葉斯定理
指數(shù)分布
大數(shù)定律
正態(tài)分布
卡方檢驗
秘書問題