本書是數學奧林匹克命題人講座(升級版)中的一本,主要講述組合問題的內容。各章節(jié)從高考難題、全國聯賽一試試題的難度入手,充分考慮了參加數學競賽的高中學生的實際需要。
升級版書稿保留了版中具有典型性的問題,在此基礎上刪減了部分老題目,并將近年來的高校自招、全國聯賽、冬令營、IMO、中國女子數學奧林匹克、中國西部數學邀請賽及國外的數學競賽中的新題好題充實進來,既有一定的新鮮度,又充分考慮到合理性。
本套叢書不同于一般的堆砌大量難題的數學奧林匹克教材,而是力求做到既深入淺出,又具備很大的實用性,完整地體現各專題的思想方法,探索解題的一般規(guī)律,并注重對學生興趣和能力的培養(yǎng)。
數學競賽活動的開展,其目的是激發(fā)青少年學習數學的興趣,發(fā)現和培養(yǎng)具有數學天賦的學生,因材施教。數學競賽是中小學生的課外活動,也是一種特殊的素質教育思維訓練。 數學競賽,可以讓學生養(yǎng)成獨立思考問題的習慣、建立對數學知識的看法及 求知能力、初步具有創(chuàng)新意識。一個人對某個專業(yè)領域的興趣與創(chuàng)新意識應該從青少年時代就開始培養(yǎng)。 在近20年的菲爾茲獎(FieldsMedal)獲得者中,有一半以上是IMO 的優(yōu)勝者。
我國的數學競賽選手中已經涌現出許多優(yōu)秀的青年數學人才,如獲得著名的拉馬努金獎(RamanujanPrize)的張偉、惲之瑋、許晨陽、劉一峰等,并且有不少學者在國內外知名高;蚩蒲袡C構從事數學研究工作,如:朱歆文、劉若川、何宏宇、何斯邁、袁新意、肖梁、張瑞祥等。2008年、2009年IMO的滿分金牌獲得者韋東奕,在研究生一二年級時就做出了很好的成果。無論從整體還是從個別、從國外還是從國內來看,數學競賽對數學與科學英才的教育都有非常重要的價值。
數學奧林匹克命題人講座叢書自2009年起陸續(xù)出版,受到了廣大數學競賽愛好者以及數學競賽教練員的歡迎和好評。近十年來,在各級各類數學競賽中又有不少好題與精妙的解法,為了與廣大數學愛好者分享這些妙題與巧解,在版的基礎上,我們組織了版的原作者和一些新作者編寫了數學奧林匹克命題人講座(升級版)。
數學奧林匹克命題人講座(升級版)包括《集合與對應》(單墫)、《數列與數學歸納法》(單墫)、《函數迭代與函數方程》(王偉葉、熊斌)、《初等數論》(馮志剛)、《組合問題》(劉培杰、張永芹、杜瑩雪)、《平面幾何(圓)》(田廷彥)、《組合幾何》(田廷彥)、《三角函數與復數》(楊德勝)、《向量與立體幾何》(唐立華)、《圖論》 (任韓)、《不等式的證明》(熊斌、羅振華)、《平面幾何(直線型)》(金磊)。其中《不等式的證明》和《平面幾何(直線型)》為新增加的兩本。
本叢書中既有傳統(tǒng)的具有典型性的數學問題,也有選自近年高校自主招生、全國高中數學聯賽、中國數學奧林匹克、中國西部數學邀請賽、中國女子數學奧 林匹克、國際數學奧林匹克以及國外數學競賽中的好題,還有一些是作者自編的問題。
感謝上海科技教育出版社和本叢書責任編輯盧源先生的精心策劃與組織。
感謝各位讀者自版出版以來提出了不少好的建議,希望大家繼續(xù)對升級版提出建議和批評,使本叢書不斷完善。
楊德勝 廣東省中學數學特級教師、上海市特級教師、楊浦區(qū)名教師,上海市中學高級教師評審委員會成員。長期從事理科班的數學教學和數學競賽輔導工作,輔導的學生中有數百人次獲全國高中數學聯賽一、二、三等獎,其中數十人被免試保送到清華大學、北京大學等名牌大學。
部分 三角函數
講 三角恒等式(一)/1
1.1 任意角的三角比/1
1.2 誘導公式及同角三角函數的關系 /11
第二講 三角恒等式(二)/ 20
2.1 兩角和與差的正弦、余弦與正切/ 20
2.2 倍角、半角 、和差化積與積化和差 / 35
第三講 三角函數的圖像與性質 / 53
第四講 反三角函數與三角方程 / 85
4.1 反三角函數 / 85
4.2 三角方程/ 98
第五講 解三角形 /109
5.1 解三角形/109
5.2 面積法/140
第六講 三角代換與三角不等式 /152
6.1 三角代換/ 152
6.2 三角不等式/165
第二部分 復數
第七講 復數的概念 / 190
第八講 復數的運算 / 211
第九講 復數與三角 / 223
第十講 復數與方程/ 249
參考答案及提示 / 279