《山東省專升本考試考前押密試卷·高等數(shù)學(xué)》共包含10套考前押密試卷, 每一套卷每一題均由中公教育山東專升本考試研究院經(jīng)過精心打磨研發(fā)而成。8套試卷嚴(yán)格按照最新真題及考試要求全新研發(fā), 題型、題量及試題難易程度均與歷年真題保持一致。同時試卷嚴(yán)格按照真題的版式編排, 讓考生提前體驗考場考試的感覺, 以達(dá)到具備真正進(jìn)入考場時能夠迅速進(jìn)入考試狀態(tài)的能力。8套試卷在深入研究歷年真題的基礎(chǔ)上, 總結(jié)歷年真題中的高頻考點(diǎn), 并根據(jù)重要知識點(diǎn)出題, 突出命題重點(diǎn), 避免浪費(fèi)考生寶貴的復(fù)習(xí)時間, 以使考生在短期內(nèi)盡快溫習(xí)以及回顧。
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山東省普通高等教育專升本考試
高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（一）考試科目高等數(shù)學(xué)
考生姓名
考生編號
報考單位注
意
事
項1答題前，考生須按規(guī)定將考生姓名、考生編號和報考單位填寫到試卷規(guī)定的位置上，并在答題卡上填（涂）對應(yīng)的信息。
2所有答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，超出各題答題區(qū)域的答案無效。在草稿紙、試題上作答無效。
3考試結(jié)束后，將試題和答題卡一并交回。
高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（一）第頁（共12頁）山東省普通高等教育專升本考試
高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（一）第Ⅰ卷一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1極限limn→∞3n5n=（）
A 35B 53
C 1D 0
2曲線y=2x2-100x(x+1)2的水平漸近線為（）
A y=1B y=2
C x=-1D x=50
3設(shè)函數(shù)y=f(x)在［a,b］上連續(xù)，則下列結(jié)論不正確的是（）
A若∫baf2(x)dx=0，則在［a,b］上f(x)=0
B ddx∫2xxf(x)dx=f(2x)-f(x)，其中x,2x∈［a,b］
C若f(a)f(b)<0，則在［a,b］內(nèi)存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0
D若函數(shù)f(x)在［a,b］上大值為M、小值為m，則m(b-a)≤∫baf(x)dx≤M(b-a)
4微分方程dxy+dyx=0的通解為（）
A x2+y2=CB y=2e2x+C
C y=e2x+CD x2-y2=C
5交換積分次序：∫0-1dx∫1-xf(x,y)dy=（）
A ∫0-1dy∫1-yf(x,y)dxB ∫10dy∫-y0f(x,y)dx
C ∫10dy∫1-yf(x,y)dxD ∫10dy∫0-yf(x,y)dx
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）6函數(shù)y=5-x+lg(x-1)的定義域為。
7設(shè)函數(shù)f(x)=x1+x，則f［f(x)］=。
8曲線y=x5在x=1處的切線方程為。
9曲線y=x2，y=1和x=2所圍成的平面圖形的面積為。
10若z=ln(x2+y2)，則全微分dz=。
三、計算題（本大題共8小題，每小題7分，共56分，計算題必須寫出必要的計算過程，只寫答案的不給分）11求極限limx→12x2-1-1x-1。
12求極限limx→0∫x0tarctantdtx3。
13已知函數(shù)f(x)=x2-b，x>0,1，x=0,aex+b，x<0在點(diǎn)x=0處連續(xù)，求實數(shù)a，b的值。
14求不定積分∫1ex+e-xdx。
15求定積分∫10x2xdx。
16求微分方程dydx+3y=e2x的通解。
17設(shè)函數(shù)u=ln(x2+y)，求2uxy。
18求二重積分D(x+y)dxdy，其中D為由直線y=-x，y=1和x=0所圍成的平面閉區(qū)域。
四、應(yīng)用題（本大題共1小題，每小題7分，共7分）19某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每多生產(chǎn)1噸該產(chǎn)品，成本增加5萬元。該產(chǎn)品的邊際收益函數(shù)為R′(Q)=10－002Q，其中Q（單位：噸）為產(chǎn)量。試求：
（1）該產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)；
（2）該產(chǎn)品的總收入函數(shù)；
（3）Q為多少時，該廠總利潤L大，大利潤是多少？
五、證明題（本大題共1小題，每小題7分，共7分）20設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［0,π］上連續(xù)，在開區(qū)間(0,π)內(nèi)可導(dǎo)。
證明：在開區(qū)間(0,π)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。
山東省普通高等教育專升本考試
高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（一）參考答案及解析第Ⅰ卷一、單項選擇題
1【答案】D
【解析】limn→∞3n5n=limn→∞35n=0。
2【答案】B
【解析】limx→∞2x2-100x(x+1)2=limx→∞2x2-100xx2+2x+1
=limx→∞2-100x1+2x+1x2=2，
所以y=2為曲線的一條水平漸近線。
3【答案】B
【解析】A項，由定積分的幾何意義可知，f2(x)≥0，∫baf2(x)dx為f2(x)在［a,b］上與x軸圍成的面積，該面積為0，故f(x)=0，A項正確。
B項，由變限積分求導(dǎo)公式可得
ddx∫2xxf(x)dx=ddx∫2x0f(x)dx-ddx∫x0f(x)dx=2f(2x)-f(x)，
故B項不正確。
C項，零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，即f(a)f(b)<0，那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0。由零點(diǎn)定理可知，C項正確。
D項，由積分估值定理可知，若x∈(a,b)，m≤f(x)≤M，則
∫bamdx≤∫baf(x)dx≤∫baMdx，
即m(b-a)≤∫baf(x)dx≤M(b-a)，
故D項正確。
4【答案】A
【解析】原方程為可分離變量的微分方程，則方程分離變量可得ydy=-xdx，兩邊積分得∫ydy=-∫xdx，故
12y2=-12x2+C1，
即x2+y2=C。
5【答案】D
【解析】積分區(qū)域如圖所示。
交換積分次序前積分區(qū)域可表示為-1≤x≤0,-x≤y≤1,交換積分次序后積分區(qū)域可表示為0≤y≤1,-y≤x≤0。
所以二次積分交換積分次序可得
∫0-1dx∫1-xf(x,y)dy=∫10dy∫0-yf(x,y)dx。
第Ⅱ卷
二、填空題
6【答案】(1,5］
【解析】由題意可得5-x≥0,x-1>0,則x≤5,x>1,即1 7【答案】x1+2x
【解析】f［f(x)］=f(x)1+f(x)=x1+x1+x1+x=x1+2x。
8【答案】5x-y-4=0
【解析】由求導(dǎo)法則可得y′=5x4，則y′(1)=5。
又因為當(dāng)x=1時，y=1。
故所求切線方程為y-1=5(x-1)，即5x-y-4=0。
9【答案】43
【解析】如圖所示，由定積分的幾何意義可知，所圍成的平面圖形的面積為
S=∫21(x2-1)dx=13x3-x21=43。
10【答案】2xx2+y2dx+2yx2+y2dy
【解析】因為
zx=2xx2+y2，
zy=2yx2+y2，
所以
dz=zxdx+zydy
=2xx2+y2dx+2yx2+y2dy。
三、計算題
11【解析】limx→12x2-1-1x-1=limx→12-(x+1)(x+1)(x-1)
=limx→1-(x+1)(x+1)(x-1)=limx→1-1x+1=-12。
12【解析】limx→0∫x0tarctantdtx3=limx→0xarctanx3x2=limx→0x23x2=13。
13【解析】由于f(x)在x=0處連續(xù)，故
limx→0+f(x)=limx→0-f(x)=f(0)。
因為
limx→0+(x2-b)=-b,
limx→0-(aex+b)=a+b,
f(0)=1,
所以-b=a+b=1，則a=2,b=-1。
14【解析】∫1ex+e-xdx=∫exe2x+1dx
=∫1(ex)2+1dex=arctanex+C，
其中C為任意常數(shù)。
15【解析】∫10x2xdx=1ln2∫10xd2x=1ln2［x2x］10-∫102xdx
=1ln22-2xln210=1ln22-1ln2。
16【解析】由一階線性微分方程的通解公式可得
y=e-∫3dx∫e2x·e∫3dxdx+C
=e-3x∫e2x·e3xdx+C
=Ce-3x+e-3x∫e5xdx=Ce-3x+15e2x，
其中C為任意常數(shù)。
17【解析】由求導(dǎo)法則可得
ux=2xx2+y，
則2uxy=-2x(x2+y)2。
18【解析】積分區(qū)域如圖所示。
方法一：D(x+y)dxdy=∫10dy∫0-y(x+y)dx
=∫10y22dy=16y310=16。
方法二：D(x+y)dxdy=∫0-1dx∫1-x(x+y)dy
=∫0-112x2+x+12dx
=16x3+12x2+12x0-1=16。
四、應(yīng)用題
19【解析】（1）因為總成本=固定成本+可變成本，則總成本函數(shù)為C=5Q+200，所以邊際成本函數(shù)為C′=5。
（2）由定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用可知，總收入函數(shù)為
R（Q）=∫Q0R′(Q)dQ=∫Q0(10－002Q)dQ=10Q－001Q2。
（3）當(dāng)C′=R′時，L大，即10－002Q=5，解得Q=250，故總利潤函數(shù)為L(Q)=R(Q)－C(Q)，則
L′(Q)=R′(Q)－C′(Q)=5－002Q，
令L′(Q)=0，得Q=250。因為L″(Q)=－002<0，所以Q=250為函數(shù)的極大值點(diǎn)，也為大值點(diǎn)，即當(dāng)Q=250（噸）時，總利潤大，且大利潤為425萬元。
五、證明題
20【證明】令F(x)=f(x)sinx，顯然F(x)在［0,π］上連續(xù)，在(0,π)內(nèi)可導(dǎo)，又因為F(0)=F(π)=0，則由羅爾定理可知，存在ξ∈(0,π)，使得F′(ξ)=0，即f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。
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