變分方法與無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)
本書(shū)主要討論無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)，旨在用現(xiàn)代非線性分析的框架研究無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)。本書(shū)先介紹無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)的定義和性質(zhì)，同時(shí)選取現(xiàn)代非線性分析中的常見(jiàn)問(wèn)題為例解釋其應(yīng)用。我們采用變分的方法，建立統(tǒng)一的變分框架并且發(fā)展一些抽象的臨界點(diǎn)理論來(lái)處理無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)。特別地，對(duì)于量子理論中的非線性Dirac方程、非線性Dirac-Klein-Gordon方程和非線性Dirac-Maxwell方程，我們從無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)的角度出發(fā)，利用變分方法，討論這幾類系統(tǒng)的基態(tài)解的存在性、多解性、正則性、半經(jīng)典極限和非相對(duì)論極限等問(wèn)題。
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目錄
前言
符號(hào)說(shuō)明
第1章 Hilbert流形 1
1.1 Hilbert流形的相關(guān)性質(zhì) 1
1.2 Hilbert流形上的微分學(xué) 3
1.2.1 無(wú)窮維空間上的微分學(xué) 3
1.2.2 無(wú)窮維流形上的微分學(xué) 7
1.3 Riemann-Hilbert流形 9
1.4 Hilbert流形的Morse理論 12
第2章 無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng) 20
2.1 Hilbert空間上的近復(fù)結(jié)構(gòu)與辛結(jié)構(gòu) 20
2.2 平坦的無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng) 21
2.2.1 Hamilton向量場(chǎng) 21
2.2.2 Hilbert空間上的無(wú)窮維 Hamilton系統(tǒng) 26
2.3 流形上的辛結(jié)構(gòu) 27
2.4 一般的無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng) 28
2.4.1 Hilbert流形上的Hamilton向量場(chǎng) 28
2.4.2 Hilbert流形上的無(wú)窮維 Hamilton系統(tǒng) 31
第3章 變分的討論 33
3.1 線性算子的譜理論 33
3.1.1 譜族的定義及性質(zhì) 33
3.1.2 譜集與預(yù)解集 37
3.1.3 Fourier變換 39
3.1.4 譜的計(jì)算 40
3.1.5 插值理論 60
3.2 變分框架 64
3.2.1 抽象方程的變分框架 64
3.2.2 Dirac方程的變分框架 65
3.2.3 非線性Dirac-Klein-Gordon系統(tǒng)的變分框架 69
3.2.4 非線性Dirac-Maxwell系統(tǒng)的變分框架 71
3.3 抽象的臨界點(diǎn)定理73
3.3.1 形變引理 74
3.3.2 臨界點(diǎn)定理75
第4章 解的存在性結(jié)果 83
4.1 非線性Dirac-Klein-Gordon系統(tǒng) 83
4.1.1 Lagrange系統(tǒng)的觀點(diǎn) 84
4.1.2 假設(shè)和主要結(jié)果 87
4.1.3 泛函的拓?fù)湫再|(zhì) 88
4.1.4 Cerami序列 92
4.1.5 存在性的證明 95
4.2 非線性Dirac-Maxwell系統(tǒng) 103
4.2.1 Lagrange系統(tǒng)的觀點(diǎn) 103
4.2.2 主要結(jié)論 107
4.2.3 變分結(jié)構(gòu)與泛函的拓?fù)湫再|(zhì) 108
4.2.4 Cerami序列 110
4.2.5 存在性證明 112
第5章 系統(tǒng)的極限問(wèn)題 115
5.1 半經(jīng)典極限 115
5.1.1 帶有非線性位勢(shì)Dirac方程的半經(jīng)典極限 115
5.1.2 帶有競(jìng)爭(zhēng)位勢(shì)Dirac方程解的集中性 129
5.2 非相對(duì)論極限 153
5.2.1 主要結(jié)果 154
5.2.2 變分框架與泛函的拓?fù)湫再|(zhì) 154
5.2.3 非線性Dirac方程解的一致有界性 157
5.2.4 定理5.2.1的證明 159
第6章 解的其他性質(zhì) 167
6.1 正則性結(jié)果 167
6.1.1 半經(jīng)典Dirac方程解的一致正則性 167
6.1.2 非線性Dirac-Klein-Gordon系統(tǒng)解的正則性 168
6.1.3 非相對(duì)論極限問(wèn)題下解的一致正則性 171
6.2 衰減性結(jié)果 173
6.2.1 帶非線性位勢(shì)的半經(jīng)典Dirac方程解的衰減估計(jì) 173
6.2.2 帶競(jìng)爭(zhēng)位勢(shì)的半經(jīng)典Dirac方程解的衰減估計(jì) 174
6.2.3 非線性Dirac-Klein-Gordon系統(tǒng)解的衰減性 177
6.2.4 非相對(duì)論極限問(wèn)題下解的一致衰減性 179
第7章 解的多重性結(jié)果 182
7.1 穩(wěn)態(tài)解的多重性 182
7.2 半經(jīng)典態(tài)的多解性 184
7.2.1 Rn上的非線性 Dirac方程的半經(jīng)典態(tài)的多重性 184
7.2.2 非線性Dirac-Klein-Gordon系統(tǒng)方程的半經(jīng)典態(tài)的多重性 203
7.3 無(wú)窮多解的存在性 228
7.3.1 主要結(jié)果 228
7.3.2 變分框架與預(yù)備知識(shí) 229
7.3.3 定理7.3.1的證明.233
7.3.4 定理7.3.2的證明.237
參考文獻(xiàn) 242
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