本書分為復(fù)變函數(shù)和積分變換兩部分： 復(fù)變函數(shù)部分包括復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的級(jí)數(shù)理論、留數(shù)； 積分變換部分包括傅里葉變換和拉普拉斯變換等。本書每章末都配有思維導(dǎo)圖和精選習(xí)題,方便讀者復(fù)習(xí)掌握和檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果。除此以外，書中還設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等版塊，以增強(qiáng)數(shù)學(xué)底蘊(yùn),提高學(xué)習(xí)興趣。本書中性質(zhì)等相關(guān)證明過(guò)程詳細(xì)，注重?cái)?shù)學(xué)思想、方法和技巧的運(yùn)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活多樣、舉一反三的科學(xué)素質(zhì)。本書中附有二維碼，掃碼可查看常用函數(shù)的積分變換簡(jiǎn)表和習(xí)題答案，供讀者參考。 本書可供高等學(xué)校理工科相關(guān)專業(yè)作為教材使用,也可作為任課教師的教學(xué)參考書,還可供有關(guān)工程技術(shù)人員參考使用。 本書封面貼有清華大學(xué)出版社防偽標(biāo)簽，無(wú)標(biāo)簽者不得銷售。

復(fù)變函數(shù)與積分變換是高等數(shù)學(xué)的后繼課程，是電氣類、電子信息類、機(jī)械類專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)課，能夠?yàn)楹罄m(xù)專業(yè)課程提供必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和理論依據(jù)。為適應(yīng)當(dāng)前課程改革發(fā)展需要，以高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)分委會(huì)制定的《工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求》為依據(jù)，在結(jié)合近二十年的一線教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)以及借鑒了眾多同類優(yōu)秀教材和著作的基礎(chǔ)上，編寫了《復(fù)變函數(shù)與積分變換》。本教材的主要特色主要是：1.知識(shí)體系完整，突出知識(shí)發(fā)展過(guò)程；2.定理性質(zhì)等證明過(guò)程詳細(xì)全面，易于理解，例題解法多樣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維；3.在教材中融入思維導(dǎo)圖，使學(xué)生能夠掌握知識(shí)體系、輕松復(fù)習(xí)；4.每章節(jié)后都有配套練習(xí)題，方便學(xué)生自我檢測(cè)，明確章節(jié)學(xué)習(xí)重難點(diǎn)；5.書后列舉了為本門課程做出杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介，通過(guò)數(shù)學(xué)家的榜樣力量達(dá)到思政教育的目的。

習(xí)近平總書記在黨的二十大報(bào)告中指出： 教育、科技、人才是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的基礎(chǔ)性、戰(zhàn)略性支撐。必須堅(jiān)持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、創(chuàng)新是第一動(dòng)力，深入實(shí)施科教興國(guó)戰(zhàn)略、人才強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略，這三大戰(zhàn)略共同服務(wù)于創(chuàng)新型國(guó)家的建設(shè)。高等教育與經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展緊密相連，對(duì)促進(jìn)就業(yè)創(chuàng)業(yè)、助力經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、增進(jìn)人民福祉具有重要意義。

復(fù)變函數(shù)與積分變換是高等學(xué)校理工科一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，它不僅是學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程和在各學(xué)科領(lǐng)域中進(jìn)行科學(xué)研究及實(shí)踐的必要基礎(chǔ)，而且在培養(yǎng)符合現(xiàn)代社會(huì)發(fā)展的高素質(zhì)應(yīng)用型人才方面起著重要作用。隨著我國(guó)高等教育的快速發(fā)展和高校教學(xué)改革的不斷深入，我們按照高等學(xué)校理工類復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的教學(xué)基本要求，結(jié)合多年一線教學(xué)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，精心策劃，以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力為目的編寫了本書。

在編寫過(guò)程中，我們參考了國(guó)內(nèi)外眾多同類優(yōu)秀教材和書籍，借鑒和吸收了相關(guān)的研究成果，用直觀形象的方法講解數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，并結(jié)合工程技術(shù)上的實(shí)例理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)容，力求做到由淺入深、循序漸進(jìn)、通俗易懂、突出重點(diǎn)，注重?cái)?shù)學(xué)思想、方法和技巧的運(yùn)用，注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的能力和創(chuàng)新能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活多樣、舉一反三的科學(xué)素質(zhì)。

本書分為兩個(gè)部分： 第一部分為復(fù)變函數(shù)，主要包含復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的級(jí)數(shù)理論、留數(shù)、共形映射（這部分以二維碼形式呈現(xiàn)，既保持知識(shí)體系的完整性，又減少了篇幅）； 第二部分為積分變換，包含傅里葉變換和拉普拉斯變換。本書完全可以滿足一般教學(xué)的需求。

本書主要特點(diǎn)如下。

(1) 例題豐富，計(jì)算方法多樣，論證詳細(xì)，能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

(2) 精心選配習(xí)題并附有參考答案，方便學(xué)生自我檢測(cè)學(xué)習(xí)效果。

(3) 為了滿足不同需求，書中的部分性質(zhì)和定理的證明以及*的部分以二維碼形式在本書呈現(xiàn)，可根據(jù)實(shí)際情況選講選學(xué)。

(4) 本書附有課程發(fā)展簡(jiǎn)史、數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（基于Matlab)、積分變換簡(jiǎn)表等內(nèi)容，有助于挖掘、融入思政元素，掃描附錄中二維碼即可查看。

(5) 每章末配有知識(shí)體系思維導(dǎo)圖，以圖的形式展現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，便于學(xué)生復(fù)習(xí)掌握，能夠達(dá)到較好的教學(xué)輔助效果。

閱讀本書需要具備一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本書可供高等學(xué)校理工科相關(guān)本科專業(yè)選作教材，也可作為任課教師的教學(xué)參考書，還可供有關(guān)工程技術(shù)人員參考使用。

本書是佳木斯大學(xué)組織編寫的大學(xué)數(shù)學(xué)系列教材之一。本系列教材還有《高等數(shù)學(xué)》《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》《線性代數(shù)》等。本書中，孫立偉編寫了積分變換部分； 張玲編寫了復(fù)變函數(shù)部分第四、五章及附錄； 姜春艷編寫了復(fù)變函數(shù)部分第一~三章； 劉秀娟編寫了共形映射及全書習(xí)題，限于篇幅原因，共形映射的內(nèi)容是通過(guò)二維碼形式體現(xiàn)的； 文斌作為主審，對(duì)全書內(nèi)容做了全面細(xì)致的審閱工作； 全書最后由孫立偉統(tǒng)稿。在本書編寫和出版過(guò)程中，我們得到了學(xué)校相關(guān)部門、同行和清華大學(xué)出版社的鼎力支持與幫助，在此表示誠(chéng)摯的感謝！

由于編者水平有限，書中難免有不足和疏漏之處，懇請(qǐng)讀者對(duì)本書多提寶貴意見和建議。

編者
2023年5月

孫立偉，從事復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)十余年，發(fā)表SCI論文1篇、核心期刊及其他期刊論文15篇，出版《積分變換》教材1部，主持并完成省、校教科研項(xiàng)目3項(xiàng)，參與省、校級(jí)項(xiàng)目10余項(xiàng)，在省、校教學(xué)比賽中5次獲獎(jiǎng)，榮獲佳木斯大學(xué)優(yōu)秀教師佳木斯大學(xué)21年度學(xué)生最喜愛的教師等稱號(hào)。

第一部分復(fù) 變 函 數(shù)

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

第一節(jié)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算

一、 復(fù)數(shù)的概念

二、 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算

第二節(jié)復(fù)數(shù)的幾何表示

一、 復(fù)平面

二、 復(fù)球面

第三節(jié)復(fù)數(shù)的乘冪與方根

一、 積與商

二、 冪與根

第四節(jié)區(qū)域

一、 區(qū)域的概念

二、 曲線

三、 單連通區(qū)域、多連通區(qū)域

第五節(jié)復(fù)變函數(shù)的概念與映射

一、 復(fù)變函數(shù)的概念

二、 映射

第六節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性

一、 復(fù)變函數(shù)的極限

二、 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性

章末總結(jié)

習(xí)題一

第二章解析函數(shù)

第一節(jié)解析函數(shù)概述

一、 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

二、 解析函數(shù)的概念

第二節(jié)函數(shù)解析的充要條件

第三節(jié)初等函數(shù)

一、 指數(shù)函數(shù)

二、 對(duì)數(shù)函數(shù)

三、 乘冪ab與冪函數(shù)

四、 三角函數(shù)與雙曲函數(shù)

五、 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)

章末總結(jié)

習(xí)題二

第三章復(fù)變函數(shù)的積分

第一節(jié)復(fù)變函數(shù)積分的概念

一、 積分的定義

二、 積分存在的條件及其計(jì)算方法

三、 積分的性質(zhì)

第二節(jié)柯西�补潘_基本定理及其推廣

一、 柯西�补潘_基本定理

二、 基本定理的推廣復(fù)合閉路定理

第三節(jié)原函數(shù)與不定積分

第四節(jié)柯西積分公式

第五節(jié)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

第六節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

章末總結(jié)

習(xí)題三
第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)理論

第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

一、 復(fù)數(shù)序列的極限

二、 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法

三、 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂

第二節(jié)冪級(jí)數(shù)

一、 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

二、 冪級(jí)數(shù)的概念

三、 冪級(jí)數(shù)的收斂圓與收斂半徑

四、 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

第三節(jié)泰勒級(jí)數(shù)

一、 泰勒展開定理

二、 變量代換法

三、 運(yùn)算性質(zhì)法

四、 分析性質(zhì)法

五、 待定系數(shù)法

第四節(jié)洛朗級(jí)數(shù)

章末總結(jié)

習(xí)題四
第五章留數(shù)

第一節(jié)解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)

一、 可去奇點(diǎn)

二、 極點(diǎn)

三、 本性奇點(diǎn)

四、 解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)

第二節(jié)留數(shù)及留數(shù)定理

一、 留數(shù)的定義及留數(shù)定理

二、 留數(shù)的計(jì)算

三、 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)

第三節(jié)留數(shù)在定積分運(yùn)算上的應(yīng)用

一、 計(jì)算20R(cos,sin)d型積分

二、 計(jì)算 －P(x)Q(x)dx型積分

三、 積分 －P(x)Q(x)eimxdx的計(jì)算

四、 計(jì)算積分路徑上有奇點(diǎn)的積分

章末總結(jié)

習(xí)題五

第二部分積 分 變 換

引言

第六章傅里葉變換

第一節(jié)傅里葉變換概述

一、 周期函數(shù)fT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)

二、 非周期函數(shù)f(t)的傅里葉積分

三、 傅里葉變換的概念

四、 傅里葉變換的物理意義頻譜

第二節(jié)單位脈沖函數(shù)及其傅里葉變換

一、 狄拉克函數(shù)(�埠瘮�(shù))

二、 �埠瘮�(shù)的性質(zhì)

三、 �埠瘮�(shù)的傅里葉變換

第三節(jié)傅里葉變換的性質(zhì)

一、 線性性質(zhì)

二、 對(duì)稱性質(zhì)

三、 位移性質(zhì)

四、 相似性質(zhì)

五、 微分性質(zhì)

六、 積分性質(zhì)

第四節(jié)卷積和卷積定理

一、 卷積及其性質(zhì)

二、 卷積定理

*三、 相關(guān)函數(shù)

第五節(jié)傅里葉變換的應(yīng)用

章末總結(jié)

習(xí)題六
第七章拉普拉斯變換

第一節(jié)拉普拉斯變換的概念

一、 問題的提出

二、 拉普拉斯變換的定義及存在定理

第二節(jié)拉普拉斯變換的性質(zhì)

一、 線性性質(zhì)

二、 相似性質(zhì)

三、 微分性質(zhì)

四、 積分性質(zhì)

五、 位移性質(zhì)

六、 延遲性質(zhì)

七、 周期函數(shù)的拉普拉斯變換

第三節(jié)拉普拉斯變換的卷積

一、 卷積的概念及性質(zhì)

二、 卷積定理

第四節(jié)拉普拉斯逆變換

一、 拉普拉斯反演積分公式

二、 拉普拉斯逆變換的求解方法

第五節(jié)拉普拉斯變換的應(yīng)用

章末總結(jié)

習(xí)題七

附錄與習(xí)題答案

參考文獻(xiàn)