我們知道幾何無處不在。然而，還有許多人沒有機會欣賞到令人驚奇的幾何關系和它們的美。美國高中課程通常規(guī)定用一年的時間來學習幾何，模仿數(shù)學家的工作方式，從公理和假設開始建立一個研究領域，然后以邏輯推理來證明各條定理。不過，這種注重定理證明的做法忽視了許許多多不尋常的關系。本書試圖在不讓這些證明使人分心的情況下展示那些幾何奇觀。
英語中對幾何學的理解始于18世紀，當時蘇格蘭數(shù)學家西姆森(Robert Simson)用英語出版了歐幾里得(Euclid)的《幾何原本》(Elements)中的大部分內容。到了19世紀，法國數(shù)學家勒讓德(Adrien-Marie Legendre,17521833)進一步完善了這些知識。首先將幾何學引入美國的則是美國的數(shù)學家戴維斯(Charles Davies,17981876),他編寫了一本教科書，該書以定義、公理和假設為起點，進而引出定理。這原本是一門大學課程，而從20世紀開始，這一課程通常在高中十年級教授。在大多數(shù)人的記憶中，這門課都是在證明定理，而這些定理最終會以數(shù)學家研究數(shù)學的方式建立起一個知識體系。
在建立起一個環(huán)環(huán)相扣的知識體系的過程中，有著顯而易見的美。不過，這種做法往往不能讓學生充分體會滲透在平面幾何這一學科中的種種令人驚嘆的關系。在完全出乎意料的情況下，你能發(fā)現(xiàn)三條或多條線共點或者三個或多個點共線�；蛘撸�如果你知道任意三個非共線點確定一個唯一的圓，那么在什么情況下四個或更多的點會在同一個圓上?這些例子只是一些經常被忽視的、令人驚訝的幾何元素。我希望在本書中能彌補這種疏忽。
除了這些不同尋常的特性之外，由于受表達方式的限制，幾何學的許多方面可能在無意中被忽略了。在處理直線圖形時，三角形自然是占主導地位的。不過，四邊形也值得考慮，我們將在適當?shù)臅r候介紹四邊形。為了激起你的興趣，請畫一個四邊形，它沒有任何平行邊，也沒有任何邊等長。如果你將這個不規(guī)則的四邊形的各邊中點相繼連起來，從而畫出另一個四邊形，那么你最后得到的總是一個平行四邊形(如圖0.1所示)。這顯然不在意料之中，但卻是事實!在我們的幾何學之旅中，你將會看到，除此之外還有許許多多類似的新奇的幾何事物在等待著我們。
幾何學知識不僅是許多有趣的發(fā)現(xiàn)，也是幾個世紀以來杰出的數(shù)學家們辛勤工作的結果。本書基于他們所研究的幾何關系，探究其中的意義。
幾何中存在著美，黃金矩形就是一例。在本書中，我們將同時從美學和數(shù)學的角度欣賞它。當然，黃金矩形也遍布在數(shù)學的許多分支中，因此我們將順便關聯(lián)其中的幾個分支，以突出其重要性。
幾何也具有趣味性，有些錯誤往往在不知不覺間產生，直到演變出一個荒謬的結果才被發(fā)現(xiàn)。然后我們就會充滿興趣，并試圖去糾正在研究或假設中可能出現(xiàn)錯誤的地方。
本書從直線的共點性出發(fā)，開啟我們的幾何之旅，并帶你領略各種幾何奇觀。我們感興趣的主要是那些既定事實的關系，因此本書的闡述不會受到證明過程的干擾。如前所述，高中幾何課程主要是在幾何體系內部建立起一個邏輯系統(tǒng)，它對證明過程的重視多于由證明得出的結果。相比之下，本書著眼于這些結果，并欣賞那些令人驚嘆的關系。這將貫穿始終。本書的目標是讓作為讀者的你能欣賞幾何學，而不必分心去證明每一個發(fā)現(xiàn)。
當你看到這些意想不到的、相當有趣的關系時，你可能會忍不住到你的幾何工具箱里去挖掘一番，并試圖證明它們�；蛘吣阋苍S會用一把沒有刻度的直尺和一副圓規(guī)來作出一個幾何圖形。不過，如今我們可以通過使用動態(tài)幾何軟件來驗證這種關系確實成立，如幾何畫板或Geogebra。簡而言之，通過使用這些軟件來演示本書中出現(xiàn)的許多意想不到的關系，幾乎可以像一個嚴格意義上的邏輯證明一樣令人信服。坦率地說，在探究本書中所展示的這些奇跡時，你應該會經常驚呼：哇，真是一個驚人的結果啊!我們現(xiàn)在邀請你與我們一起通過這種相當不尋常的方法，不受證明拖累地來充分領會幾何學的力量和美。