目錄
前言
第1章 緒論 1
1.1 計算方法概述 1
1.1.1 科學(xué)計算與計算方法 1
1.1.2 計算方法的研究對象與特點 .2
1.2 誤差的基本理論 3
1.2.1 浮點數(shù)與機器數(shù)系 3
1.2.2 誤差的來源及分類 4
1.2.3 絕對誤差與相對誤差 6
1.2.4 算術(shù)運算中誤差的傳播與分析 .10
1.3 算法設(shè)計的注意事項 12
1.3.1 減少運算步驟, 加快運算速度 13
1.3.2 選用穩(wěn)定算法, 避免誤差擴散 15
1.3.3 遵循幾個原則, 提高計算精度 16
習(xí)題1 19
第2章 插值法 20
2.1 插值問題與氣象應(yīng)用 20
2.1.1 插值問題 20
2.1.2 插值多項式的存在唯一性 20
2.1.3 氣象應(yīng)用 21
2.2 Lagrange 插值 22
2.2.1 Lagrange 插值多項式 22
2.2.2 插值余項 24
2.3 差商與 Newton 插值 27
2.3.1 Lagrange 多項式的遞推形式 .28
2.3.2 差商 29
2.3.3 Newton 插值多項式 31
2.4 差分與等距節(jié)點插值 35
2.4.1 差分及其性質(zhì) 36
2.4.2 等距節(jié)點插值公式 38
2.5 分段插值 41
2.5.1 高次插值 Runge 現(xiàn)象 41
2.5.2 分段插值 42
2.6 Hermite 插值 43
2.7 三次樣條插值 .47
2.7.1 三次樣條插值問題定義 47
2.7.2 三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造方法 .48
2.7.3 三次樣條插值余項估計 53
2.7.4 樣條函數(shù)的統(tǒng)一表示形式 53
2.8 氣象案例 55
習(xí)題2 58
第3章 函數(shù)逼近 61
3.1 函數(shù)逼近的基本概念 62
3.1.1 函數(shù)逼近和函數(shù)空間 62
3.1.2 范數(shù)和內(nèi)積 64
3.1.3 最佳逼近 66
3.2 正交多項式 67
3.2.1 正交多項式的概念和性質(zhì) 67
3.2.2 Chebyshev 多項式 70
3.2.3 其他常用正交多項式 76
3.3 最佳平方逼近 .78
3.3.1 最佳平方逼近及其計算 78
3.3.2 正交函數(shù)族最佳平方逼近 84
3.3.3 最佳一致逼近 86
3.4 曲線擬合的最小二乘法 .90
3.4.1 最小二乘法及其計算 90
3.4.2 正交多項式的最小二乘擬合 96
3.4.3 超定方程組的最小二乘解 98
3.5 氣象案例 101
習(xí)題3 103
第4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 .105
4.1 插值型數(shù)值求積公式 105
4.1.1 數(shù)值求積公式 105
4.1.2 插值型求積公式 107
4.1.3 數(shù)值求積公式的代數(shù)精度 108
4.1.4 數(shù)值求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性 111
4.2 Newton-Cotes 求積公式 112
4.2.1 Newton-Cotes 求積公式 112
4.2.2 幾種低階 Newton-Cotes 求積公式的積分余項 116
4.3 復(fù)化求積公式 118
4.3.1 復(fù)化梯形公式 119
4.3.2 復(fù)化 Simpson 公式 119
4.4 Romberg 算法 123
4.4.1 區(qū)間逐次二分法 123
4.4.2 復(fù)化求積公式的收斂階 125
4.4.3 Romberg 算法 126
4.5 Gauss 型求積公式 131
4.5.1 基本概念 131
4.5.2 Gauss 點 133
4.5.3 Gauss-Legendre 公式 134
4.5.4 數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性 137
4.5.5 帶權(quán) Gauss 公式 137
4.6 數(shù)值微分 141
4.6.1 插值型求導(dǎo)公式 141
4.6.2 三次樣條插值求導(dǎo) 144
習(xí)題4 145
第5章 非線性方程求根 148
5.1 迭代法的一般概念 149
5.1.1 方程根的存在性與唯一性 149
5.1.2 迭代法 150
5.1.3 二分法 150
5.2 Picard 迭代法 152
5.2.1 Picard 迭代的收斂性 .154
5.2.2 Picard 迭代法斂散性的幾何解釋 156
5.2.3 Picard 迭代的局部收斂性和誤差估計 157
5.2.4 迭代的收斂速度與漸進誤差估計 160
5.3 Newton-Raphson 迭代法 .162
5.3.1 Newton 法的大范圍收斂性 163
5.3.2 Newton 法的局部收斂性 .165
5.3.3 重根條件下 Newton 法的改進 166
5.4 割線法 168
5.5 加速方法 169
5.5.1 Aitken 加速法 169
5.5.2 Steffensen 迭代法 171
5.5.3 高階迭代法 172
習(xí)題5 173
第6章 線性方程組的直接解法 174
6.1 引言與預(yù)備知識 174
6.1.1 引言 174
6.1.2 預(yù)備知識 176
6.2 Gauss 消元法 .177
6.2.1 Gauss 消元法 177
6.2.2 列主元 Gauss 消元法 181
6.3 矩陣三角分解法 184
6.3.1 Gauss 消元法的矩陣解釋 184
6.3.2 Doolittle 分解 186
6.3.3 Cholesky 分解與平方根法 192
6.3.4 LDLT 分解與改進的平方根法 196
6.3.5 追趕法 197
6.3.6 帶列主元的三角分解 202
6.4 向量范數(shù)和矩陣范數(shù) 208
6.4.1 向量范數(shù) 208
6.4.2 向量范數(shù)等價性 210
6.4.3 矩陣范數(shù) 213
6.5 條件數(shù)與誤差分析 219
6.5.1 病態(tài)方程組與條件數(shù) 219
6.5.2 方程組的病態(tài)檢測與改善 225
習(xí)題6 227
第7章 線性方程組的迭代解法 230
7.1 迭代法的構(gòu)造 230
7.1.1 Jacobi 迭代法 .232
7.1.2 Gauss-Seidel 迭代法 233
7.2 迭代法的收斂性 236
7.2.1 一階定常迭代法的收斂性 237
7.2.2 Jacobi 迭代法與 Gauss-Seidel 迭代法的收斂性 .243
7.2.3 迭代法的收斂速度 247
7.3 超松弛迭代法 248
7.3.1 逐次超松弛迭代法 249
7.3.2 SOR 迭代法的收斂性 250
7.4 共軛梯度法 254
7.4.1 變分問題 254
7.4.2 最速下降法 255
7.4.3 共軛梯度法 256
習(xí)題7 259
第8章 常微分方程數(shù)值解法 .262
8.1 引言 .262
8.2 簡單的數(shù)值方法 264
8.2.1 Euler 法及其幾何意義 264
8.2.2 后退 Euler 法 265
8.2.3 梯形法 266
8.2.4 單步法的局部截斷誤差與階 267
8.3 Runge-Kutta 法 271
8.3.1 Runge-Kutta 法的基本思想 271
8.3.2 三階與四階 Runge-Kutta 法 274
8.3.3 步長的選取 277
8.4 單步法的相容性、收斂性和穩(wěn)定性 278
8.4.1 單步法的相容性 278
8.4.2 單步法的收斂性 279
8.4.3 單步法的穩(wěn)定性 281
8.5 線性多步法 285
8.5.1 顯式 Adams 法 .285
8.5.2 隱式 Adams 法 .287
8.5.3 Adams 預(yù)估–校正格式 289
8.6 常微分方程組與邊值問題的數(shù)值解法 290
8.6.1 一階常微分方程組 290
8.6.2 高階方程的初值問題 292
8.6.3 邊值問題的差分解法 293
8.7 氣象案例 295
習(xí)題8 297
第9章 矩陣特征值與特征向量的計算 300
9.1 特征值的性質(zhì)和估計 300
9.2 冪法及反冪法 302
9.2.1 冪法 302
9.2.2 加速方法 309
9.2.3 反冪法 312
9.3 正交變換 314
9.3.1 Householder 變換 315
9.3.2 Givens 變換 317
9.4 QR 方法 319
9.4.1 基本的 QR 方法 .319
9.4.2 帶原點平移的 QR 方法 324
9.5 實對稱矩陣的 Jacobi 方法 325
9.5.1 Jacobi 方法 .325
9.5.2 Jacobi 方法的收斂性 327
9.5.3 Jacobi 過關(guān)法 .329
9.6 氣象案例 330
習(xí)題9 332
第10章 氣象應(yīng)用 .334
10.1 氣象中的動力預(yù)報數(shù)值模式 334
10.1.1 數(shù)值天氣預(yù)報中的偏微分方程組 334
10.1.2 空間差分方案對大氣中慣性重力波頻散關(guān)系的影響 335
10.1.3 空間差分方案對大氣中 Rossby 波頻散關(guān)系的影響 340
10.1.4 時間差分方案對振蕩方程計算穩(wěn)定性的影響 343
10.1.5 數(shù)值天氣預(yù)報模式的創(chuàng)新性非結(jié)構(gòu)球面質(zhì)心網(wǎng)格特點 345
10.2 四維變分氣象資料同化起源、伴隨映射和伴隨微分方程 348
10.2.1 氣象資料同化問題是數(shù)學(xué)反問題 348
10.2.2 四維變分氣象資料同化方法的起源和在20世紀90年代的蓬勃發(fā)展 349
10.2.3 數(shù)值天氣預(yù)報模式和觀測算子的線性伴隨映射 350
10.2.4 推導(dǎo)偏微分方程的伴隨方程的拉格朗日方法 352
10.2.5 插值和最小二乘法在早期氣象資料分析方法中的應(yīng)用 355
10.3 矩陣特征向量和線性回歸在氣象衛(wèi)星資料研究中的應(yīng)用 359
10.3.1 微波濕度計沿軌條紋噪聲去除 359
10.3.2 微波溫度計跨軌條紋噪聲去除 361
10.3.3 微波成像儀資料無線電信號干擾檢測 .363
10.3.4 微波溫度計資料的臺風(fēng)暖核反演 365
10.4 結(jié)束語 367
參考文獻 368