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Calabi-Yau三角范疇中扭對(duì)的分類及其應(yīng)用
定 價(jià):42 元
- 作者:常會(huì)敏
- 出版時(shí)間:2023/12/1
- ISBN:9787568099035
- 出 版 社:華中科技大學(xué)出版社
- 中圖法分類:O141
- 頁(yè)碼:
- 紙張:膠版紙
- 版次:
- 開(kāi)本:16開(kāi)
本書(shū)主要涉及Calabi-Yau三角范疇中扭對(duì)分類的發(fā)展研究,涵蓋了有限的2-CY三角范疇、叢范疇、高階叢范疇和無(wú)窮叢范疇中的(余)扭對(duì)的分類及其應(yīng)用,有限的2-CY三角范疇是只含有限多個(gè)不可分解對(duì)象并且?guī)в袠O大剛性對(duì)象的2-CY三角范。叢范疇和高階叢范疇包括A型和D型,無(wú)窮叢范疇包括A型、A 型、包含n個(gè)極限點(diǎn)的A型和D型的叢范疇。最后,最為應(yīng)用,介紹了利用叢傾斜子范疇計(jì)算Grothendieck群的方法。本書(shū)可供從事代數(shù)表示論領(lǐng)域的科研人員了解三角范疇、AR-箭圖、扭理論、特殊三角范疇(包括有限2-Calabi-Yau三角范疇、高階叢范疇和無(wú)窮叢范疇)的幾何模型等,了解扭對(duì)分類的方法及其應(yīng)用。
本領(lǐng)域的國(guó)內(nèi)研究書(shū)籍相對(duì)較少,國(guó)外書(shū)籍相關(guān)內(nèi)容的介紹很經(jīng)典,但內(nèi)容相對(duì)比較古老。與國(guó)內(nèi)外同類其他圖書(shū)相比,本書(shū)更加系統(tǒng)和細(xì)致的介紹了Calabi-Yau三角范疇中扭對(duì)分類的發(fā)展現(xiàn)狀和預(yù)期發(fā)展方向,屬于學(xué)術(shù)前沿研究領(lǐng)域。本書(shū)中詳細(xì)介紹了不同范疇的幾何模型,利用組合理論的方法將不同范疇中的扭對(duì)分類,內(nèi)容包含作者的最新研究成果。在扭對(duì)分類完成之后,重點(diǎn)介紹相關(guān)應(yīng)用。
CalabiYau三角范疇中扭對(duì)的分類及其應(yīng)用前言前言扭理論作為t結(jié)構(gòu)與叢傾斜子范疇的推廣,是代數(shù)表示論中一個(gè)重要的研究課題,也是代數(shù)和幾何領(lǐng)域一類重要的研究對(duì)象。它在幫助我們理解三角范疇的代數(shù)結(jié)構(gòu)和幾何結(jié)構(gòu)方面起到重要的作用,因而對(duì)三角范疇中的扭對(duì)進(jìn)行分類具有重要的意義。本書(shū)圍繞有限2CalabiYau三角范疇、高階叢范疇和無(wú)窮叢范疇這三類特殊的三角范疇展開(kāi)闡述,利用幾何模型,用組合理論的方法研究三角范疇中的扭對(duì)分類及其應(yīng)用。本書(shū)可供從事代數(shù)表示論領(lǐng)域的科研人員了解三角范疇、AR箭圖、扭理論、特殊三角范疇(包括有限2CalabiYau三角范疇、高階叢范疇和無(wú)窮叢范疇)的幾何模型等,以及扭對(duì)分類的方法及其應(yīng)用。本書(shū)共分為9章,第1章為扭理論簡(jiǎn)介,主要介紹扭理論的研究背景和研究扭理論的意義,并介紹了有限2CalabiYau三角范疇、高階叢范疇和無(wú)窮叢范疇的研究現(xiàn)狀和趨勢(shì)。第2章給出本書(shū)需要用到的一些基本的定義和結(jié)果。我們主要回顧一些關(guān)于加法范疇、阿貝爾范疇、三角范疇的預(yù)備知識(shí),給出扭理論、叢結(jié)構(gòu)、有限2CalabiYau三角范疇、叢范疇、高階叢范疇和無(wú)窮叢范疇的相關(guān)概念和主要結(jié)果,同時(shí)介紹了本書(shū)一些常用的記號(hào),為后面章節(jié)的學(xué)習(xí)做鋪墊。第3章介紹有限2CalabiYau三角范疇中的扭理論及其應(yīng)用,主要研究An,t和Dn,t(帶極大剛性對(duì)象而非叢傾斜對(duì)象的有限2CalabiYau三角范疇)中扭對(duì)的幾何刻畫(huà),計(jì)算出扭對(duì)的個(gè)數(shù),并且將所有扭對(duì)的heart進(jìn)行分類。另外,我們研究了An,t和Dn,t中不可分解剛性對(duì)象的性質(zhì),分別定義了An,t和Dn,t上叢復(fù)形(cluster complex)的概念,證明了存在從An,t和Dn,t的叢復(fù)形到Bn型根系的叢復(fù)形的同構(gòu)。在這個(gè)同構(gòu)下,An,t和Dn,t中極大剛性對(duì)象對(duì)應(yīng)到Bn型根系的極大相容子集。其中包含我們已經(jīng)發(fā)表的文章中的結(jié)論。第4章重點(diǎn)介紹高階叢范疇中的扭理論及其應(yīng)用,包含A型高階叢范疇和D型高階叢范疇。對(duì)于A型m叢范疇,我們利用其幾何模型,將余扭對(duì)完全分類。當(dāng)m=1時(shí),該結(jié)論推廣了HolmJrgensenRubey關(guān)于經(jīng)典A型叢范疇上扭對(duì)的分類。同樣的,對(duì)于D型m叢范疇,我們利用其幾何模型,將m為奇數(shù)時(shí)的D型m叢范疇中的扭對(duì)完全分類。當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),仍然是一個(gè)開(kāi)放的問(wèn)題,目前還沒(méi)有相應(yīng)扭對(duì)分類的結(jié)果。第5章介紹高階叢范疇中扭對(duì)分類的應(yīng)用,在第4章扭對(duì)分類完成的基礎(chǔ)上,將A型和D型高階叢范疇中的高階剛性子范疇和高階叢傾斜子范疇分類(注意對(duì)于D型,仍然只能將m為奇數(shù)時(shí)的D型m叢范疇中的高階剛性子范疇和高階叢傾斜子范疇分類);氐浇(jīng)典叢范疇中,該結(jié)論包含了m=1時(shí)經(jīng)典叢范疇中扭對(duì)分類的結(jié)果。第6章重點(diǎn)介紹A型叢范疇。我們研究A型叢范疇的幾何模型,在其幾何模型上定義A型的Ptolemy圖,利用該幾何模型,給出A型叢范疇上余扭對(duì)的完全分類。利用該結(jié)論,得到了A型叢范疇中函子有限子范疇、叢傾斜子范疇和t結(jié)構(gòu)以及t結(jié)構(gòu)heart的分類。第7章給出離散型D型無(wú)窮叢范疇的幾何模型,以及包含n個(gè)極限點(diǎn)的D型無(wú)窮叢范疇和完備化的D型無(wú)窮叢范疇的實(shí)現(xiàn),考慮了D型無(wú)窮叢范疇中弱叢傾斜子范疇的幾何刻畫(huà),為研究離散型D型無(wú)窮叢范疇中扭對(duì)的分類及其應(yīng)用提供可行性分析。最后,給出了一個(gè)弱叢結(jié)構(gòu)的猜想,留給感興趣的讀者。第8章總結(jié)了三角范疇中Grothendieck群常見(jiàn)的計(jì)算方法,與扭對(duì)分類之間的關(guān)系,利用叢傾斜子范疇計(jì)算Grothendieck群的技巧等。給出有限叢范疇,包括A型、D型和E型的Grothendieck群,高階叢范疇包括A型和D型的Grothendieck群,以及A型無(wú)窮叢范疇Grothendieck群的計(jì)算。第9章總結(jié)了前面的主要工作,對(duì)于目前的研究趨勢(shì)進(jìn)行了展望。對(duì)于三角范疇中扭對(duì)分類的研究,正在向無(wú)窮方向發(fā)展:一方面是將無(wú)窮Dynkin型叢范疇得以實(shí)現(xiàn),并研究其相關(guān)代數(shù)和幾何性質(zhì);另一方面是將無(wú)窮叢范疇一般化,研究高階無(wú)窮叢范疇的代數(shù)性質(zhì)和幾何結(jié)構(gòu)。未來(lái)在這些無(wú)窮叢范疇的研究中,扭理論可能發(fā)揮著重要的作用。本書(shū)是作者在近幾年科研工作和博士研究的基礎(chǔ)上編寫(xiě)而成的,感謝國(guó)家開(kāi)放大學(xué)的支持和博士生導(dǎo)師朱彬教授的指導(dǎo)和幫助。由于作者水平有限,時(shí)間緊張,書(shū)中難免出現(xiàn)疏漏,希望讀者提出寶貴的意見(jiàn),甚為感謝。著者2023年5月
2011年畢業(yè)于河北師范大學(xué),獲理學(xué)學(xué)士學(xué)位;2014年畢業(yè)于北京師范大學(xué),獲理學(xué)碩士學(xué)位;2017年畢業(yè)于清華大學(xué),獲理學(xué)博士學(xué)位。1. Huimin Chang. Relatively Gorenstein-projective modules. 數(shù)學(xué)進(jìn)展,46(5),2017.2. Huimin Chang. Cluster Structures in 2-Calabi-Yau Triangulated Categories of Dynkin Type with Maximal Rigid Objects,Acta Mathematica Sinica, English Series,33(12), 16931704 (2017). 3. Huimin Chang,Yu Zhou, Bin Zhu. Cotorsion pairs in cluster categories of type A , Journal of Combinatorial Theory (Series A), 156, 119141 (2018).4. Huimin Chang, Bin Zhu. Torsion pairs in finite 2-Calabi-Yau triangulated categories with maximal rigid objects, Communications in Algebra, 47(7),2810-2832(2019).5. Huimin Chang, Bin Zhu. Ptolemy diagrams and cotorsion pairs in m-cluster categories of type A. To appear in J. Alg. and its Applications.參編《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分》和《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》,國(guó)家開(kāi)放大學(xué)出版社
第1章扭理論簡(jiǎn)介(1)
1.1研究背景和研究意義(1)
1.2研究?jī)?nèi)容(3)
1.2.1有限2CalabiYau三角范疇(3)
1.2.2高階叢范疇(4)
1.2.3無(wú)窮叢范疇(5)
第2章預(yù)備知識(shí)(7)
2.1三角范疇(7)
2.1.1加法范疇和阿貝爾范疇(7)
2.1.2三角范疇的定義(9)
2.1.3AR箭圖(10)
2.2扭理論(12)
2.3叢結(jié)構(gòu)(15)
2.4叢范疇(17)
2.4.1An型叢范疇(18)
2.4.2Dn型叢范疇(19)
2.4.3A型叢范疇(22)
2.4.4A型叢范疇(24)
2.4.5含n個(gè)極限點(diǎn)的A型叢范疇(28)
2.5高階叢范疇(31)
2.5.1A型高階叢范疇(32)
2.5.2D型高階叢范疇(32)
2.5.3E型高階叢范疇(32)
第3章有限2CalabiYau三角范疇中的扭理論(34)
3.1An,t中扭對(duì)的分類(35)
3.1.1An,t中扭對(duì)的幾何描述(35)
3.1.2t>1時(shí)An,t中的扭對(duì)(38)
3.1.3An,1中的扭對(duì)(42)
3.2Dn,t中扭對(duì)的分類(45)
3.2.1Dn,t中扭對(duì)的幾何刻畫(huà)(45)
3.2.2t>1時(shí)Dn,t中的扭對(duì)(46)
3.2.3Dn,1中的扭對(duì)(48)
3.2.4Dn,t中扭對(duì)的個(gè)數(shù)(50)
3.3有限2CY三角范疇中扭對(duì)分類的應(yīng)用(52)
3.3.1有限2CY三角范疇中扭對(duì)的heart(52)
3.3.2有限2CY三角范疇中的叢結(jié)構(gòu)(54)
第4章高階叢范疇中的扭理論(59)
4.1A型高階叢范疇(59)
4.1.1An-1型的m叢范疇的幾何模型(59)
4.1.2An-1型的m叢范疇中的余扭對(duì)(62)
4.2D型高階叢范疇(67)
4.2.1Dn型的m叢范疇的幾何模型(68)
4.2.2Dn型的m叢范疇中的扭對(duì)(72)
第5章高階叢范疇中扭對(duì)分類的應(yīng)用(83)
5.1m剛性子范疇和m叢傾斜子范疇(A型)(83)
5.2余扭對(duì)和經(jīng)典叢范疇中余扭對(duì)的關(guān)系(A型)(84)
5.3m剛性子范疇和m叢傾斜子范疇(D型)(85)
5.4扭對(duì)和經(jīng)典叢范疇中扭對(duì)的關(guān)系(D型)(86)
5.5例子(A型)(86)
第6章A型叢范疇中的扭理論(89)
6.1A型無(wú)窮叢范疇(89)
6.1.1Ptolemy圖的定義(89)
6.1.2Ptolemy圖的例子(89)
6.2余扭對(duì)的分類(91)
6.2.1主定理(91)
6.2.2與主定理相關(guān)的結(jié)論(92)
6.2.3主定理的證明(99)
6.3余扭對(duì)分類的應(yīng)用(101)
6.3.1函子有限子范疇和叢傾斜子范疇的分類(101)
6.3.2t結(jié)構(gòu)的分類(102)
6.3.3t結(jié)構(gòu)heart的分類(104)
第7章D型無(wú)窮叢范疇(105)
7.1帶標(biāo)記點(diǎn)的gon(105)
7.2D型無(wú)窮叢范疇的實(shí)現(xiàn)(109)
第8章Grothendieck群(111)
8.1有限叢范疇的Grothendieck群(111)
8.2高階叢范疇的Grothendieck群(112)
8.2.1A型高階叢范疇的Grothendieck群(114)
8.2.2D型高階叢范疇的Grothendieck群(118)
8.3無(wú)窮叢范疇的Grothendieck群(123)
第9章總結(jié)與展望(128)
9.1總結(jié)(128)
9.1.1構(gòu)造阿貝爾商范疇(129)
9.1.2分類剛性子范疇和叢傾斜子范疇(129)
9.1.3分類t結(jié)構(gòu)(130)
9.2展望(131)
9.2.1無(wú)窮叢范疇(131)
9.2.2完備化的無(wú)窮叢范疇(132)
9.2.3高階無(wú)窮叢范疇(132)
參考文獻(xiàn)(134)
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