本書在充分貫徹新課標(biāo)要求的基礎(chǔ)上，注重理論與實踐相結(jié)合，力求語言精練，內(nèi)容實用，且實例的操作步驟中配有對應(yīng)的圖示，易學(xué)易用。希望通過本書的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠增強信息意識，樹立正確的信息社會價值觀和責(zé)任感，提高計算思維能力，為職業(yè)發(fā)展、終身學(xué)習(xí)和服務(wù)社會奠定基礎(chǔ)。

“滿分線性代數(shù)”是為考研學(xué)子精心打造的一門線上課程，“滿分”一詞的意義在于打消學(xué)生們的心理負擔(dān)，增強學(xué)生們的學(xué)習(xí)信心。學(xué)完該課程，學(xué)生們不僅能掌握線性代數(shù)的基本知識，而且能夠達到融會貫通的高階性水平。該課程一方面要求學(xué)生達到“滿分”，另一方面也獲得了學(xué)生給出的“滿分”評價（該課程在中國大學(xué)MOOC平臺獲得5星級評價），此外，該課程在b站的播放量高達354萬，得到廣大學(xué)員的高度好評。 本書是該課程的配套教材。本書參照教育部考試中心最新頒布的碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試大綱編寫而成，對數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三的考生具有普適性。針對準(zhǔn)備參加2024年研究生入學(xué)考試的學(xué)生，本書第二版特別添加了2021、2022及2023年考研數(shù)學(xué)真題，這些真題分散于各章。該書具有以下特色： （1） 特別適合參加研究生入學(xué)考試的同學(xué)復(fù)習(xí)使用； （2） 特別適合零基礎(chǔ)學(xué)生自學(xué)使用； （3） 包含100個精細的考研知識點（參照教育部2023年考研大綱）； （4） 深度剖析經(jīng)典例題，每一個例題都包括思路、解題過程、評注，有的例題針對解題技巧和關(guān)鍵結(jié)論還給出了解題秘籍； （5） 精選習(xí)題包含了近20年的考研真題； （6） 提供了包含基本概念、典型例題、精選習(xí)題等330個教學(xué)講解視頻。 另外，為了更好地幫助同學(xué)們進行考研復(fù)習(xí)，教學(xué)團隊開設(shè)了微信公眾號：楊威滿分線性代數(shù)，同學(xué)們可以在公眾號里獲得最新的考研線性代數(shù)學(xué)習(xí)資料。 微信公眾號：楊威滿分線性代數(shù) 最后，衷心祝福廣大考研學(xué)子成功上岸！ 編著者 2023年1月

第一章 矩陣及其運算 1 1.1 矩陣的概念 1 1.2 矩陣的運算初步 2 1.3 矩陣乘法運算的特點 3 1.4 矩陣乘法運算的規(guī)律 4 1.5 線性方程組和線性變換的矩陣表示 5 1.6 易錯公式討論 5 1.7 矩陣的轉(zhuǎn)置 6 1.8 矩陣的逆 7 1.9 矩陣逆運算的規(guī)律 7 1.10 分塊矩陣 8 1.11 初等變換 9 1.12 初等矩陣 10 1.13 典型例題分析 11 習(xí)題 19 第二章 行列式 23 2.1 二階和三階行列式 23 2.2 n階行列式 24 2.3 簡單行列式的計算 25 2.4 行列式的性質(zhì) 27 2.5 行列式按行（列）展開 28 2.6 矩陣的行列式公式 29 2.7 伴隨矩陣 30 2.8 克萊姆法則 31 2.9 特殊行列式的計算 32 2.10 對角（副對角）矩陣相關(guān)公式 35 2.11 分塊對角（副對角）矩陣相關(guān)公式 36 2.12 矩陣運算規(guī)律 36 2.13 矩陣八類運算公式歸納 37 2.14 典型例題分析 39 習(xí)題 53 第三章 矩陣的秩與線性方程組 57 3.1 矩陣秩的定義 57 3.2 矩陣秩的求法 58 3.3 矩陣秩的性質(zhì) 59 3.4 利用初等行變換解線性方程組 60 3.5 利用初等行變換解非齊次線性方程組舉例 61 3.6 線性方程組解的判定 61 3.7 典型例題分析 62 習(xí)題 66 第四章 向量組的線性相關(guān)性 69 4.1 向量與向量組的概念 69 4.2 向量組間的線性表示 70 4.3 線性方程組的五種表示方法 70 4.4 用方程組的向量表示形式來分析線性方程組 72 4.5 向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義 72 4.6 向量組線性相關(guān)性與齊次線性方程組 73 4.7 向量組線性相關(guān)性的形象理解 73 4.8 特殊向量組的線性相關(guān)性 74 4.9 向量組的部分與整體定理 75 4.10 向量組的延伸與縮短 75 4.11 一個向量與一個向量組定理 76 4.12 向量組的極大線性無關(guān)組及秩 77 4.13 向量組的秩與向量的個數(shù) 78 4.14 “三秩相等”定理 78 4.15 向量組的等價 79 4.16 向量組間的線性表示與秩的定理 79 4.17 向量組的“緊湊性”與“臃腫性” 80 4.18 向量組的秩和極大無關(guān)組的求解 81 4.19 向量空間的定義（僅數(shù)學(xué)一要求） 81 4.20 向量空間的基與維數(shù) （僅數(shù)學(xué)一要求） 82 4.21 n維實向量空間Rn （僅數(shù)學(xué)一要求） 82 4.22 向量在基下的坐標(biāo) （僅數(shù)學(xué)一要求） 83 4.23 過渡矩陣 （僅數(shù)學(xué)一要求） 83 4.24 向量的內(nèi)積 84 4.25 向量的長度 84 4.26 向量的夾角 85 4.27 正交矩陣 86 4.28 解向量與自由變量 87 4.29 齊次線性方程組解向量的性質(zhì) 87 4.30 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解 88 4.31 解空間（僅數(shù)學(xué)一要求） 89 4.32 非齊次線性方程組解的性質(zhì) 89 4.33 非齊次線性方程組的通解 90 4.34 典型例題分析 90 習(xí)題 106 第五章 相似矩陣與二次型 111 5.1 特征值與特征向量 111 5.2 特征值及特征向量的求解 111 5.3 特征值的性質(zhì)及定理 112 5.4 實對稱矩陣的特征值與特征向量 115 5.5 相似矩陣的定義及性質(zhì) 115 5.6 矩陣的相似對角化 116 5.7 矩陣相似對角化舉例 117 5.8 二次型的概念 119 5.9 矩陣的合同 119 5.10 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及規(guī)范形 120 5.11 正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 120 5.12 配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 122 5.13 慣性定理 124 5.14 正定的定義及性質(zhì) 124 5.15 等價、相似和合同的判定與關(guān)系 125 5.16 典型例題分析 126 習(xí)題 149 附錄 154 附錄A 易錯與易混淆的問題 154 附錄B 思維導(dǎo)圖 162 附錄C 各章習(xí)題參考答案 168 參考文獻 175