前　言
微分幾何是應用微積分的理論研究空間幾何問題的數學分支,它以微積分作為主要工具研究平面和空間中曲線、曲面的幾何性質.微分幾何課程是數學類本科生在學完解析幾何、高等代數和數學分析等基礎課程后開設的一門綜合性課程,也是重要的專業(yè)課之一.微分幾何課程的內容是經典的,但它所蘊含的數學思想和方法,以及運用數學基礎知識解決問題的方法,對于培養(yǎng)全面的數學人才是十分重要的.
本書選取了微分幾何課程中的20個教學知識點,通過“問題提出、問題分析、知識構建、問題解決、應用拓展”的教學模式,對課堂教學行為進行了精心設計,力圖增強學生對概念的直觀認識和對抽象內容的理解,增加課程的趣味性,激發(fā)學生的學習興趣,幫助學生在學習的過程中體會科學研究的規(guī)律、感受數學思維在科學研究中的指導性和重要性.最終提高教學質量和教學效果.
本書融合了編寫團隊參加全國高校青年教師教學競賽的備賽成果,也是編寫團隊多年教學經驗的總結.主編劉白羽以本書為基本素材于2020年參加了第五屆全國高校青年教師教學競賽,并獲得理科組一等獎.
編者特別感謝曹麗梅、李博通、何洋、傅雙雙、張林桐等多位老師在本書的編寫過程中提供的幫助.
本書是北京市教育工會授予的“北京高校青年教師示范教研工作室”的建設內容之一,感謝北京市教育工會的資助和北京科技大學工會、教務處的支持.
由于編者水平有限,本書錯漏之處在所難免,懇請讀者不吝指正.
編　者
教學設計總論
一、課程的一般信息
1.基本信息
課程名稱:微分幾何.
課程類別:數學專業(yè)必修課.
教學學時:48學時.
授課對象:數學專業(yè)大三本科學生.
先修課程:數學分析、高等代數、解析幾何、常微分方程.
2.課程簡介
“微分幾何”是應用微積分的理論研究空間幾何問題的數學分支,是數學類本科生在學完解析幾何、高等代數和數學分析等基礎課程后開設的一門綜合性課程,也是重要的專業(yè)課之一,對培養(yǎng)學生的空間想象能力和直覺能力都有很大的作用.它以微積分作為主要工具研究平面和空間中的曲線、曲面的局部及整體幾何性質,在研究的過程中理解并挖掘微積分的相關內容,培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力.通過“數”與“形”的有機結合,幫助學生架起由初等幾何通往現代微分幾何的橋梁.隨著計算機科學的迅速發(fā)展,大批功能強大的數學軟件涌現出來,經典理論和現代信息技術的結合為這門課程注入了新的活力,使其在自然科學和工程技術的各個領域得到了越來越廣泛的應用.
3.主要內容
“微分幾何”課程的主要內容由曲線論、曲面論和整體微分幾何初步三部分組成.本課程先介紹曲線或曲面的局部性質,這部分在講解基本概念、基本理論和基本方法的基礎上,著重于基本思維方法的訓練,培養(yǎng)學生思維的抽象性、邏輯性和嚴謹性.后續(xù)的整體微分幾何初步的內容是以局部性質為基礎來研究曲線和曲面的整體性質,進一步培養(yǎng)學生的抽象思維能力和邏輯推理的能力.
本課程的重點是空間曲線和曲面論的基本概念、技巧、方法和理論.本課程的難點是抽象性及其用微積分解決幾何問題的方法.
4.教學意義
“微分幾何”課程是數學類本科生在學完數學專業(yè)基礎課程后開設的一門綜合性課程,是后續(xù)學習“微分流形”“黎曼幾何”等課程的先修課程,也是在各個學科領域中進行理論研究和實踐工作的必要且重要的基礎課程.
微分幾何的教學能夠培養(yǎng)學生的幾何直觀和空間想象能力,提高學生運用數學分析、代數等工具來研究、解決幾何問題的能力,使學生初步接觸到現代幾何的思想和方法,為進一步學習現代數學及應用打下基礎.特別是微分幾何中應用部分的教學、微分幾何中概念的實際背景的教學,能夠幫助學生了解微分幾何的實際應用,培養(yǎng)學生理論聯系實際的能力,從而提高學生應用數學的意識和綜合能力,為自覺地應用數學思想和數學知識解決專業(yè)中的問題和以后的學習、工作打下基礎.
二、學生的特點分析
1.知識基礎
本課程的對象為數學專業(yè)大三本科學生,他們通過前兩年對數學專業(yè)課程的學習,完成了從中學到大學的過渡,并已掌握了必要的數學方法,具備了一定的數學思想和素養(yǎng).本課程的先修課程為數學分析、高等代數、解析幾何以及常微分方程.
2.認知特點和學習風格
通過兩年大學的學習和生活,大三的學生既具備了學習的心理條件又有較為充分的深入學習的心理準備,他們的學習興趣和學習熱情處于全盛時期,獨立學習能力日益增強,這一階段的學生對于所學理論知識如何應用于實際產生了濃厚的興趣,學以致用的意識不斷增強,學習的專業(yè)要求進一步明確,學生的專業(yè)方向逐步明晰,因此在授課過程中要根據數學專業(yè)學生的課程發(fā)展需求,有意識地進行引導,如“是否存在完美的世界地圖”與如何度量曲面彎曲程度的問題、肥皂膜實驗與極小曲面問題、從平面上的Crofton公式擴展到球面上的Crofton公式等.為激發(fā)學生的學習主動性和學習熱情,在課堂教學中應注重理論應用部分的展示,通過貼近生活的實際應用案例,幫助學生深刻理解相關理論,深化“數”與“形”的有機結合,開闊學生視野,真正達到“學以致用”的目的.
三、教學進程設計
1.教學手段與教學模式
1)教學手段:動態(tài)多媒體課件、數學軟件作圖、教具,板書和講解有機結合,將抽象思維同形