目錄

第1章 矩陣理論基礎(chǔ) 1
1.1 矩陣的初等變換 1
1.1.1 矩陣的初等變換的概念 1
1.1.2 初等矩陣 2
1.1.3 利用初等變換求矩陣逆的方法 3
1.2 分塊矩陣 5
1.2.1 分塊矩陣的概念 5
1.2.2 分塊矩陣的運算 6
1.2.3 分塊對角矩陣 7
1.3 矩陣的特殊乘積 9
1.3.1 Kronecker積 9
1.3.2 Hadamard積 11
1.4 矩陣的特征值與特征向量 13
1.5 矩陣可對角化的條件 16
1.5.1 相似對角化 16
1.5.2 酉相似對角化 20
習題1 23
第2章 線性空間與線性變換 26
2.1 線性空間 26
2.1.1 線性空間的概念與性質(zhì) 26
2.1.2 向量組的線性相關(guān)性 28
2.1.3 基、維數(shù)與坐標 29
2.1.4 基變換與坐標變換 31
2.2 線性子空間 34
2.2.1 線性子空間的概念 34
2.2.2 子空間的交與和 37
2.2.3 子空間的直和 39
2.3 線性變換 41
2.3.1 線性變換的概念 41
2.3.2 線性變換的運算 42
2.3.3 線性變換的矩陣表示 44
2.4 線性變換的值域、核及不變子空間 49
2.4.1 線性變換的值域與核 49
2.4.2 線性變換的不變子空間 50
2.5 線性空間的同構(gòu) 51
2.6 內(nèi)積空間 52
2.6.1 內(nèi)積空間的基本概念 53
2.6.2 標準正交基 55
2.6.3 正交子空間 58
2.6.4 正交變換與酉變換 60
2.6.5 向量到子空間的距離與最小二乘法 61
習題2 63
第3章 范數(shù)理論 66
3.1 向量范數(shù) 66
3.1.1 向量范數(shù)的概念與性質(zhì) 66
3.1.2 向量范數(shù)的連續(xù)性與等價性 69
3.2 矩陣范數(shù) 70
3.2.1 矩陣范數(shù)的概念與性質(zhì) 70
3.2.2 矩陣的算子范數(shù) 73
習題3 76
第4章 矩陣的Jordan標準型 77
4.1 線性變換的特征值與特征向量 77
4.1.1 特征值與特征向量 77
4.1.2 特征子空間 79
4.2 矩陣 80
4.2.1 矩陣的概念 80
4.2.2 矩陣的初等變換與等價 81
4.2.3 矩陣的Smith標準型 83
4.3 不變因子與初等因子 85
4.3.1 矩陣的行列式因子 85
4.3.2 矩陣的不變因子與初等因子 87
4.4 數(shù)字矩陣的Jordan標準型 89
4.4.1 矩陣相似的條件 90
4.4.2 Jordan標準型及其計算 91
4.4.3 變換矩陣 95
4.5 凱萊-哈密頓定理與矩陣的最小多項式 97
4.5.1 凱萊-哈密頓定理 97
4.5.2 矩陣的最小多項式 99
習題4 105
第5章 矩陣分析 108
5.1 矩陣序列與矩陣級數(shù) 108
5.1.1 向量序列與矩陣序列 108
5.1.2 矩陣級數(shù) 112
5.1.3 矩陣冪級數(shù) 114
5.2 矩陣函數(shù) 117
5.2.1 矩陣函數(shù)的定義 117
5.2.2 矩陣函數(shù)的計算 120
5.3 函數(shù)矩陣 125
5.3.1 函數(shù)矩陣的微分與積分 125
5.3.2 數(shù)量函數(shù)對矩陣變量的導數(shù) 127
5.3.3 函數(shù)矩陣對矩陣變量的導數(shù) 129
5.4 矩陣分析的應(yīng)用 132
5.4.1 一階常系數(shù)線性微分方程組 132
5.4.2 n階常系數(shù)線性微分方程 135
習題5 138
第6章 矩陣分解 141
6.1 矩陣的三角分解 141
6.1.1 Gauss消元法的矩陣表述 141
6.1.2 矩陣的三角分解 143
6.1.3 分塊矩陣的三角分解 146
6.2 矩陣的滿秩分解 147
6.2.1 矩陣的滿秩分解 147
6.2.2 用矩陣行最簡形求滿秩分解 149
6.2.3 行滿秩矩陣或列滿秩矩陣的性質(zhì) 150
6.2.4 長方矩陣的左、右逆 151
6.3 矩陣的QR分解 152
6.3.1 用Schmidt正交代求矩陣的QR分解 152
6.3.2* 用初等旋轉(zhuǎn)矩陣求矩陣的QR分解 155
6.3.3* 用初等反射矩陣求矩陣的QR分解 158
6.4 矩陣的奇異值分解 161
習題6 166
第7章 矩陣的廣義逆 168
7.1 廣義逆矩陣的基本概念 168
7.2 減號逆 169
7.2.1 減號逆 的定義及性質(zhì) 169
7.2.2 的計算 170
7.3 加號逆 173
7.3.1 加號逆 的定義及性質(zhì) 173
7.3.2 的計算 175
7.4 兩種廣義逆在解線性方程組中的應(yīng)用 179
7.4.1 線性方程組的求解問題 179
7.4.2 相容線性方程組的通解與減號逆 179
7.4.3 矛盾方程組的求解問題與加號逆 181
習題7 183
參考文獻 185