幾何力學作為基于動力學系統(tǒng)的對稱性（或對稱性破缺）與保守（或非保守）性質之間映射關系的新興學科，主要任務是發(fā)展盡可能多地保持動力學系統(tǒng)的固有（保守或非保守）性質的數(shù)值方法。

1687年，隨著《自然哲學的數(shù)學原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica）一書的出版，牛頓力學宣告誕生，其最重要的貢獻之一是建立了力與運動之間微分形式的解析關系。之后，拉格朗日力學和哈密頓力學兩個基本框架相繼為動力學問題的描述提供了新的描述范式。在拉格朗日力學框架下，動力學系統(tǒng)優(yōu)美的數(shù)學對稱性被忽略了，因此，以拉格朗日力學為基礎發(fā)展的數(shù)值方法不具備保結構特性。在動力學系統(tǒng)中引入對偶變量，可將動力學系統(tǒng)在哈密頓規(guī)范形式下進行重新表述。從根本上說，牛頓力學在拉格朗日框架和哈密頓框架中的數(shù)學表達是完全等價的。但正如馮康先生所理解的，對于同一個動力學問題，由等價的數(shù)學表述形式得到的分析結果并不一定完全等價。

長期以來，經(jīng)典的數(shù)值方法，無論是著名數(shù)學家歐拉（Leonhard Euler）提出的歐拉差分格式，還是計算數(shù)學中廣泛使用的龍格�矌焖�（Runge�睰utta）法，共同的目標都是提高數(shù)值方法的精度。然而在這個過程中，數(shù)學模型所描述的力學系統(tǒng)的幾何特性卻被忽略了。從根本上講，描述動力學系統(tǒng)的微分方程是連續(xù)的，而其數(shù)值方法對應的系統(tǒng)是離散的�；�于此觀點，數(shù)值模擬理應在力學系統(tǒng)的同一幾何框架下進行，并盡可能地保持原力學系統(tǒng)的定性性質，以提高數(shù)值解的長期數(shù)值穩(wěn)定性。

在忽略所有耗散效應的情況下，一切物理過程都可以表述為能量守恒的哈密頓形式。這一結論的提出，一方面哈密頓力學的重要地位得到了提升； 另一方面也對哈密頓系統(tǒng)的數(shù)值分析提出了更高的要求，即對哈密頓系統(tǒng)的數(shù)值分析結果應能夠再現(xiàn)其幾何性質，包括第一積分、辛結構以及能量守恒定律。20世紀80年代，馮康提出了有限維哈密頓系統(tǒng)的辛方法，開創(chuàng)了計算幾何力學(又稱為保結構方法)。在過去的半個世紀里，辛方法的保結構特性已經(jīng)被許多研究者所報道。為了研究連續(xù)力學系統(tǒng)的局部動力學行為，Thomas J.Bridges和Jerrold E.Marsden將有限維哈密頓系統(tǒng)的辛方法推廣至無限維哈密頓系統(tǒng)的多辛方法。其重要貢獻在于，對無限維哈密頓系統(tǒng)構造了時空聯(lián)合辛結構，稱為多辛結構； 并證明了在保持多辛結構的情況下，數(shù)值分析可以很好地再現(xiàn)無限維哈密頓系統(tǒng)的局部動力學行為。

回顧哈密頓系統(tǒng)的定義不難發(fā)現(xiàn)，哈密頓力學的局限性在于忽視了力學系統(tǒng)的耗散效應，這意味著基于哈密頓系統(tǒng)的分析方法不能用于解決實際工程中存在各種耗散效應的力學問題�；�于此，本書作者提出了廣義多辛框架來解決這一問題，這正是本書的主要理論貢獻。廣義多辛理論框架在幾何力學和工程問題之間架起了一座橋梁，基于這一紐帶，本書介紹了大量廣義多辛分析方法在實際工程問題中的應用實例。

本書章節(jié)結構如下。第1章簡要介紹了幾何力學的起源和發(fā)展。第2章介紹了辛方法的數(shù)學基礎和幾個辛方法的例子。第3章中回顧了多辛理論，并介紹了多辛方法在無限維哈密頓系統(tǒng)中的若干應用。第4章將保守系統(tǒng)保結構思想推廣到非保守系統(tǒng)，介紹了廣義多辛積分方法及其在波傳播問題中的應用。第5~7章介紹了保結構方法，包括辛方法、多辛方法、廣義多辛方法和復合保結構方法在沖擊動力學問題、微/納米動力學系統(tǒng)和航天動力學系統(tǒng)中的應用。當然，限于篇幅，本書并未包含幾何力學的全部理論和應用。

本書的主要內容是基于作者團隊近20年的研究成果整理而成。為使本書的內容更加系統(tǒng)，本書對其他著作和論文闡述的幾何力學相關基礎知識也進行了綜述。需要說明的是，雖然在與本書相關的論文中，中國兵器科學研究院肖川研究員未被列為合著者，但為了感謝他在將保結構方法應用于沖擊動力學問題方面的重要貢獻，將他列為本書的合著者。

感謝大連理工大學鐘萬勰院士、浙江大學朱位秋院士、德國錫根大學張傳增院士、中國科學院崔俊芝院士、利物浦大學歐陽華江教授、加拿大英屬哥倫比亞大學James J.Feng教授、英國薩里大學Thomas J.Bridges教授、美國圣澤維爾大學Abdul�睲ajid Wazwaz教授、清華大學馮西橋教授、香港城市大學林志華教授、美國得克薩斯大學里約熱內盧格蘭德谷分校喬志軍教授、大連理工大學彭海軍教授、河北經(jīng)貿(mào)大學王崗偉博士、日本慶應大學彭林玉博士和美國中佛羅里達大學Brian Moore博士在本書的編寫工作中給予的無私幫助。

本書的出版受到西安理工大學西北旱區(qū)生態(tài)水利國家重點實驗室資助。同時感謝國家自然科學基金(12172281、11972284、11672241、11432010、11872303、11372253、11002115)、陜西省杰出青年科學基金(2019JC��29)、軍科委基礎加強計劃173基金(2021�睯CJQ�睯J��0565)、陜西省科技創(chuàng)新團隊(2022TD��61)和陜西高校青年教師創(chuàng)新團隊的資助。

特別感謝陜西省科技創(chuàng)新團隊(先進設備關鍵動力學與控制)和陜西高校青年教師創(chuàng)新團隊(空間太陽能電站動力學與控制)成員在本書的出版中做出的貢獻。謹向師俊平教授、曹小杉教授、胡義鋒副教授、張帆副教授、王震博士、徐萌波博士、淮雨露博士、惠小健博士、章培軍博士和團隊所有同學表示衷心的感謝，謝謝大家無私的幫助和鼓勵。

限于作者的知識，書中的錯漏之處難以避免，其錯漏之處將在以后的工作中得以訂正。

西安理工大學胡偉鵬

中國兵器科學研究院肖川

西北工業(yè)大學鄧子辰

中國西安

2022年1月