目錄
前言
第1章 實數(shù)與函數(shù) 1
1.1 集合 1
1.2 映射 3
1.2.1 映射概念 3
1.2.2 映射分類 3
1.2.3 集合的勢 4
1.3 實數(shù) 4
1.3.1 實數(shù)的產(chǎn)生 4
1.3.2 無理數(shù)逼近 5
1.3.3 公理化定義 7
1.3.4 基本實數(shù)子集 8
1.3.5 區(qū)間和鄰域 14
1.3.6 確界原理 15
1.4 函數(shù) 18
1.4.1 函數(shù)概念 18
1.4.2 四則運算 19
1.4.3 反函數(shù) 19
1.4.4 復(fù)合函數(shù) 20
1.5 函數(shù)的簡單分類 21
1.5.1 初等函數(shù) 21
1.5.2 其他函數(shù) 23
1.6 函數(shù)的某些特征 25
1.6.1 單調(diào)性 25
1.6.2 有界性 26
1.6.3 奇偶性 26
1.6.4 周期性 27
第2章 數(shù)列極限 28
2.1 數(shù)列極限概念及性質(zhì) 28
2.1.1 數(shù)列極限概念 28
2.1.2 數(shù)列極限性質(zhì) 31
2.1.3 兩個判別方法 34
2.1.4 數(shù)列上（下）極限 41
2.2 實數(shù)域的基本性質(zhì) 50
2.2.1 閉區(qū)間套定理 50
2.2.2 緊致性定理 51
2.2.3 柯西收斂準(zhǔn)則 52
2.2.4 有限覆蓋定理 53
2.2.5 基本性質(zhì)等價 54
2.3 數(shù)項級數(shù) 58
2.3.1 數(shù)項級數(shù)概念和性質(zhì) 58
2.3.2 正項級數(shù)收斂判別法 62
2.3.3 一般級數(shù)收斂判別法 72
2.3.4 絕對和條件收斂級數(shù) 79
第3章 函數(shù)極限 85
3.1 函數(shù)極限概念.85
3.2 函數(shù)極限性質(zhì).93
3.3 兩個判別定理.95
3.4 函數(shù)上（下）極限 100
3.5 無窮�。ù螅┝� 103
3.5.1 無窮小（大）量概念 103
3.5.2 無窮小量階的比較 103
3.5.3 無窮小量計算極限 104
第4章 連續(xù)函數(shù) 108
4.1 連續(xù)函數(shù)的概念 108
4.1.1 連續(xù)函數(shù)的定義 108
4.1.2 間斷點及其分類 110
4.2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 113
4.2.1 連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 113
4.2.2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì) 115
4.2.3 有界區(qū)間上一致連續(xù)性 121
第5章 一元函數(shù)微分學(xué) 127
5.1 導(dǎo)數(shù)的概念 127
5.1.1 導(dǎo)數(shù)及單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義 127
5.1.2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 130
5.2 導(dǎo)數(shù)的運算 133
5.2.1 導(dǎo)數(shù)四則運算 133
5.2.2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 134
5.2.3 隱函數(shù)求導(dǎo)法 137
5.2.4 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 137
5.3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 139
5.3.1 確定曲線的切線 139
5.3.2 應(yīng)用于實際問題 143
5.4 高階導(dǎo)數(shù) 149
5.4.1 高階導(dǎo)數(shù)及運算 149
5.4.2 求高階導(dǎo)數(shù)技巧 151
5.5 微分.155
5.5.1 微分概念和運算 155
5.5.2 應(yīng)用于近似計算 158
5.5.3 高階微分 159
第6章 微分中值定理及泰勒公式 162
6.1 微分中值定理 162
6.2 洛必達法則 173
6.3 泰勒公式 181
6.3.1 佩亞諾型 182
6.3.2 拉格朗日型 187
6.3.3 典型應(yīng)用 192
第7章 函數(shù)性質(zhì)分析的導(dǎo)數(shù)方法 197
7.1 函數(shù)的局部極值 197
7.2 函數(shù)的全局最值 201
7.2.1 基本求法 201
7.2.2 實際應(yīng)用 202
7.2.3 建立不等式 206
7.3 函數(shù)的凸性 210
7.3.1 凸函數(shù)的概念 210
7.3.2 凸函數(shù)的性質(zhì) 215
7.4 函數(shù)的近似圖像 222
7.4.1 函數(shù)的漸近線 222
7.4.2 近似圖像制作 224
7.5 方程解的圖像 229
7.5.1 簡單自治微分方程解圖像 229
7.5.2 源于實際的自治微分方程 232
7.6 方程的近似解——牛頓法簡介 237
第8章 微分逆運算 241
8.1 不定積分概念和性質(zhì) 241
8.1.1 原函數(shù) 241
8.1.2 不定積分 242
8.2 不定積分的三種求法 245
8.2.1 湊微分法 245
8.2.2 變量替換法 247
8.2.3 分部積分法 251
8.3 特殊函數(shù)的不定積分 255
8.3.1 有理分式 255
8.3.2 三角有理式 262
8.3.3 簡單無理式 263
8.4 求解簡單的微分方程 266
8.4.1 可變量分離方程 268
8.4.2 一階常微分方程 270
8.4.3 熱方程 271
第9章 一元函數(shù)積分學(xué) 274
9.1 定積分的概念 274
9.2 定積分存在的充分必要條件 277
9.2.1 達布上（下）和 277
9.2.2 可積的充分必要條件 279
9.2.3 勒貝格定理 283
9.2.4 可積函數(shù)類 287
9.3 定積分的基本性質(zhì) 289
9.4 牛頓–萊布尼茨公式 299
9.5 換元法和分部積分法309
9.6 積分中值定理及泰勒公式 317
9.6.1 定積分的中值定理 317
9.6.2 積分余項泰勒公式 325
第10章 典型問題的定積分計算 328
10.1 定積分在幾何中的應(yīng)用 328
10.1.1 平面圖形的面積 328
10.1.2 由截面面積求體積 335
10.1.3 曲線的弧長和曲率 338
10.1.4 旋轉(zhuǎn)立體的側(cè)面積 354
10.2 定積分在物理中的應(yīng)用 356
10.2.1 質(zhì)心計算 356
10.2.2 形心計算 358
10.2.3 壓力計算 360
10.2.4 引力計算 361
10.2.5 做功計算 363
10.3 定積分的近似計算 365
10.3.1 一階誤差近似——矩形法 365
10.3.2 二階誤差近似——梯形法 366
10.3.3 三階誤差近似——辛普森法 367
10.3.4 高階誤差近似——高斯-勒讓德積分公式 368
第11章 反常積分.370
11.1 反常積分概念和基本計算 371
11.1.1 無界區(qū)間上的積分 371
11.1.2 無界函數(shù)的積分（瑕積分） 372
11.1.3 反常積分的收斂準(zhǔn)則 374
11.1.4 反常積分的簡單計算 375
11.2 非負(fù)函數(shù)反常積分判別法 380
11.2.1 無界區(qū)間反常積分的比較判別法 380
11.2.2 瑕積分的比較判別法 382
11.3 一般函數(shù)反常積分判別法 389
11.3.1 無界區(qū)間反常積分判別法 389
11.3.2 瑕積分判別法 392
11.4 反常積分與數(shù)項級數(shù)收斂 393
參考文獻 398