本書是以中國科學院大學計算數(shù)學專業(yè)碩士研究生專業(yè)課程“微分方程數(shù)值解II”的講義為基礎編寫的。由于守恒律方程是描述流體力學、聲學、電動力學等眾多學科中廣泛存在的波動和輸運現(xiàn)象的數(shù)理方程，這類方程的數(shù)值計算是研究這些現(xiàn)象的重要途徑。本書的宗旨是介紹雙曲守恒律偏微分方程的一些基本的數(shù)值方法。由于多維問題的計算是以一維方法為基礎，本文著重介紹一維雙曲方程的有限體積法和高分辨率格式及其理論基礎，并簡要介紹近期廣受重視的基本無振蕩方法與加權(quán)基本無振蕩方法以及間斷有限元法。本書參考了Leveque的專著《FiniteVolumeMethodsforHyperbolicProblems》、Fletcher的教科書《ComputationalTechniquesforFluidDynamics》等材料，但為方便讀者自學，本書力求自我完備，深入淺出地講清楚守恒律數(shù)值方法的一些基本內(nèi)容，著闡明基本概念、構(gòu)造計算方法的基本思想和所依據(jù)的理論基礎，強調(diào)計算機實際求解能力。希望讀者通過學習該書，能了解守恒律數(shù)值方法的特點和常見基本方法，能將一些基本方法應用于簡單問題，并能進一步閱讀計算流體力學等相關(guān)學科的研究文獻。
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1) 1989-02 至 1992-12, 北京航空航天大學, 流體力學, 博士
2) 1986-09 至 1989-01, 北京航空航天大學, 空氣動力學, 碩士
3) 1982-09 至 1986-07, 北京航空航天大學, 空氣動力學, 學士1) 1998-07 至今, 中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院計算數(shù)學所研究員
2) 2007-04 至 2007-05, 香港理工大學應用數(shù)學系訪問學者
3) 2006-08至2006-10, 美國康奈爾大學航空工程系訪問學者
4)2003-10 至 2003-12, 香港浸會大學應用數(shù)學系訪問學者
(5) 1999-01至 1999-03, 香港中文大學物理系訪問學者
(6) 1995-12 至 1998-07, 中國科學院力學研究所副研究員
7) 1995-05 至 1995-12, 中國科學院力學研究所助理研究員
8) 1993-02 至 1995-04, 中國科學院力學研究所博士后國家自然科學基金面上項目"用數(shù)值積分矩法求解湍流燃燒的PDF方程的研究
1) 2016.9至今, 《氣體物理》編委(中國科技核心期刊)
2) 2021.12至今, 中國空氣動學會計算空氣動力學專委會委員
目錄
前言
第1章 有限差分法的基礎知識 1
1.1 偏微分方程的差分離散：一個實例 1
1.2 導數(shù)的差分逼近的截斷誤差 3
1.3 導數(shù)的差分逼近的構(gòu)造方法 4
1.3.1 待定系數(shù)法 4
1.3.2 差分算子法 5
1.4 有限差分格式的一般性要求 8
1.4.1 范數(shù) 8
1.4.2 差分格式的相容性 9
1.4.3 差分格式的收斂性 11
1.4.4 差分格式的穩(wěn)定性 11
1.4.5 Lax等價性定理 13
1.5 von Neumann穩(wěn)定性分析方法 14
1.6 差分格式的修正方程 18
習題1 22
第2章 一維雙曲守恒律的數(shù)學性質(zhì) 24
2.1 雙曲型方程簡介 24
2.1.1 雙曲守恒律方程的定義 24
2.1.2 兩個簡單的守恒律示例 26
2.2 流體力學守恒律方程組.28
2.2.1 一維Euler方程 28
2.2.2 等熵流 31
2.2.3 等溫流 32
2.2.4 淺水波方程 32
2.3 特征線、依賴域和影響范圍 33
2.3.1 特征線和特征線法 33
2.3.2 依賴域和影響范圍 38
2.3.3 雙曲守恒律及其數(shù)值方法的特點 38
2.4 弱解和Rankine-Hugoniot條件 39
2.4.1 非光滑初值問題 39
2.4.2 非線性導致的間斷解 40
2.4.3 弱解的概念和弱解滿足的Rankine-Hugoniot條件 42
2.5 熵解和熵條件 46
2.6 一維標量雙曲守恒律熵解的穩(wěn)定性和唯一性 48
2.7 一維標量雙曲守恒律的Riemann問題 50
2.7.1 本質(zhì)非線性Riemann問題的解 51
2.7.2 求解一般情況下Riemann問題的凸包方法 52
2.8 一維雙曲守恒律方程組的Riemann問題 54
2.8.1 線性常系數(shù)雙曲型方程組的Riemann問題 54
2.8.2 非線性雙曲守恒律方程組的Riemann問題 56
習題2 57
第3章 一維雙曲守恒律的經(jīng)典數(shù)值方法 59
3.1 有限體積法的基本形式 59
3.1.1 有限體積法的相容性 61
3.1.2 有限體積法的穩(wěn)定性 61
3.2 守恒律的幾個經(jīng)典格式 62
3.2.1 中心通量格式 63
3.2.2 Lax-Friedrichs格式(1954) 63
3.2.3 Lax-Wendroff格式(1960) 63
3.2.4 Richtmyer兩步Lax-Wendroff格式(1967) 64
3.2.5 MacCormack格式(1969) 65
3.3 迎風格式 65
3.4 雙曲型方程組的Godunov方法 69
3.5 波傳播、通量差分分裂和Roe方法 70
3.5.1 一階Godunov方法的波傳播方法表示 70
3.5.2 通量差分分裂和Roe方法 73
3.6 矢通量分裂方法 74
3.6.1 van Leer分裂 75
3.6.2 AUSM分裂 76
3.7 方程組Riemann問題的其他近似解法 77
3.7.1 HLL 近似Riemann解和數(shù)值通量 77
3.7.2 HLLC 近似Riemann解和數(shù)值通量 80
3.8 邊界條件 83
3.8.1 周期邊界條件 84
3.8.2 對流問題 84
3.8.3 波動問題 86
3.9 一維標量守恒律單調(diào)格式的數(shù)學理論 87
3.9.1 守恒型格式的重要性 87
3.9.2 一些常見的守恒型格式 89
3.9.3 單調(diào)格式的數(shù)學理論 92
習題3 98
第4章 一維雙曲守恒律的高分辨率方法 100
4.1 通量限制器方法 100
4.2 基于斜率限制器的MUSCL格式 105
4.3 推廣的MUSCL格式 108
4.4 TVB格式 112
習題4 113
第5章 一維雙曲守恒律的ENO和WENO方法 115
5.1 基于原函數(shù)的重構(gòu) 115
5.2 ENO重構(gòu) 116
5.3 標量雙曲守恒律的ENO格式 121
5.3.1 有限體積ENO格式 121
5.3.2 有限差分ENO格式 124
5.4 WENO重構(gòu) 126
5.5 標量雙曲守恒律的WENO格式 129
5.5.1 有限體積WENO格式 129
5.5.2 有限差分WENO格式 130
5.6 守恒律方程組的ENO和WENO方法 132
5.7 半離散格式的時間離散方法 133
習題5 134
第6章 雙曲守恒律的間斷有限元方法簡介 136
6.1 一維標量雙曲守恒律的RKDG方法 136
6.1.1 DG空間離散 136
6.1.2 TVD Runge-Kutta時間離散 141
6.1.3 線性情況下的穩(wěn)定性 142
6.1.4 廣義斜率限制器 142
6.2 多維守恒律方程組的RKDG方法 145
6.2.1 方法的數(shù)學描述 145
6.2.2 算法和實施細節(jié) 147
6.3 數(shù)值算例 153
習題6 155
第7章 貼體結(jié)構(gòu)網(wǎng)格生成技術(shù) 156
7.1 坐標變換關(guān)系 159
7.1.1 坐標變換的度量項及其計算方法 159
7.1.2 度規(guī)張量及坐標變換的物理特性 161
7.1.3 正交坐標系和保角坐標系 162
7.2 一般曲線坐標系中流體力學方程組的強守恒形式 164
7.3 保角變換方法 166
7.3.1 保角變換的概念 166
7.3.2 序列保角映射 167
7.3.3 單步保角映射 169
7.4 代數(shù)映射方法 172
7.4.1 一維拉伸函數(shù)法 172
7.4.2 兩邊界法 174
7.4.3 多面法 176
7.4.4 無限插值法 178
7.5 偏微分方程方法 181
7.5.1 雙曲型方程法 182
7.5.2 橢圓型方程法 183
7.6 網(wǎng)格生成實例 187
習題7 199
參考文獻 202
索引 207
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