目錄
第1章 緒論 1
1.1 從放射性衰變談起 1
1.1.1 放射性衰變 1
1.1.2 碳14同位素?cái)啻��?2
1.2 微分方程及其解的概念 4
1.2.1 微分方程及其分類(lèi) 4
1.2.2 方程的解 5
1.3 一階微分方程及其解的幾何解釋 8
1.3.1 方向場(chǎng) 8
1.3.2 圖像法 9
1.4 常微分方程的發(fā)展簡(jiǎn)史 13
第2章 一階方程的初等積分法 16
2.1 變量可分離方程 16
2.2 一階線(xiàn)性方程 20
2.3 初等變換法 24
2.3.1 齊次方程 24
2.3.2 準(zhǔn)齊次方程 27
2.3.3 Bernoulli方程 28
2.3.4 Riccati方程 29
2.4 全微分方程 32
2.4.1 全微分方程的概念及通積分形式 32
2.4.2 全微分方程的判別及求解方法 33
2.5 積分因子法 36
2.6 一階隱方程 41
2.6.1 可解出y或x 的方程與微分法 41
2.6.2 不顯含x或y 的方程與參數(shù)法 45
2.6.3 一般的一階隱式方程 47
2.7 應(yīng)用舉例 48
第3章 一階方程的一般理論 60
3.1 Picard逐次逼近法 61
3.2 解的存在與唯一性定理 63
3.2.1 Picard定理 63
3.2.2 近似計(jì)算和誤差估計(jì) 68
3.2.3 Peano存在定理 69
3.3 解的延伸 74
3.3.1 解的延伸定理 74
3.3.2 比較定理 80
3.4 解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性 85
3.4.1 解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性 85
3.4.2 解對(duì)初值的可微性 87
3.5 奇解 90
3.5.1 奇解 90
3.5.2 包絡(luò) 93
3.6 數(shù)值解法 98
3.6.1 Euler方法 98
3.6.2 Runge-Kutta方法 100
第4章 高階微分方程 105
4.1 預(yù)備知識(shí) 105
4.2 降階法 107
4.3 齊次線(xiàn)性方程 113
4.3.1 齊次線(xiàn)性方程的一般理論 114
4.3.2 解與系數(shù)的關(guān)系 119
4.4 常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程的解法 122
4.5 某些變系數(shù)齊次線(xiàn)性方程的解法 129
4.5.1 化為常系數(shù)法 129
4.5.2 降階法 133
4.6 非齊次線(xiàn)性方程 137
4.6.1 非齊次線(xiàn)性方程的一般理論 137
4.6.2 常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程的解法 141
4.7 二階線(xiàn)性方程的冪級(jí)數(shù)解法 146
4.7.1 解法的基本思路與過(guò)程 147
4.7.2 常點(diǎn) 冪級(jí)數(shù)解 150
4.7.3 正則奇點(diǎn) 廣義冪級(jí)數(shù)解 153
4.8 二階齊次線(xiàn)性方程的解的振動(dòng) 161
4.8.1 零點(diǎn)的孤立性 162
4.8.2 Sturm比較定理 162
4.8.3 振動(dòng)解與非振動(dòng)解的判別 164
4.8.4 解的零點(diǎn)間的距離的估計(jì) 165
4.9 Sturm-Liouville邊值問(wèn)題 166
4.9.1 預(yù)備知識(shí) 166
4.9.2 Sturm-Liouville特征值問(wèn)題 168
4.10 應(yīng)用舉例 171
第5章 微分方程組 179
5.1 預(yù)備知識(shí) 179
5.1.1 引例 179
5.1.2 微分方程組及其解的概念 181
5.1.3 高階微分方程(組)與一階微分方程組的關(guān)系 183
5.1.4 向量函數(shù)與矩陣函數(shù) 185
5.1.5 微分方程組的向量形式 187
5.2 解的存在唯一性定理 188
5.3 初等積分法 189
5.3.1 消元法 190
5.3.2 可積組合法 192
5.4 齊次線(xiàn)性微分方程組的一般理論 199
5.4.1 解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) 200
5.4.2 解與系數(shù)的關(guān)系 204
5.4.3 基解矩陣 205
5.5 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程組的解法 208
5.5.1 矩陣指數(shù)的定義和性質(zhì) 208
5.5.2 標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣eAx 209
5.5.3 待定系數(shù)法計(jì)算基解矩陣exAP 213
5.6 非齊次線(xiàn)性微分方程組 222
5.6.1 解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) 222
5.6.2 常數(shù)變易法求特解 223
5.7 應(yīng)用舉例 225
第6章 微分方程的定性理論 230
6.1 自治系統(tǒng) 231
6.1.1 動(dòng)力系統(tǒng) 相空間與軌線(xiàn) 231
6.1.2 自治系統(tǒng)的基本性質(zhì) 233
6.1.3 自治系統(tǒng)軌線(xiàn)的類(lèi)型 235
6.2 解的穩(wěn)定性 238
6.2.1 Lyapunov穩(wěn)定性的概念 238
6.2.2 按一次近似判斷穩(wěn)定性 240
6.2.3 Lyapunov第二方法 246
6.3 平面自治系統(tǒng)的奇點(diǎn) 254
6.3.1 線(xiàn)性系統(tǒng)的奇點(diǎn) 254
6.3.2 非線(xiàn)性系統(tǒng)的奇點(diǎn) 266
6.4 極限環(huán) 270
6.4.1 極限環(huán)的存在性判斷方法 270
6.4.2 Poincaré映射與后繼函數(shù)法 275
6.5 分支與混沌 277
6.5.1 分支 277
6.5.2 Lorenz方程與混沌 283
6.6 應(yīng)用舉例 286
6.6.1 兩種群模型 287
6.6.2 vanderPol方程 295
第7章 Maple在常微分方程中的應(yīng)用 301
7.1 初識(shí)Maple 301
7.2 Maple在一階微分方程中的應(yīng)用 302
7.2.1 一階微分方程的求解及積分曲線(xiàn)的畫(huà)法 302
7.2.2 微分方程類(lèi)型的判定 304
7.2.3 積分因子的求法 306
7.2.4 一階隱方程的求解 306
7.2.5 數(shù)值解法 307
7.2.6 方向場(chǎng) 308
7.2.7 正交軌線(xiàn) 310
7.3 Maple應(yīng)用于解高階方程和方程組 311
7.3.1 用Maple解高階線(xiàn)性方程 311
7.3.2 高階線(xiàn)性方程的冪級(jí)數(shù)解法 314
7.3.3 用Maple解方程組 315
參考答案 319
參考文獻(xiàn) 329