《普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是一本供非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生使用的概率論與數(shù)理統(tǒng) 計(jì)教材。全書共10章，內(nèi)容包括隨機(jī)事件和概率、離散型隨機(jī)變量及其分布、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理、數(shù)理統(tǒng) 計(jì)的基本概念、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析與回歸分析、統(tǒng)計(jì)軟件SPSS簡(jiǎn)介。每一章后面有相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題，并在書末配有參考答案。為了使學(xué)生對(duì)這門課 程在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，在每一章的最后都提供了一篇課外拓展閱讀，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識(shí)。
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《普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是一本供非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生使用的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材。本書融入了編者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，吸取了國(guó)內(nèi)同類教材的長(zhǎng)處，緊扣碩士研究生入學(xué)考試大綱，可供高等學(xué)校中的工科、農(nóng)醫(yī)、經(jīng)濟(jì)、管理等專業(yè)使用。
目錄CONTENTS
前言
第1章 隨機(jī)事件和概率
1.1 隨機(jī)事件 2
一、隨機(jī)試驗(yàn) 2
二、樣本空間 2
三、隨機(jī)事件 3
四、事件間的關(guān)系與運(yùn)算 3
1.2 概率的定義 5
一、概率的統(tǒng)計(jì)定義 6
二、概率的公理化定義 7
三、古典概型 9
四、幾何概型 10
1.3 條件概率、全概率公式和貝葉斯公式 11
一、條件概率 11
二、乘法公式 13
三、全概率公式與貝葉斯公式 13
1.4 事件的獨(dú)立性 16
1.5 伯努利概型 18
課外拓展閱讀 產(chǎn)生十幾位數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的家族 19
習(xí)題1 21
第2章 離散型隨機(jī)變量及其分布
2.1 隨機(jī)變量 24
2.2 離散型隨機(jī)變量及其分布律 25
一、兩點(diǎn)分布 25
二項(xiàng)分布 26
三、泊松(Poisson)分布 27
四、幾何分布 29
五、超幾何分布 29
2.3 二維隨機(jī)變量及其分布 30
一、聯(lián)合分布律 30
二、邊緣分布律 31
2.4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性與條件分布 33
2.5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 34
一、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 35
二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 35
課外拓展閱讀 帕斯卡與早期概率論的發(fā)展 37
習(xí)題2 38
第3章 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布
3.1 分布函數(shù)與概率密度函數(shù) 42
3.2 常用的一維連續(xù)型隨機(jī)變量 45
一、均勻分布 45
二、指數(shù)分布 46
三、正態(tài)分布 47
3.3 二維隨機(jī)變量及其分布 50
一、二維分布函數(shù)的性質(zhì) 50
．二維聯(lián)合密度函數(shù) 51
三、邊緣密度函數(shù) 54
3.4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性與條件密度函數(shù) 56
一、隨機(jī)變量的獨(dú)立性 56
二、條件密度函數(shù) 57
3.5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 59
一、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 59
二、兩個(gè)隨機(jī)變量之和的分布 60
三、兩個(gè)隨機(jī)變量之商的分布 63
四、隨機(jī)變量最大值、最小值的分布 64
課外拓展閱讀 統(tǒng)計(jì)學(xué)家與戰(zhàn)爭(zhēng) 65
習(xí)題3 66
笫4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征
4.1 數(shù)學(xué)期望 70
一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 70
二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 72
三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 73
四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 75
4.2 方差 77
一、方差的定義 77
二、幾種常見隨機(jī)變量的方差 78
三、方差的性質(zhì) 79
4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 81
4.4 矩和協(xié)方差矩陣 84
一、矩 84
二、協(xié)方差矩陣 84
課外拓展閱讀 蒲豐的投針試驗(yàn) 86
習(xí)題4 87
第5章 大數(shù)定律和中心極限定理
5.1 大數(shù)定律 90
5.2 中心極限定理 92
課外拓展閱讀破解彩票的中獎(jiǎng)秘訣 96
習(xí)題5 96
第6章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念
6.1 總體和樣本 99
6.2 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 100
6.3 統(tǒng)計(jì)量 101
6.4 三個(gè)常用分布 103
一、x2分布 103
二、t分布 105
三、F分布 106
6.5 抽樣分布 107
課外拓展閱讀 數(shù)理統(tǒng)計(jì)大師——費(fèi)希爾 109
習(xí)題6 110
第7章 參數(shù)估計(jì)
7.1 點(diǎn)估計(jì) 113
一、矩估計(jì) 113
二、極大似然估計(jì) 115
7.2 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) 117
一、無(wú)偏性 117
二、有效性 118
三、一致性 119
7.3 置信區(qū)間 120
7.4 單個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間 122
一、正態(tài)總體均值μ的置信區(qū)間 122
二、正態(tài)總體方差σ2的置信區(qū)間 124
7.5 兩個(gè)正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間 125
一、兩個(gè)總體均值差μ1-μ2的置信區(qū)間 125
二、兩個(gè)總體方差比σ1/σ2的置信區(qū)間 127
7.6 非正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì) 127
一、非正態(tài)總體均值的大樣本區(qū)間估計(jì) 128
二、總體成數(shù)（比例）的大樣本區(qū)間估計(jì) 128
課外拓展閱讀生活與商業(yè)中的統(tǒng)計(jì)學(xué) 129
習(xí)題7 131
第8章 假設(shè)檢驗(yàn)
8.1 假設(shè)檢驗(yàn)問題 135
8.2 單個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 137
一、單個(gè)正態(tài)總體N（μ，σ2）均值μ的檢驗(yàn) 137
二、單個(gè)總體方差σ2的檢驗(yàn) 138
8.3 兩個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 140
一、兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn) 140
二、兩個(gè)總體方差比σ1/σ2的假設(shè)檢驗(yàn) 141
8.4 總體比率的假設(shè)檢驗(yàn) 143
8.5 分布擬合檢驗(yàn) 145
課外拓展閱讀 證券內(nèi)慕交易舉證制度中的假設(shè)檢驗(yàn)原理 148
習(xí)題8 150
第9章 方差分析與回歸分析
9.1 單因素試驗(yàn)的方差分析 153
一、方差分析的基本思想 153
二、單因素試驗(yàn)的方差分析方法 154
9.2 雙因素試驗(yàn)的方差分析 158
一、雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn) 158
二、偏差平方和分解 159
三、檢驗(yàn)方法 160
9.3 元線性回歸 162
一、一元線性回歸 162
二、可轉(zhuǎn)化為一元線性回歸的問題 167
9.4 多元線性回歸 169
一、多元線性回歸模型 169
二、參數(shù)的最小二乘估計(jì) 170
三、多元線性回歸方程的方差分析 170
四、多項(xiàng)式回歸模型 171
課外拓展閱讀 回歸分析的創(chuàng)始人——高爾頓 171
習(xí)題9 172
第10章 統(tǒng)計(jì)軟件SPSS簡(jiǎn)介
10.1 SPSS軟件的啟動(dòng)、主窗口與退出 177
一、啟動(dòng) 177
二、退出 178
10.2 SPSS系統(tǒng)主菜單項(xiàng)介紹 179
10.3 建立數(shù)據(jù)文件 180
一、直接錄入 180
二、間接錄入 182
10.4 SPSS統(tǒng)計(jì)分析簡(jiǎn)介 183
一、SPSS軟件在假設(shè)檢驗(yàn)中的應(yīng)用 184
二、SPSS軟件在方差分析中的應(yīng)用 191
三、SPSS軟件在回歸分析中的應(yīng)用 199
10.5 SPSS在統(tǒng)計(jì)制圖中的應(yīng)用 205
課外拓展閱讀 SPSS統(tǒng)計(jì)軟件公司的發(fā)展歷程 206
習(xí)題參考答案 208
參考文獻(xiàn) 215
附錄 216
第1章 隨機(jī)事件和概率
在自然界、生產(chǎn)實(shí)踐、科學(xué)實(shí)驗(yàn)和日常生活中發(fā)生的現(xiàn)象，按其結(jié)果能否準(zhǔn)確預(yù)測(cè)來(lái)劃分，可以分為兩大類：一類是必然現(xiàn)象；另一類是隨機(jī)現(xiàn)象． 在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象．例如，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水加熱到100℃必然沸騰；向上拋一石頭必然會(huì)落下．所有這些現(xiàn)象的特點(diǎn)就是，在一定條件下必定出現(xiàn)某一結(jié)果，并且是可以事先預(yù)測(cè)的，即在準(zhǔn)確地重復(fù)某些條件的情況下，它的結(jié)果總是可以肯定的． 另一類現(xiàn)象是在一定條件下，可能會(huì)出現(xiàn)多種不同的結(jié)果，但在觀測(cè)之前無(wú)法預(yù)知其確切結(jié)果的現(xiàn)象，這一類現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象．例如，拋一枚硬幣，最終落在地上是一種必然現(xiàn)象，而落地后正面朝上還是反面朝上卻是一種隨機(jī)現(xiàn)象；某種電器使用壽命的長(zhǎng)短是一種隨機(jī)現(xiàn)象．這類現(xiàn)象的共同特點(diǎn)是：在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，但每次試驗(yàn)不止出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果，即試驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性． 事實(shí)上，在個(gè)別試驗(yàn)中，隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果雖然呈現(xiàn)出不確定性，但是經(jīng)多次重復(fù)試驗(yàn)，卻可發(fā)現(xiàn)它仍然呈現(xiàn)出某種規(guī)律性，這種規(guī)律性稱為隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性．
一、隨機(jī)試驗(yàn)
滿足下列三個(gè)條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：
（1）試驗(yàn)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行；
（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；
（3）每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果發(fā)生．隨機(jī)試驗(yàn)是一種含義較廣的術(shù)語(yǔ)，它包括對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀察、測(cè)量、記錄或做 科學(xué)實(shí)驗(yàn)等，以后簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E1，E2，.表示．
例1.1.1 下面的四個(gè)實(shí)驗(yàn)都是隨機(jī)試驗(yàn)．
E1：拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況．顯然，結(jié)果是集合｛H，T｝的一 個(gè)元素；E2：將一枚硬幣連續(xù)拋兩次，觀察試驗(yàn)的結(jié)果．這時(shí)，所有可能的結(jié)果為｛HH，HT，TH，TT｝；E3：對(duì)某目標(biāo)進(jìn)行射擊，觀察直到目標(biāo)擊中為止的總射擊次數(shù)；E4：測(cè)量一個(gè)工人生產(chǎn)的電燈泡的壽命，試驗(yàn)的結(jié)果是t小時(shí)．如果假定燈泡的壽命不超過5000小時(shí)，則t是區(qū)間［0，5000］中的某個(gè)數(shù)值．這四個(gè)實(shí)驗(yàn)均滿足隨機(jī)試驗(yàn)的三個(gè)條件，而實(shí)驗(yàn)“記錄100年后地球上的人口數(shù)量”卻不是隨機(jī)試驗(yàn)，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)無(wú)法在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行．
二、樣本空間
對(duì)于任一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果都是事先知道的，而且結(jié)果不止一個(gè)．把隨機(jī)試驗(yàn)的一切可能結(jié)果的集合稱為樣本空間．在概率論中常用大寫的希臘字母Ω來(lái)表示．試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果稱之為樣本點(diǎn)或基本事件，通常用小寫的希臘字母ω或ω1，ω2，.來(lái)表示．例1.1.1中4個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間分別為 Ω1＝｛H，T｝，其中H表示正面，T表示反面；Ω2＝｛HH，HT，TH，TT｝；Ω3＝｛0，1，2，.｝；Ω4＝｛t｜0≤t≤5000｝．由上述可知，樣本空間可以是有限點(diǎn)集，可以是可列點(diǎn)集（即它可以與自然數(shù)集 是一一對(duì)應(yīng)的集合），也可以是某區(qū)間或平面上的一個(gè)區(qū)域．其中，隨機(jī)試驗(yàn)E1的樣本空間是一維的，E2的樣本空間是二維的，它們的樣本點(diǎn)為有限個(gè)．
1.1 隨機(jī)事件
三、隨機(jī)事件
在實(shí)際問題中，我們往往關(guān)心某種滿足一定條件樣本點(diǎn)的集合，這種滿足一定條件樣本的集合稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件．所以隨機(jī)事件就是某些樣本點(diǎn)的集合，也就是樣本空間Ω的某些子集合．在試驗(yàn)時(shí)，如果出現(xiàn)了事件A中的樣本點(diǎn)，我們就說事件A發(fā)生了或者說A出現(xiàn)了．例如，
（1）在E1中事件A表示“出現(xiàn)正面”，即A＝｛H｝；
（2）在E4中事件B表示“電燈泡的壽命在3000至4000小時(shí)之間”，即B＝［3000，4000］．
Ω作為自身的子集合，在每次試驗(yàn)中總是發(fā)生的，稱為必然事件；空集•不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總是不發(fā)生，稱為不可能事件．事件通常用大寫的英文字母A，B，C，.來(lái)表示，其具體內(nèi)容可寫為A＝｛.｝，其中大括號(hào)中或者是A所包含樣本點(diǎn)的列舉，如上面的A，或者是對(duì)A中樣本點(diǎn)所具有的性質(zhì)的描述，比如在例1.1.1的E3中，設(shè)C為射擊次數(shù)不超過5次的事件，那么可寫C＝｛ω∈Ω：ω≤5｝．事件B也屬于這種情況，不過我們用一個(gè)閉區(qū)間［3000，4000］表示“3000≤ω≤4000”．
四、事件間的關(guān)系與運(yùn)算
事件既然是Ω的子集合，它們之間的關(guān)系與運(yùn)算就是集合間的關(guān)系與運(yùn)算．下面設(shè)A，B，A1，A2，.均為事件．
（1）若A炒B，則稱B包含事件A或A含于B．這表示事件A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生，若A炒B，且B炒A，即A＝B，則稱事件A與B相等．
（2）事件A∪B＝｛ω∈Ω：ω∈A或ω∈B｝，稱為事件A與B的并事件．也就是把兩事件的樣本點(diǎn)放在一起所組成的新事件．因此，A∪B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B中至少
n 有一個(gè)發(fā)生，類似地，稱i ∪＝ 1 Ai＝｛ω∈Ω：ω至少屬于A1，A2，.，An中一個(gè)事件｝為n個(gè)∞ 事件的并事件，稱i∪＝ 1 Ai＝｛ω∈Ω：ω至少屬于A1，A2，.中一個(gè)事件｝為可列個(gè)事件的并事件．
（3）事件A∩B＝｛ω∈Ω：ω∈A并且ω∈B｝稱為事件A與B的交事件，簡(jiǎn)記為AB，也就是兩事件中公共的樣本點(diǎn)所組成的事件，因此AB發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A與B同時(shí)發(fā)生．n類似地，稱i ∩＝ 1 Ai＝｛ω∈Ω：ω屬于一切Ai，i＝1，2，.，n｝為n個(gè)事件的交事件，稱i ∩＝∞1 Ai＝｛ω∈Ω：ω屬于一切A1，A2，.｝為可列個(gè)事件的交事件．
（4）事件A-B＝｛ω∈Ω：ω∈A但ω臭B｝稱為事件A與B的差事件，事件A-B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生，而B不發(fā)生．
（5）若A∩B＝•，則稱事件A與B互不相容或互斥，即兩事件不能同時(shí)發(fā)生．
（6）若A∪B＝Ω，且A∩B＝•，則稱兩事件互為逆事件，并記B＝A•或A ＝ B•．事件的關(guān)系與運(yùn)算可用圖1.1來(lái)表示．
圖1.1 事件的運(yùn)算滿足下列定律：
（1）交換律：A∪B＝B∪A， A∩B＝B∩A；
（2）結(jié)合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C，A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；
（3）分配律：A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；
（4）對(duì)偶律：A ∪ B ＝ A•∩ B•， A ∩ B ＝ A•∪ B•．
這些定律均可用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法證明，即證明等式兩邊的事件相互包含．但是用圖示的方法驗(yàn)證這些定理會(huì)顯得更加直觀．例如，圖1.2中的A∪B即為方框中陰影部分，而如果你把A的外面涂上紅色，把B的外面涂上藍(lán)色，那么既有紅色又有藍(lán)色的部分恰是方框中的陰影部分．
根據(jù)事件的關(guān)系與運(yùn)算規(guī)則可用一些簡(jiǎn)單的事件來(lái)表示較復(fù)雜的事件．
1.2 概率的定義
例1.1.2 某燈泡廠取樣檢查燈泡的壽命，設(shè)A表示“燈泡壽命大于1500h”，B表示“燈泡壽命為1000～2000h”，請(qǐng)用集合的形式寫出下列事件：Ω，A，B，A∪B，AB，A-B，B-A．
解 Ω＝｛x｜x≥0｝＝［0，+∞）， A＝｛x｜x＞1500｝＝（1500，+∞），B＝｛x｜1000≤x≤2000｝＝［1000，2000］， A∪B＝［1000，+∞），AB＝（1500，2000］， A-B＝（2000，+∞）， B-A＝［1000，1500］．
例1.1.3 一個(gè)貨箱中裝有12只同類型的產(chǎn)品，其中3只是一等品，9只是二等品，從中隨機(jī)地抽取兩次，每次任取1只，Ai（i＝1，2）表示第i次抽取的是一等品，試用字母及事件間的關(guān)系表示下列事件：
（1）兩只都是一等品；
（2）兩只都是二等品；
（3）一只是一等品，另一只是二等品；
（4）第二次抽取的是一等品．解由題意，用A•i表示第i次抽取的是二等品（i＝1，2），
則
（1）兩只都是一等品：A1∩A2；
（2）兩只都是二等品：A•1 ∩ A•2；
（3）一只是一等品，另一只是二等品：A1A2∪A1A2；
（4）第二次抽取的是一等品：A•1A2∪A1A2＝A2．例1.1.4 甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A，B，C分別表示甲、乙、丙 命中目標(biāo)，試用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件．
A0：“甲命中，乙和丙都沒有命中” AB•C•；
A1：“至少有一人命中” A∪B∪C；
AB •A •
A2：“恰有一個(gè)命中目標(biāo)” AB•C•∪•C ∪•BC ；
A BC ∪ A •
A3：“恰有兩個(gè)命中目標(biāo)” ABC•∪•BC ；
A4：“最多有一個(gè)命中目標(biāo)” B•C•∪ A•C•∪ A•B•；
A5：“三人都命中目標(biāo)” ABC；
A6：“三人均未命中目標(biāo)” A•B•C•．
注 事件的表示不是唯一的，例如，利用對(duì)偶律或事件的差，例1.1.4中事件A0 也可表示為如下幾種形式：A0＝A（B ∪ C） ， A0＝A-B-C．
1.2 概率的定義
1.1節(jié)介紹了隨機(jī)現(xiàn)象，通過大量試驗(yàn)可以觀察到會(huì)有哪些結(jié)果出現(xiàn)．實(shí)際上，我們更希望能對(duì)這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性作出定量的描述．事件發(fā)生可能性的定量描述的實(shí)質(zhì)就是事件發(fā)生的概率．有些事件發(fā)生的概率直覺就可以確定，但是，對(duì)于一 般事件而言，單憑直覺來(lái)確定其發(fā)生的概率顯然是行不通的．
一、概率的統(tǒng)計(jì)定義
人們經(jīng)過長(zhǎng)期的實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，雖然一個(gè)隨機(jī)事件在某次試驗(yàn)或觀察中可能發(fā)生也可能不發(fā)生，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中，它發(fā)生的可能性的大小卻能呈現(xiàn)出某種規(guī)律性． 我們感興趣的正是對(duì)這種規(guī)律性的探討．
1.頻率的穩(wěn)定性
若事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了nA次，則稱nA為事件A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的 頻數(shù)，而比值fn（A）＝nnA稱為事件A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率．很早人們就注意到，在多次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣時(shí)，出現(xiàn)正面這一隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)接近1／2．請(qǐng)看下面“拋擲硬幣”試驗(yàn)的實(shí)例，見表1.1．表1.1
實(shí)驗(yàn)人 拋擲次數(shù) 出現(xiàn)正面次數(shù) 頻率（出現(xiàn)正面次數(shù)／拋擲次數(shù)）
德摩根（DeMorgan）蒲豐（Buffon） 20484040 10612048 0.51810.5069
皮爾遜（Pearson） 24000 12012 0 .5005
表1.1說明：當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n增加時(shí)，正面向上的頻率，即正面出現(xiàn)的次數(shù)k與 總的試驗(yàn)次數(shù)n之比kn 將隨n的增大而逐漸逼近12 ．
頻率偏離這個(gè)常數(shù)很大的可能性雖然存在，但是試驗(yàn)的次數(shù)n越大，則頻率偏離這個(gè)常數(shù)的可能性越小，也就是說，隨機(jī)事件的每一次觀察結(jié)果都是偶然的，但是多次觀察某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象可以知道，在大量的偶然事件中存在著必然的規(guī)律．
通過大量的試驗(yàn)可知，在重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n充分大時(shí)，事件的頻率總是在一個(gè)固定數(shù)值p附近擺動(dòng)，我們將這種特性稱為頻率的穩(wěn)定性．頻率的穩(wěn)定性是一個(gè)客觀存在，它不斷地為人們所證實(shí)．例如，多年醫(yī)學(xué)研究表明，出生嬰兒性別的數(shù)量比約為男∶女＝1.06∶1；英語(yǔ)字母E，T，A出現(xiàn)的頻率要明顯高于其他字母．因此人們常用統(tǒng)計(jì)頻率作為概率的近似值．
2.頻率的性質(zhì)
頻率具有下列性質(zhì)：
性質(zhì)1.2.1 對(duì)于任一個(gè)事件A，有0≤fn（A）≤1．
證 設(shè)nA表示n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則有0≤nA≤n，從而0≤nnA ≤1， 即
0≤ fn （A ）≤1 ．
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