《普林斯頓數(shù)學指南》是由Fields 獎得主T. Gowers 主編、133 位著名數(shù)學家共同參與撰寫的大型文集. 《普林斯頓數(shù)學指南（第二分冊）》由288 篇長篇論文和短篇條目構(gòu)成, 目的是對20 世紀最后一二十年純粹數(shù)學的發(fā)展給出一個概覽, 以幫助青年數(shù)學家學習和研究其最活躍的部分, 這些論文和條目都可以獨立閱讀. 原書有八個部分, 除第Ⅰ部分是一個簡短的引論、第Ⅷ部分是《普林斯頓數(shù)學指南（第二分冊）》的“終曲”以外, 《普林斯頓數(shù)學指南（第二分冊）》分為三大板塊, 核心是第Ⅳ部分“數(shù)學的各個分支”, 共26 篇長文, 介紹了20 世紀最后一二十年純粹數(shù)學研究中最重要的成果和最活躍的領(lǐng)域, 第Ⅲ部分“數(shù)學概念”和第Ⅴ部分“定理與問題”都是為它服務(wù)的短條目. 第二個板塊是數(shù)學的歷史, 由第Ⅱ部分“現(xiàn)代數(shù)學的起源”(共7 篇長文)和第Ⅵ部分“數(shù)學家傳記”(96 位數(shù)學家的短篇傳記)組成. 第三個板塊是數(shù)學的應(yīng)用, 即第Ⅶ部分“數(shù)學的影響”(14 篇長文章). 作為《普林斯頓數(shù)學指南（第二分冊）》“終曲”的第Ⅷ部分“結(jié)束語：一些看法”則是對青年數(shù)學家的建議等7 篇文章.
中譯本分為三卷, 第一卷包括第Ⅰ~Ⅲ部分, 第二卷即第Ⅳ部分, 第三卷包括第Ⅴ~Ⅷ部分.
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《普林斯頓數(shù)學指南（第二分冊）》是由Fields 獎得主T. Gowers 主編、133 位著名數(shù)學家共同參與撰寫的學科巨著，極具權(quán)威性，對20世紀最后一二十年純粹數(shù)學的發(fā)展給出一個概覽, 總結(jié)過去指引未來，以幫助青年數(shù)學家學習和研究其最活躍的部分,《普林斯頓數(shù)學指南（第二分冊）》內(nèi)容生動鮮活，論文和條目都可以獨立閱讀，對于數(shù)學專業(yè)的師生以及對數(shù)學感興趣的讀者都不失為一本必不可少的經(jīng)典讀物。
《普林斯頓數(shù)學指南》由普林斯頓大學出版社（PUP）2008年出版，由英國數(shù)學家Gowers （Sir William Timothy Gowers, 1963—)主編。Gowers 是英國皇家學會會員、劍橋大學的純粹數(shù)學與數(shù)理統(tǒng)計教授，在三一學院擔任Rouse Ball講座教授，1998 年因為在泛函分析與組合學中的貢獻而獲得菲爾茲獎。此書由他領(lǐng)銜，組織了133位杰出的數(shù)學家（其中不乏為我國數(shù)學界熟知的知名學者，如M. Atiyah, A. Connes, B. Mazur, C. Fefferman, S. Kleinerman, P. D. Lax,陶哲軒等，按Gowers的說法，就數(shù)學在21世紀之始所面臨的重大問題，各人就其所長，以摘要提綱的形式寫成288個長短各異的條目。Gowers本人撰寫了其中68條，包括一篇長達76頁的引言。這部長達1000余頁的巨著，獲得了美國數(shù)學協(xié)會（Mathematical Association of America, MAA）2011年歐拉圖書獎。
目錄
譯者序
序
撰稿人
第 IV部分 數(shù)學的各個分支 1
IV.1 代數(shù)數(shù) 1
IV.2 解析數(shù)論 28
IV.3 計算數(shù)論 58
IV.4 代數(shù)幾何 82
IV.5 算術(shù)幾何 98
IV.6 代數(shù)拓撲 114
IV.7 微分拓撲 134
IV.8 �？臻g 153
IV.9 表示理論 170
IV.10 兒何和組合群論 189
IV.11 調(diào)和分析 216
IV.12 偏微分方程 228
IV.13 廣義相對論和愛因斯坦方程 272
IV.14 動力學 291
IV.15 算子代數(shù) 318
IV.16 鏡面對稱 339
IV.17 頂點算子代數(shù) 363
IV.18 枚舉組合學與代數(shù)組合學 382
IV.19 極值組合學與概率組合學 405
IV.20 計算復雜性 427
IV.21 數(shù)值分析 471
IV.22 集合理論 491
IV.23 邏輯和模型理論 521
IV.24 隨機過程 540
IV.25 臨界現(xiàn)象的概率模型 556
IV.26 高維兒何學及其概率類比 577
第IV部分數(shù)學的各個分支
IV.1 代數(shù)數(shù)
Barry Mazur
這個分支的根可以追溯到古希臘,它的枝葉卻觸及現(xiàn)代數(shù)學幾乎所有的方面.如果真有所謂“奠基性的著作”,那么,對于數(shù)論的現(xiàn)代態(tài)度的起源,這就要算是最初在1801年問世的高斯[Ⅵ.26]的《數(shù)論研究》(DisquisitionesArithmeticae)這部書.當代研究中許多尚未達到的目的都已經(jīng)可以在高斯的著作里見到,至少是出現(xiàn)了胚胎形式.
本文的意圖就是給有志于學習和思索代數(shù)數(shù)經(jīng)典理論的某些方面的讀者提供一個指南.想要懂得代數(shù)數(shù)理論的很大一部分,想要領(lǐng)略它的美,都只需要最少限度的理論背景.對于每一位打算踏上這條旅程的讀者,我建議在自己的背包里帶上高斯的《數(shù)論研究》,以及Davenport的TheHigherArithmetics(1992),后一本書可以說是講解這門學科的珍寶,它對于奠基性的思想的講解既清楚又深入,而且?guī)缀鯖]有用到高中以外的數(shù)學知識.
1. 2 的平方根
代數(shù)數(shù)和代數(shù)整數(shù)的研究是從通常的有理數(shù)和整數(shù)的研究開始的,而又經(jīng)常要回溯到對它們的研究.第一批代數(shù)無理性開始并不是作為數(shù)出現(xiàn)的,而是作為對幾何問題的障礙出現(xiàn)的.
正方形的對角線和邊長的比不能表示為整數(shù)之比,傳說是早期的畢達哥拉斯學派的一樁心病.但是正是這個比,平方以后卻是2:1,所以我們可以代數(shù)地對待它——而后來的數(shù)學家們確實這樣做了.我們可以把這個比當作一個沒有什么內(nèi)容的密碼,而我們所知的僅僅是：“它的平方等于2”(這也就是后來的數(shù)學家克羅內(nèi)克[Ⅵ.48]對于代數(shù)數(shù)的觀點,這一點下面還會看到).可以用種種不同的方式來寫出√2, 例如√2= |1 . i| . (1)
我們還會想到1 . i=1 . e2πi/4,因此它是最早的三角和,在下面會看到這一點對于二次根式(surd)的推廣.也可以把√2 看成是各種無限序列的極限,其中之一是由
漂亮的連分數(shù)[Ⅲ.22]給出的：
√2 = 1 + 2 + 1 1 . (2)
2 + . ..
與連分數(shù)(2)直接相關(guān)的有下面的丟番圖方程
2X2 . Y 2 =±1, (3)
稱為佩爾(Pell)方程.有無數(shù)多對整數(shù)(x,y)滿足這個方程,而相應(yīng)的分數(shù)就是把
(2)式切斷所得到的有限分數(shù),例如,(3)的前幾個解是(1,1),(2,3),(5,7),(12,17),
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