本書以簡短的篇幅敘述了線性泛函分析的基礎(chǔ)理論。全書分五章，按章序分別講解度量空間的公理系統(tǒng)和點(diǎn)集拓?fù)湫再|(zhì)、有界線性算子和有界線性泛函的基本定理、共軛窨與共軛算子、Hil-bert空間的幾何學(xué)以及有界線性算子的譜理論。本書注重闡述窨和算子的一般理論；取材既有簡捷的一面又有深入的一面；在突出基本理論框架的同時(shí)又有選擇地?cái)⑹隽怂谌舾煞矫娴膽?yīng)用。
本書可作為教學(xué)系高年級大學(xué)本科教材或教學(xué)參考書，也可作為應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理等相關(guān)學(xué)科碩士研究生的教材以及教師和研究工作者的參考書。
本世紀(jì)初，分析數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了抽象化的趨勢，探求其中結(jié)論與方法的一般性和統(tǒng)一性是它的突出特點(diǎn)。泛函分析也正是在這一進(jìn)程中產(chǎn)生的。這一趨勢的出現(xiàn)并不是偶然的，一方面它反映了數(shù)學(xué)中積累的素材已足夠豐富，并且不同學(xué)科（包括經(jīng)典分析，變分學(xué)，積分方程等）的某些對象之間顯示了思想上和方法上的相似之處，需要加以整理和總結(jié)；另一方面它反映了一種愿望：建立一套理論，能夠?qū)σ延械幕驅(qū)⒁霈F(xiàn)的同種類型的對象運(yùn)用統(tǒng)一的方法去處理。這些愿望由于早期在數(shù)學(xué)物理和量子力學(xué)等學(xué)科中的成功運(yùn)用而得到有力的支持。事實(shí)證明這些類型通常就是具有代數(shù)結(jié)構(gòu)或拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的集合，而這里的方法則是代數(shù)的、幾何的、分析的以及不斷引人的新方法的綜合運(yùn)用。幾十年來的歷史告訴我們，泛函分析在其發(fā)展過程中保持了這一特點(diǎn)和風(fēng)格，它不斷地從其他學(xué)科吸取營養(yǎng)，通過加工和升華形成帶系統(tǒng)性的新思想和新方法，然后返回到各學(xué)科中去解決理論的和應(yīng)用的問題。這就無怪乎純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的幾乎所有學(xué)科領(lǐng)域都和泛函分析有著廣泛的聯(lián)系。從微分方程的現(xiàn)代理論、概率論、計(jì)算數(shù)學(xué)、現(xiàn)代物理、控制論到應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)都滲透著泛函分析的思想和方法。時(shí)至今日，泛函分析已成為內(nèi)容豐富、方法系統(tǒng)、應(yīng)用廣泛并且仍在蓬勃發(fā)展的學(xué)科，同時(shí)也是從事數(shù)學(xué)理論研究和實(shí)際應(yīng)用的人們不可缺少的一門學(xué)科。
對于泛函分析的內(nèi)容可以作不同形式的分類，例如依照所研究的算于是否為線性的區(qū)分為線性的和非線性的泛函分析。也可以依照基本空間的拓?fù)湫再|(zhì)分為度量空間上的和一般拓?fù)淇臻g上的泛函分析。但就其實(shí)質(zhì)而言，泛函分析包括了三部分內(nèi)容：空間理論、算子理論以及作為二者與其他學(xué)科相互聯(lián)系的應(yīng)用，三者有機(jī)地結(jié)合在一起。
本書是為高年級大學(xué)生編寫的教材，由于講授時(shí)間所限，僅限于度量空間和線性泛函分析。希望以簡短的篇幅敘述這一領(lǐng)域的基本思想方法和基本理論，并提供相關(guān)學(xué)科以基本的工具。本教材著意加強(qiáng)基礎(chǔ)理論的講解，在突出理論框架的同時(shí)有重點(diǎn)地介紹對于其他學(xué)科的應(yīng)用。我們一開始（第一章）便鋪開了度量空間、賦范空間以及內(nèi)積空間的公理體系并討論它們彼此的聯(lián)系，介紹了度量空間上的點(diǎn)集拓?fù)�。對于泛函分析的基本定理（第二章）盡可能給出最廣泛的形式。較為詳細(xì)地介紹了Banach空間與其一次和二次共軛空間的相互關(guān)系，對于自反空間和一致凸空間也作了扼要介紹（第三章）。用較新的觀點(diǎn)處理了Hilbert空間的幾何結(jié)構(gòu)問題（第四章）。最后，第五章簡要地?cái)⑹隽司o算子、自共軛算子和有界算子的譜表示理論。書中有重點(diǎn)地選擇不動點(diǎn)定理、Schauder基問題、最佳逼近問題以及微分方程和Fourier分析的
問題作了介紹，以便從中了解泛函分析對于其他學(xué)科的應(yīng)用及相互聯(lián)系。此外全書設(shè)有將近200個習(xí)題，通過練習(xí)可掌握解題方法。有些習(xí)題還提供了例子，它們也是本書不可分割的一部分。
本書自1984年以來為武漢大學(xué)數(shù)學(xué)系本科生所用講義，并先后在助教進(jìn)修班和中法數(shù)學(xué)試驗(yàn)班講授過，在正式出版之前又作了一定的修改和補(bǔ)充。
作者感謝李國平院士的支持和幫助，感謝趙俊峰教授和侯友良同志對原稿提出的寶貴意見。對于在本書撰寫和出版過程中給予幫助的同志這里也一并表示由衷地感謝。
由于學(xué)識淺薄，書中錯誤和漏洞定為不免，誠望讀者給予批評指正。
作 者
1992．1．于武昌珞珈山
第一章 線性賦范空間
1 線性空間與度量空間
2 經(jīng)典賦范空間的例
3 完備性與Baire綱定理
4 緊性與有限維空間
5 積空間與商空間
習(xí)題一
第二章 有界線性算子
1 空間（X，Y）與X
2 共鳴定理及其應(yīng)用
3 開映射定理與閉圖像定理
4 Hahn-Banach延拓定理
5 凸集的隔離定理
習(xí)題二
第三章 共軛空間與共軛算子
1 共軛空間及其表現(xiàn)
2 w收斂與w*收斂
3 共軛算子與緊算子
4 自反空間與一致凸空間
習(xí)題三
第四章 Hilbert空間的幾何學(xué)
1 正交集與正交基
2 正交投影
3 共軛算子與一·五線性泛函
習(xí)題四
第五章 有界線性算子的譜理論
1 逆算子與譜
2 緊算子的譜論
3 自共軛算子的譜論
4 譜系與譜分解
習(xí)題五
附錄：等價(jià)關(guān)系 序集 Zorn引理
符號表
索引
參考文獻(xiàn)
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