《現(xiàn)代分析入門(mén)》從五個(gè)不同的側(cè)面, 介紹現(xiàn)代分析入門(mén)的基礎(chǔ)理論及其應(yīng)用, 主要講述三類抽象空間(距離空間、賦范線性空間、內(nèi)積空間)的結(jié)構(gòu)及性質(zhì), 有界線性算子與有界線性泛函的入門(mén)理論, 凸分析初步, 抽象分析初步, 非線性分析初步等內(nèi)容. 《現(xiàn)代分析入門(mén)》可用“突出基礎(chǔ), 強(qiáng)調(diào)應(yīng)用; 關(guān)注背景, 啟迪創(chuàng)新; 敘述簡(jiǎn)潔,視野開(kāi)闊”概括其特色.
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《現(xiàn)代分析入門(mén)》適用于數(shù)學(xué)專業(yè)的本科高年級(jí)學(xué)生、數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論碩士研究生、理工科相關(guān)專業(yè)的碩士研究生、青年教師以及自然科學(xué)工作者學(xué)習(xí)參考.
第1 章三類抽象空間的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)
精美絕倫的經(jīng)典分析奠基在歐幾里得空間這片古老沃土上,豐富多彩的現(xiàn)代分析卻需要與奇妙無(wú)比的抽象空間伴隨.數(shù)學(xué)家們建立抽象空間理論的內(nèi)在動(dòng)力來(lái)自兩個(gè)方面:其一是19世紀(jì)后期因更新數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而引發(fā)的公理化浪潮所推動(dòng);其二是源自數(shù)學(xué)家們?cè)噲D將經(jīng)典分析結(jié)果拓展到函數(shù)空間中的數(shù)學(xué)探索需要.所謂抽象空間,就是在其元素間規(guī)定了某種關(guān)系的集合,而這種關(guān)系通常借助于一組數(shù)學(xué)公理來(lái)刻畫(huà).本章僅介紹現(xiàn)代分析學(xué)中所涉及的三類最基本的抽象空間:距離空間、賦范線性空間與內(nèi)積空間.
1.1 距離空間的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)
1.1.1 距離空間的定義與例子
背景聚焦數(shù)學(xué)家們把日常生活中的距離概念的本質(zhì)屬性(距離三公理)抽象出來(lái)構(gòu)建抽象距離與距離空間的概念,他們引進(jìn)距離這種數(shù)學(xué)工具的目的,在于研究抽象空間的性質(zhì),并用于解決實(shí)際問(wèn)題.這方面的最初工作歸屬于法國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷歇(Fr′echet,1878—1973),他在1906年寫(xiě)的博士論文中將當(dāng)時(shí)來(lái)自微分方程和積分方程中函數(shù)族的概念統(tǒng)一表述為函數(shù)空間,并引入距離與極限概念,為泛函分析這門(mén)學(xué)科的誕生作出了開(kāi)創(chuàng)性工作.
1. 距離與收斂概念
定義1.1.1(距離空間)給定非空集合X.如果按照某一法則,對(duì)于X中的任意兩個(gè)元素x,y,都有唯一確定的實(shí)數(shù)d(x,y)與之對(duì)應(yīng),且滿足下述三條公理:
(1)d(x,y).0,而且d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y(非負(fù)性);
(2)d(x,y)=d(y,x)(對(duì)稱性);
(3)d(x,y).d(x,z)+d(z,y)(三角不等式),那么稱d是X上的距離函數(shù),并稱d(x,y)為x與y之間的距離.配備了距離d的集合X稱為一個(gè)距離空間(也稱度量空間),簡(jiǎn)記作(X,d).在不至于引起混淆的情形下可寫(xiě)作X(例如,常用的實(shí)數(shù)集R,二維實(shí)平面R2 等).給定距離空間(X,d),如果對(duì)于X中的非空子集Y,仍以X上的距離作為Y
上的距離,那么Y也是距離空間,并稱它為X的子空間,簡(jiǎn)記作(Y,d). (X,d).相關(guān)鏈接給定距離空間(X,d),可派生出下述相關(guān)概念:
(i)給定x0∈ X,r>0,稱點(diǎn)集B(x0,r)={x ∈ X|d(x,x0)
(ii)給定X的非空子集A,B,稱d(A,B)=inf{d(x,y)|x ∈ A,y ∈ B} 為集合A和B之間的距離.特別地,當(dāng)A為單點(diǎn)集{a} 時(shí),稱d({a},B)為點(diǎn)a到集合B的距離,并簡(jiǎn)記作d(a,B);徑; (iii)給定X的非空子集A,稱diam(A)=sup{d(x,y)|x,y ∈ A} 為集合A的直
(iv)給定X的非空子集A.如果存在X中的一個(gè)開(kāi)球B(x0,r). A, 則稱A
是X中的有界集(等價(jià)于diam(A)<+∞).定義1.1.2(收斂)設(shè)(X,d)是距離空間,{xn}. X, x0 ∈ X. 若
limd(xn,x0)=0,
n→∞
則稱點(diǎn)列{xn} 按距離d收斂于x0,記作limxn=x0或xnx0,并稱x0為點(diǎn)列{xn} 的極限. n→∞ → 相關(guān)鏈接由收斂定義及距離三角不等式不難證明下述命題成立:
(i) 距離空間中的收斂點(diǎn)列的極限必唯一;
(ii) 距離空間中的收斂點(diǎn)列必有界;
(iii)(四邊形不等式)給定距離空間(X,d),則.x,y,x1,y1∈ X 有
|d(x,y). d(x1,y1)| .d(x,x1)+d(y,y1);
(iv)在距離空間(X,d)中,若xn→ x0,yn→ y0,則
d(xn,yn)d(x0,y0);
→
(v)在距離空間(X,d)中,若A是X的非空子集,則.x,x0 ∈ X 有
|d(x,A). d(x0,A)| .d(x,x0).
證僅證(ii)與(v)為例.設(shè)距離空間(X,d)中的點(diǎn)列xnx0,對(duì)ε=1,存在N,當(dāng)n>N時(shí)有d(xn,x0)<1,于是當(dāng)n.1時(shí)有→
d(xn,x0)= α,
··· 即{xn}. B(x0,α),(ii)得證;由定義及三角不等式,對(duì).y ∈ A 有
d(x,A).d(x,y).d(x,x0)+d(x0,y),
兩邊關(guān)于y 取下確界及下確界的性質(zhì)可得
d(x,A).d(x,x0)+d(x0,A),
同理可得d(x0,A).d(x0,x)+d(x,A),再由對(duì)稱性,(v)得證.
2. 幾個(gè)具體例子
例1.1.1(離散距離空間)設(shè)X是一個(gè)任意的非空集合,規(guī)定
.1,x=y,
d(x,y)=.0,x=y.
不難驗(yàn)證(X,d)是距離空間,且(X,d)中的收斂點(diǎn)列必是常點(diǎn)列(從某一項(xiàng)開(kāi)始所
有的項(xiàng)都相同),這個(gè)距離空間通常稱為離散距離空間或平凡距離空間.
點(diǎn)評(píng)光從表面上看,例1.1.1似乎沒(méi)有多少實(shí)際意義,例如,在實(shí)數(shù)集上定義離散距離之后成為一個(gè)平凡的距離空間,在該空間中,實(shí)數(shù)理論中的許多精美理論完全喪失了.然而,這個(gè)簡(jiǎn)單的特例對(duì)研究距離空間的理論卻是很有用的.一方面它說(shuō)明在任何集合上都可以定義距離使其成為距離空間(普適性);另一方面它在構(gòu)造數(shù)學(xué)反例時(shí)常起重要作用(特殊性).特別地,利用它可以說(shuō)明歐幾里得空間的一些性質(zhì)在一般的距離空間中并非一定成立.當(dāng)然,我們更感興趣的是內(nèi)涵更為豐富的其他距離空間.
例1.1.2(n維歐氏空間)設(shè)Rn = {x=(ξ1,ξ2,,ξn)ξi∈ R, 1 . i . n}, 我
們規(guī)定··· |
.n.1/22
d2(x,y)=.|ξi . ηi| ,
i=1
其中x=(ξ1,ξ2,,ξn),y=(η1,η2,,ηn)∈ Rn . 利用柯西不等式
······
. n.2 . n n.
2
. aibi . . ai . bi 2
·
i=1i=1i=1
及定義1.1.1可推證d2是Rn 上的距離,通常稱(Rn,d2)為n維歐幾里得空間,并簡(jiǎn)記為Rn .進(jìn)一步,在Rn 上按d2收斂等價(jià)于按坐標(biāo)收斂.
例1.1.3(連續(xù)函數(shù)空間)設(shè)C[a,b]={x|x:[a,b]→ R 連續(xù)}, 規(guī)定
d(x,y)=max|x(t). y(t)|, .x,y ∈ C[a,b].
a.t.b
利用閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),不難證明d是C[a,b]上的距離,通常用C[a,b]表示距離空間(C[a,b],d).進(jìn)一步,在C[a,b]中點(diǎn)列{xn} 按距離d收斂于x0等價(jià)于連續(xù)函數(shù)列{xn} 在[a,b]上一致收斂于連續(xù)函數(shù)x0.
例1.1.4(實(shí)數(shù)列空間s)設(shè)s={x|x = {ξi},ξi ∈ R,i=1,2,···}, 規(guī)定
∞1 ξi . ηi
d(x,y)=.||,
i=12i · 1+ |ξi . ηi|
其中x = {ξi}, y = {ηi}∈ s. 利用函數(shù)
x
.(x)=1+ x
在[0,+∞)上的單調(diào)性或者絕對(duì)值三角不等式可證d是s上的距離;利用級(jí)數(shù)∞1x
. 2i 的收斂性及.(x)=1+ x 在[0,+∞)上的單調(diào)性可證在s上點(diǎn)列按d收斂
i=1
等價(jià)于按數(shù)列的各個(gè)坐標(biāo)收斂.
例1.1.5(可測(cè)函數(shù)空間S)設(shè)S={x|x:[a,b]→ R是Lebesgue可測(cè)函數(shù)}, 我們規(guī)定
d(x,y)=. [a,b]1+ |x(xt)(t.) . y(yt)(|t)dt,.x,y ∈ S. ||
利用函數(shù).(x)=1+ xx 在[0,+∞)上的單調(diào)性及Lebesgue積分的性質(zhì)可以證明d是S上的距離,而且S上的點(diǎn)列收斂等價(jià)于可測(cè)函數(shù)列依測(cè)度收斂.
1.1.2 距離空間中的點(diǎn)集構(gòu)造
本小節(jié)借助通常的幾何術(shù)語(yǔ),對(duì)距離空間中點(diǎn)集的構(gòu)造給出形象化的描述,建立若干基本概念,這些概念對(duì)于學(xué)習(xí)與研究泛函分析都是隨時(shí)用到的基本知識(shí).此外,這些基本概念的幾何直觀是極為明顯的,因此值得我們充分加以利用,但又必須注意不能用直觀想象來(lái)代替邏輯論證.
定義1.1.3設(shè)(X,d)是距離空間,A. X, x0 ∈ A.
(i) 若.δ>0使得B(x0,δ). A,則稱x0是A的內(nèi)點(diǎn);集合A的內(nèi)點(diǎn)全體記作A0 , 稱其為集合A 的內(nèi)核;
(ii) 若.δ>0,都有B(x0,δ)∩ A =,則稱x0為A的接觸點(diǎn);集合A的接觸點(diǎn)全體記作Aˉ, 稱其為A 的閉包;
(iii) 若.δ>0,都有B(x0,δ)∩ (A\{x0}) .=.,則稱x0為A的聚點(diǎn)(或極限點(diǎn));集合A的聚點(diǎn)全體記作A., 稱其為A 的導(dǎo)出集;
(iv) 若.δ>0,都有B(x0,δ)∩ A .=.且B(x0,δ)∩ AC .=.(其中AC 為A的補(bǔ)集),則稱x0為A的邊界點(diǎn);集合A的邊界點(diǎn)全體記作.A,稱其為A的邊界;
(v) 若A ˉ= A, 則稱A 為閉集; 若A = A0 ,則稱A為開(kāi)集.相關(guān)鏈接由定義1.1.3不難證明下述命題成立:
(i)在任何距離空間(X,d)中,.與X既是開(kāi)集又是閉集;
(ii)在離散距離空間(X,d)中,X的任何子集既是開(kāi)集也是閉集;
(iii) 距離空間中的任何開(kāi)球是開(kāi)集, 閉球是閉集;
(iv)距離空間(X,d)中的集合A是開(kāi)集當(dāng)且僅當(dāng)AC 是閉集;
(v)在距離空間中,開(kāi)集類關(guān)于有限交、任意并運(yùn)算封閉;閉集類關(guān)于有限并、任意交運(yùn)算封閉;
(vi)對(duì)于距離空間(X,d)中的任何集合A,都有A00 ˉ
= A0 ,A=A,A A.,
從而A0 是開(kāi)集, A ˉ 與A. 都是閉集.
證僅證(vi)為例x ∈ A0 , .δ>0使得B(x,δ). A. 任取y ∈ B(x,δ),令δ. = δ . d(x,y),則有B(y,δ.) . B(x,δ). A, 因此y ∈ A0 ,從而有B(x,δ). A0 , 因此x ∈ A00 ,于是有A0 . A00; A00 . A0 顯然,故A00 = A0 .
下證A . A 任取x ∈ A, 由定義.δ> 0, 可取y ∈ B(x,δ)∩ (A\{x}), 令ε = min{δ . d(x,y),d(x,y)},則有B(y,ε). B(x,δ)而且x/∈ B(y,ε),由y∈ A. 可取z ∈ B(y,ε)∩ (A\{y}), 此時(shí)必有z ∈ B(x,δ)∩ (A\{x}), 于是有x ∈ A.,這樣證得A . A 同理可證A = Aˉ. 證畢.
命題1.1.1(聚點(diǎn)等價(jià)刻畫(huà))設(shè)(X,d)是距離空間,A是X的非空子集,x0∈
X. 下列陳述相互等價(jià):
(1) x0 ∈ A.;
(2) .δ>0,B(x0,δ)∩ A 無(wú)限集;
(3) 存在兩兩互異的點(diǎn)列{xn}. A使得xnx0.
→
證(1)(2):若有B(x0,δ)∩ A = {x1,x2,,xn},可設(shè)x0/,
.···∈{x1,x2, ···
xn},令δ. = 1.i.n{d(xi,x0)},則B(x0,δ.) ∩ (A\{xn})=.,這與x0∈ A.矛盾;
min
(2)(3):令δn=1,歸納地,取xn∈ B(x0,δn)∩ (A\{x1,x2,,xn.1}),
.···
n=1,2,,則{xn} 兩兩互n異而且xnx0;
··· →
(3) .(1):顯然.證畢.
命題1.1.2(接觸點(diǎn)等價(jià)刻畫(huà))設(shè)(X,d)是距離空間,A是X的非空子集,x0∈ X. 下列陳述相互等價(jià):
(1) x0 ∈ Aˉ; (2) x0 ∈ A ∪ A.;
(3) 存在點(diǎn)列{xn}. A,使得xnx0;(4)d(x0,A)=0.證明留作練習(xí).→
命題1.1.3(運(yùn)算相互表示)設(shè)A是距離空間(X,d)中的非空子集.下述運(yùn)