第1 章緒論
現(xiàn)在大學正在嘗試開設一門新課程——新生研討課.這門課程的主要目的是引導學生進行探究式學習,為將來從事科學研究和更進一步的深入研究、探討打下堅實的基礎.因此在緒論中我們首先介紹新生研討課的特點和要求,其次介紹探究式學習的基本方法和一般理論,最后介紹數(shù)學學科的一些重要特點以及大學與中學的重要區(qū)別.
1.1 新生研討課的特點
新生研討課是為大學一年級剛入學的學生開設的,旨在引導學生研究性學習的一門課程.具體地說,本課程旨在使新生了解所學專業(yè),激發(fā)其求知欲、好奇心和研究興趣,培養(yǎng)其積極思考、討論和探究式學習的習慣,逐步形成創(chuàng)新思維能力,感受教授治學風范,營造學術氛圍,引導構建探索為本的新生研討課,促進課程教學改革.目前,各個大學都在嘗試探索,暫無統(tǒng)一的教學計劃.根據我們的教學經驗,新生研討課具有以下特點.
1.1.1 學習方式不太固定,但有發(fā)散式的思維
學習方式不太固定,但需要發(fā)散式的思維,學習與科學研究緊密結合,本書以引導學生探索和研究為目的,強調師生互動和學生自我學習,養(yǎng)成探究式學習的習慣,激發(fā)學生的探究式學習興趣和追求奮發(fā)向上的拼搏進取精神;在學習的過程中發(fā)現(xiàn)并提出一些問題,探討研究一些問題,回答解決一些問題,帶走留下一些問題;積極開展合作討論研究,參與科學研究,了解追求科研的探索過程,為今后開展高層次探究式學習、研究和鉆研探索打下堅實的基礎.
1.1.2 課程內容不太固定,但有豐富的資源
課程內容不太固定,但有豐富的資源,既有經典的內容,也有追蹤前沿研究問題,鼓勵交叉學科問題的探討,引導學生從中學知識出發(fā),很快走向現(xiàn)代國際前沿問題的研究探討.
例如,新生入學后比較迷茫,自然會思考大學和中學有什么不同？來大學干什么？很多同學不清楚大學的特點,以致高中時非常優(yōu)秀的學生到了大學后跟不上學習的要求,導致退學等現(xiàn)象經常發(fā)生.新生研討課應該解決這個問題,其中包括大學文化、專業(yè)導航、經歷認知、學習方法淺談、體會研究、引導互動等.如何學知識長文化？應該讀什么書？學科的名著(含名教材)、著名文章(著名雜志)是什么？數(shù)學是什么？從數(shù)學家的故事、數(shù)學史、數(shù)學學派以及數(shù)學文化等培養(yǎng)廣泛的數(shù)學學科興趣和愛好,開闊視野,激發(fā)學生的學習和研究興趣以及創(chuàng)新意識[1,3,4.7]. 
此外,如何進行研究性學習或探究式學習？一些研究性學習專題選講構成了本課程的主要內容.鑒于本科生剛入學,沒有高等數(shù)學的基礎,我們以基本的“不等式及其應用”專題選講作為主要內容來介紹研究性學習的基本過程和方法,建立中學知識和大學知識的銜接,逐漸引導學生學習探討大學數(shù)學中基本的不等式,追求高等數(shù)學的知識,引導學生進入大學課程的學習,帶領學生開展科學的研究.
1.1.3 授課方式不太固定,但有明確的教學安排
授課方式不太固定,但有明確的教學安排,既有教師講授,也有學生的分組總結和講解,鼓勵學生課堂上積極發(fā)言,提出問題討論或反駁,進行探索和研究.在探索和研究的教學過程中,激發(fā)學生的探索意識、求知欲、好奇心和學習興趣,提高學生的認知能力和創(chuàng)新思維的能力.
1.1.4 無傳統(tǒng)的考試考核,但有學習和創(chuàng)新能力的考核
不采用傳統(tǒng)的考試考核方式,但要考查學生探究式學習的能力和探索未知的創(chuàng)新能力,包括資料的收集和閱讀能力、視野的開拓能力、與同學和老師的合作與交流能力、看問題的反應能力、批判性的思考能力和反駁能力、課堂的講解交流表達能力,以及解決問題等綜合素質和能力.
1.2 新生研討課的要求
學生講授部分的要求：分組配發(fā)材料,看材料,查找文獻,掌握概念,想問題,合作探討研究,提出問題,產生創(chuàng)意,學知識,寫出總結,分組總結和講解,同組或其他小組提問或反駁,探討問題,特別要鼓勵同學們在課堂上提出問題并討論.
4個到5個學生一組,每組就參考教材、教師分發(fā)的材料或教師布置材料的相關內容中,針對某一問題或內容研討學習后在課堂上演講.例如,以一個不等式內容為例,學生研究講解內容包含:一個選題的引言,如為什么選擇這個不等式？這個不等式的產生歷史背景等;提出和陳述問題,自己給出將探索研究的問題的形式,如定理或結論;證明該結論,使用不同的方法給出定理或結論的證明;思考研究問題,給出問題的應用或推廣.
學生講解具體要求如下：
(1)4人到5人一組,自愿結合(分組定出組員名單).
1.3 探究式學習的基本方法3 


(2)每組撰寫一份探究式學習報告,內容范圍一般為某個專題,如不等式及其應用,專題可以自選內容,也可以在指定的參考教材如《不等式及其應用》[2,8]中,選擇適當內容,仔細閱讀,研究探討,查找相關資料,撰寫探究式學習報告,形成課堂講授教案,如,從中學的不等式出發(fā),探究一些不等式的發(fā)展史和建立這些不等式的數(shù)學家的事跡,探究這些不等式的各種形式,多種證明方法以及它們在高等數(shù)學中新的形式及其應用.


(3)每個小組做好電子版講義到課堂講解,要求每組中每人講解10分鐘,每組提出2個到3個需要討論的問題,讓大家一起討論;學生或老師進行課堂總結,提出新的問題留給學生研究.




考試可以采用考察的方式或計分的方式,考試計分可以按照如下方式計分：學生研究性學習報告占50%,課堂講授和討論發(fā)言占30%,練習2次占20%.
學生探究式學習報告是指學生針對教師和學生共同商討的學習研討資料而撰寫的專題研究性報告.探究式學習報告的撰寫格式要求,包括題目、摘要、關鍵詞、正文和參考文獻等.
1.3 探究式學習的基本方法
探究式學習的基本出發(fā)點是激發(fā)學生的求知欲、好奇心和研究興趣,培養(yǎng)其積極思考、討論和探究式學習的習慣,為將來從事科學研究打下堅實的基礎.因此,方法的學習或想法的啟發(fā)引導、刨根問底和打破砂鍋問到底的訓練、發(fā)散式思維或爆發(fā)式思維的培訓等都是新生研討課程永恒的主題！特別地,探究式學習的基本過程和方法包括以下幾點:
(1)當我們遇到問題時,應該干什么或如何下手？如何想問題或者思考問題？從什么角度解決這個問題？
什么是成功和失�。砍晒�就是嘗試的辦法行得通,克服了困難,找到了解決問題的辦法;失敗就是嘗試的辦法行不通,在嘗試的過程中允許失敗,事實上,很多成功都建立在無窮次的失敗之上,失敗是成功之母.經過不斷的失敗,不斷地總結失敗的經驗教訓,修改失敗的方法經驗,尋找失敗的原因,最后找出解決問題的辦法.
嘗試一些辦法碰碰運氣,或者失敗或者成功,這是我們遇到問題時首先應該能預料到的事情.
(2) 當找到一個解決問題的辦法時, 我們應該怎么做？
應該考慮我們是否能找到一些其他辦法來重新解決這個問題.這是我們鉆研探究問題的一個重要環(huán)節(jié)！
(3) 當解決問題后, 我們應該怎么做？
應該及時總結,回顧解決問題的整個過程,能明白為什么成功了？有哪些經驗和觀念值得我們記下來,這些經驗對數(shù)學學科的發(fā)展是否有貢獻？
這是我們鉆研探究問題的一個重要過程,對于更進一步的深層次探討研究是至關重要的.
我們將以不等式及其應用專題選講來介紹探究式學習的基本方法和規(guī)律,介紹教與學的一般規(guī)律.
本書中的不等式及其應用專題探究式學習報告,將從中學數(shù)學課程中基本的初等不等式出發(fā),導出大學數(shù)學中的一些重要不等式,探討這些不等式在偏微分方程、計算數(shù)學、概率論和組合數(shù)學等研究領域的應用.這些不等式包含完全平方、絕對值和均值等初等不等式,Cauchy不等式、Young不等式、Jensen不等式、冪平均不等式、伯努利不等式等大學數(shù)學中的重要不等式.這些內容為將來學習H¨older不等式、Minkowski不等式、Poincar′e不等式、Hardy不等式等高等不等式打下堅實的基礎.主要的內容和要求是探討這些不等式的初等幾何和高等證明,研究這些不等式在一些學科研究領域的應用,并了解建立這些不等式的偉人事跡及其背后的故事.本書與其他教材最大的不同之處,在于采用了啟發(fā)研討式撰寫方式,教會學生怎么學習和研究.
本書在數(shù)學文化部分告訴學生什么是數(shù)學、什么是數(shù)學修養(yǎng),以及數(shù)學家如何跌倒、如何在迷茫中摸索前行、如何從支零破碎中得到他們的成果,能使從事研究工作的新手鼓起勇氣.
應該指出,研究成果尤其是基礎理論研究成果的取得,需要經歷一個非常艱難而又漫長的道路,而且在取得創(chuàng)造性成果的過程中需要斗爭、掙扎,需要經歷無數(shù)次挫折和磨煉,甚至在這個過程中,可能幾乎沒有收獲(包括物質上的收獲),或者說這個過程完全是一個為理想和興趣而奮斗的過程.當然,社會會永遠記住你為它作出的貢獻,包括提供物質上和精神上的支持.學生一旦認識到這一點,他不但可以獲得真知灼見,還將獲得頑強地追逐他要解決問題的勇氣,并且不會因為自己的工作并非完美無缺而感到頹廢,就會以克服困難為興趣而工作！
1.4 數(shù)學學科與數(shù)學專業(yè)簡介
1.4.1 數(shù)學一級學科簡介
數(shù)學起源于遠古時期人類生產、獲取、分配、交易等活動中的計數(shù)、觀測、丈量等需求,并很早就成為研究天文、航海、力學的有力工具.17世紀以來,物理學、力學等學科的發(fā)展和工業(yè)技術的崛起,與數(shù)學的迅速發(fā)展形成了強有力的相互推動.到19世紀,已形成了分析、幾何、數(shù)論和代數(shù)等分支,概率已成為數(shù)學的研究對象,
1.4 數(shù)學學科與數(shù)學專業(yè)簡介5 


形式邏輯也逐步數(shù)學化.與此同時,在天體力學、彈性力學、流體力學、傳熱學、電磁學和統(tǒng)計物理中,數(shù)學成為不可缺少的定性描述語言和定量研究工具[9]. 
20世紀中,數(shù)學科學的迅猛發(fā)展,進一步確立了它在整個科學技術領域中的基礎和主導地位,并形成了當代數(shù)學的三個主要特征：數(shù)學內部各學科高度發(fā)展和相互之間不斷交叉、融合的趨勢;數(shù)學在其他領域中空前廣泛的滲透和應用;數(shù)學與信息科學技術之間巨大的相互促進作用.
數(shù)學與科學技術一直以來有著密切聯(lián)系,在20世紀中葉以后更是達到了新的高度.第二次世界大戰(zhàn)期間,數(shù)學在高速飛行、核武器設計、火炮控制、物資調運、密碼破譯和軍事運籌等方面發(fā)揮了重大的作用,并涌現(xiàn)了一批新的應用數(shù)學學科.其后,電子計算機的迅速發(fā)展和普及,特別是數(shù)字化的發(fā)展,使數(shù)學的應用范圍更為廣闊,在幾乎所有的學科和部門中得到了應用.數(shù)學技術已成為高技術中的一個極為重要的組成部分和思想庫.此外,數(shù)學在向外滲透的過程中,與其他學科交叉,形成了諸如計算機科學、系統(tǒng)科學、模糊數(shù)學、智能計算(其中相當部分也被稱為軟計算)、智能信息處理、金融數(shù)學、生物數(shù)學、經濟數(shù)學、數(shù)學生態(tài)學等一批新的交叉學科.
在21世紀,科學技術的突破日益依賴學科界限的打破和相互滲透,學科交叉已成為科技發(fā)展的顯著特征和前沿趨勢,數(shù)學也不例外.數(shù)學的各個學科分支之間交叉融合;數(shù)學與其他學科互相影響滲透.隨著實驗、觀測、計算和模擬技術與手段的不斷進步,數(shù)學作為定量研究的關鍵基礎和有力工具,數(shù)學在復雜系統(tǒng)研究和相關學科的交叉融合中起到不可替代的重要作用,在自然科學、工程技術和社會經濟等領域的發(fā)展研究中發(fā)揮著日益重要的作用.
數(shù)學是以形式化、嚴密化的邏輯推理方式,研究客觀世界中數(shù)量關系、空間形式及其運動、變化,以及更為一般的關系、結構、系統(tǒng)、模式等邏輯上可能的形態(tài)及其變化、擴展.數(shù)學的主要研究方法是邏輯推理,包括演繹推理與歸納推理.演繹推理是從一般性質對特定對象導出特定性質,歸納推理是從若干個個別對象的個別性質導出一般性質.
由于數(shù)量關系、空間形式及其變化是許多學科研究對象的基本性質,數(shù)學作為這些基本性質的嚴密表現(xiàn)形式,成為一種精確的科學語言,成為許多學科的基礎.20世紀,一方面,出現(xiàn)了一批新的數(shù)學學科分支,如泛函分析、拓撲學、數(shù)理邏輯等,創(chuàng)造出新的研究手段,擴大了研究對象,使學科呈現(xiàn)出抽象程度越來越高、分化越來越細的特點;另一方面,尤其是近二三十年來,不同分支學科的數(shù)學思想和方法相互交融滲透,許多高度抽象的概念、結構和理論,不僅成為數(shù)學內部聯(lián)系的紐帶,也已越來越多地成為科學技術領域廣泛適用的語言.
作為20世紀中影響最為深遠的科技成就之一,電子計算機的發(fā)明,本身也已充分展現(xiàn)了數(shù)學成果對人類文明的輝煌貢獻.從計算機的發(fā)明直到其最新的進展,數(shù)學都在起著關鍵性的作用;同時,在計算機的設計、制造、改進和使用過程中,也向數(shù)學提出了大量帶有挑戰(zhàn)性的問題,推動著數(shù)學本身的發(fā)展.計算機和軟件技術已成為數(shù)學研究新的強大手段,其飛速進步正在改變傳統(tǒng)意義下的數(shù)學研究模式,并將為數(shù)學的發(fā)展帶來難以預料的深刻變化.數(shù)值模擬、理論分析和科學實驗鼎足而立,已成為當代科學研究的三大支柱.
數(shù)學作為一種文化,是人類文明的重要基礎,它的產生和發(fā)展在人類文明的進程中起著重要的推動作用.數(shù)學作為最為嚴密的一種理性思維方式,對提高理性思維的能力具有重要的意義和作用.
數(shù)學與下列一級學科密切相關：信息與通信工程、控制科學與工程、計算機科學與技術、物理學、化學、天文學、生物學、系統(tǒng)科學、統(tǒng)計學、力學、社會經濟學、公共衛(wèi)生與預防醫(yī)學、藥學、軍事裝備學、管理科學與工程、科學技術史、教育學、心理學等. 
1.4.2 數(shù)學學科研究方向與專業(yè)簡介
數(shù)學科學按其內容可分成五個大學科：
(1)基礎數(shù)學(puremathematics);


(2)應用數(shù)學(appliedmathematics);


(3)計算數(shù)學(computationalmathematics);


(4)運籌學與控制論(operationalresearchandcontrol);


(5)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(probabilityandmathematicsstatistics).




國務院學科分類號：07理學;一級學科：0701數(shù)學;二級學科：070101基礎數(shù)學、070102計算數(shù)學、070103概率論與數(shù)理統(tǒng)計、070104應用數(shù)學、070105運籌學與控制論.
數(shù)學自身特色鮮明,自成體系,作為一級學科的數(shù)學是一個范圍廣闊、分支眾多、應用廣泛的科學體系,已構成包括基礎數(shù)學、計算數(shù)學、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、應用數(shù)學、運籌學與控制論、數(shù)學教育這6個研究方向.
1. 基礎數(shù)學
基礎數(shù)學又稱為純粹數(shù)學,是數(shù)學的核心.它的思想、方法和結論是整個數(shù)學科學的基礎,是自然科學、社會科學、工程技術等方面的思想庫.基礎數(shù)學包含數(shù)理邏輯、數(shù)論、代數(shù)、幾何、拓撲、函數(shù)論、泛函分析、微分方程等眾多的分支學科,并且還在源源不斷地產生新的研究領域,范圍異常廣泛,總體而言,遠遠超出了一般意義下的一個“研究方向”的研究范疇.
2. 計算數(shù)學
計算數(shù)學是研究對科學技術領域中數(shù)學問題進行數(shù)值求解,特別是電子計算