第1章　行　列　式
解方程是代數(shù)中一個基本的問題．在中學代數(shù)和解析幾何里 ,我們用消元法解過一元、二元、三元以及四元一次方程組．但是許多從理論和實際問題中導出的線性方程組常常含有相當多的未知量 ,并且未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)也不一定相等．本章和第4章是討論一般的多元一次方程組 ,即線性方程組．為此 ,首先介紹在討論線性方程組時要用到的一個有力工具 ———行列式．
11　二階與三階行列式
用消元法解二元一次方程組和三元一次方程組．
先看兩個簡單的例子．
解二元線性方程組 


A11 x1＋Ax＝b{ 12211＋Ax2＝b2(111 )
　　 A稱為 x的系數(shù) ,它有兩個下腳標(x21A指標 )22．前一個腳標 i表示它在第 i個方程 ,后一個
ij
j
腳標 j表示它是第 j個未知量的系數(shù) ,如A21 ,即是第二個方程中第一個未知量的系數(shù)．將上
述兩個式子兩端分別乘以 A相減消去方程組 (中x得()
b1A22－b2A12 22及A12 ,111 )2,A11 A22－A12 A21 x1＝ 
同樣地 ,消去 x得(11 )2＝A11 2－b1 21 
1,A22－xbA
因此 ,當D＝A11 A22－A12 A2A1≠0A時,21A12解得 


b1A22－A12 b2 A11 b2－A21 b1x1＝ A11 A22－A12 A21 ,　x2＝ A11 A22－A12 A21
A11 A12 
為了便于記憶 ,我們引進記號 A21 A22


＝A11 A22－A12 A21
稱為二階行列式 ,它含有兩行、兩列．二階行列式是這樣兩個項的代數(shù)和 :一個是在從左上角到右下角的對角線 (主對角線 )上兩個數(shù)的乘積 ,取正號 ;另一個是從右上角到左下角的對角線(次對角線 )上兩個數(shù)的乘積 ,取負號．譬如 ,
2－3
＝2×5－(－3)×1＝13
15
1 12 
根據(jù)以上記法 b1A22－A12 b2＝ bA
b2 A22 b1 A12 ,D1＝ b2 A22 
A11 b2－b1A21＝ A11 b1 ,A11 b1 A21 b2 
,則方程組 (111 )的解就可以
,D2＝ A21 b2 
如果記 D＝ A11 A12 A21 A22 
寫成
b1 A12 
A11 b1 
x1＝ b2 A22 
DA21 b2 A11 A12 ＝ D1,　x2＝ A11 A12 ＝D2 
DA21 A22
A21 A22
像這樣用行列式來表示解,規(guī)律性強,容易記憶．
例1　解線性方程組
{2x＋y＝7 
x－3y＝－2 
21
71
27解　這時D＝＝－7,D1＝＝－19,D2＝＝－11,因此,1－3
－2－3
1－2
所給方程組的唯一解是 
D1 －1919D2 －1111
x＝ D＝－7＝7,　y＝ D＝－7＝7
我們再來解三元線性方程組 
ìA11x1＋A12x2＋A13x3＝b1
.
. 
íA21x1＋A22x2＋A23x3＝b2 (112)


. 


.A31x1＋A32x2＋A33x3＝b3 看看如何用三階行列式表示它的解．
同上面一樣,用消元法,先從前面兩式消去x再從后兩式消去x得到只含xx2的二元線性方程組,再消去x2,就得到
3,3,1,
　(A11 22 33＋AAA13 21 32－11 23 32－12 21 33－13 22 31 x
AA12 23 31＋AAAAAAAAAAAA)1
＝b1A22A33＋A12A23b3＋A13b2A32－b1A23A32－A12b2A33－A13A22b3
時,得當x1系數(shù)不為零,即D＝A11A22A33＋A12A23A31＋A13A21A32－A11A23A32－A12A21A33－A13A22A31≠0
D(AA3＋AAAAAA)　
x1＝1 b1 22A33＋A12 23b13b2 32－b1 23A32－12b2 33－A13 22b3 
同理,可得 
x2＝1 AbA1 23 31＋AAbAAbbAAAbA)
D(11 2 33＋bAb13 21 3－11 23 3－121 33－13 231 
1()
x3＝DA11A22b3＋A12b2A31＋b1A21A32－A11b2A32－A12A21b3－b1A22A31 
這樣的式子很煩瑣,為了便于記憶,我們引進三階行列式記號
A11 A12 A13 　　D＝ A21 A22 A23 A31 A32 A33
＝A11AA33＋AAA31＋A13A21A32－A11A23A32－AAA33－AAA(113)三階行列式,它22含有三行、2312三列,共有32＝9個數(shù)．三階行12列21式的值13為如22式(113)所示31的六個項的代數(shù)和．下面的方法可以幫助記憶三階行列式值的計算．


或


實線上三個數(shù)的乘積構成的三項取正號,虛線上三個數(shù)乘積構成的三項都取負號．于D1 D2 D3
是,上面三元線性方程組的解x1,2,3就可以表示成x1＝ D,2＝ D,3＝ D,其中
xxxx
A11 A12 A13 D＝ A21 A22 A23 A31 A32 A33 A11 b1 A13 D2＝ A21 b2 A23 A31 b3 A33 
這種解結構與前面二階行列式的解的結構類似．ì2x－y＋z＝0,
.
. 
例2　解線性方程組í3x＋2y－5z＝1,
.


.x＋3y－2z＝4 解　此時 
2－11D＝
32－513－2
＝2×2×(－2)＋(－1)×(－5)×1＋1×3×3－1×2×1－(－5)×3×2－(－2)×3 
×(－1)＝28 0－11D1＝
12－543－2
b1 A12 A13 
,　D1＝ b2 A22 A23 b3 A32 A33 A11 A12 b1 
,　D3＝ A21 A22 b2 A31 A32 b3
＝13,　D2＝所以 x＝D1＝13y＝D2＝47z＝D3＝21＝3
20 12 －10 
31 －5＝47,　D3＝3 21＝21 
14 －21 34 


D28 ,D28 ,D284 
從上面二階、三階行列式的記法中可以看出行列式是一個數(shù) ,它們都是一些乘積的代數(shù)和,而每一項乘積都是由行列式中位于不同行且不同列的數(shù)構成 (二階行列式每一乘積項有2個因子 ,三階行列式每一乘積項有3個因子 );并且展開式恰恰就是由所有這種可能的乘積組成 (二階行列式有2!項乘積 ,三階行列式有3!項乘積 );此外 ,每一項乘積都帶有符號,這個符號的確定需要用到逆序數(shù)．
習　題　11
1．計算下列二階、三階行列式 
123
12


21
;　　　　　 (2)－11 


;
(1)13 


;　　　　　 (3)312
201(4)030
; 603 
A11 A12 A13 
2．證明 :A21 A22 A23 
A31 A32 A33 


111 (5)Abc ; 
A2 b2 c2 
A22 A23 
＝A11 
A32 A33
－A12 
231 x yx＋y 
．
(6) yx＋yx 
x＋y 
A21 A23 A31 A33
＋A13 
xy
A21 A22 
．
A31 A32
12　排列　逆序
我們已經學過 ,由1,n這n個數(shù)組成的一個有序數(shù)組稱為一個 n級(排列 ,并
2,,階)
n
且這樣的 n個數(shù)共可以組成 Pn＝n!個不同的排列．2,,
在數(shù)學中把考察的對象 ,例如 ,上面的1,n稱為元素．對于 n個不同的元素 ,規(guī)定各個元素之間有一個標準次序 ,特別地 ,我們把1,n這n個自然數(shù)規(guī)定由小到大的標準次序稱為自然排列 (一般也稱為標準排列 )．2,,
定義1　在一個 n階排列中 ,如果一個較大的數(shù)排在一個較小的數(shù)的前面 ,則稱這兩個數(shù)構成一個逆序．一個排列中所有逆序的總和稱為這個排列的逆序數(shù)．逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列 ,逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．
5
例如 ,由數(shù)字1,2,3,4,5共可以組成 P5＝5!＝120種不同的排列 ,45321和23514是其中的兩個排列 ,在45321中43 ,42 ,41 ,53 ,52 ,51 ,32 ,31 ,21是逆序 ,逆序數(shù)為9,為奇排列,23514的逆序為21 ,31 ,51 ,54 ,為偶排列．顯然 ,此時12345也為其中的一個排列 ,它是自然排列 ,其逆序數(shù)為0,也算作偶排列．
我們把一個排列的逆序數(shù)記為 τ,如τ(45321 )＝9．
把一個排列中某兩個數(shù)的位置交換 ,而其余的數(shù)不動 ,就得到另一個排列．這樣的一個變換稱為一個對換．例如 ,經過1,2對換 ,排列2431就變成了1432 ,排列2134就變成了1234．顯然 ,如果連續(xù)施行兩次相同的對換 ,那么 ,排列就還原了．
定理1　對換改變排列的奇偶性．
這就是說 ,經過一次對換 ,奇排列變成偶排列 ,偶排列變成奇排列．
證　(Ⅰ)先看一個特殊的情形 ,對換的兩個數(shù)在排列中是相鄰的情形．排列 


A,,A
b經過 Ab對換變成 b,這里 “”顯然 ,,而Ab兩
表示那些不動的數(shù) ,它們的逆序數(shù)經過 Ab對換后并不改變 ,,元素的逆序數(shù)改變?yōu)?:當A＜b時,A的逆序數(shù)增加1,當A＞b,
經對換后 ,而b的逆序數(shù)不變 ;經對換后 ,A的逆序數(shù)不變而 b的逆序數(shù)減小1．所以不論增加1還是減少1,其逆序數(shù)的奇偶性都改變． 
(Ⅱ)再看一般情形
設排列為 


Aiiib, 11 ),,,1,2,,s,(2
經Ab對換后 ,排列 (121 )變?yōu)?b,1,2 iA(,ii,,s,, 122 )不難看出 ,這樣一個對換可以經過一系列的相鄰對換來實現(xiàn) ,從式 (121 )出發(fā) ,把b與 
i對換 ,再與 i1對換 ,,即把 b經s＋1次相鄰位置的對換 ,式(121 )變?yōu)?Ai1 s123 )
ss-
,b,,,i, (再把式 (123 )中A一位一位向右 s次相鄰對換 ,即得式 (122 ),這樣 ,從式 (121 )變到式(122 )共經過了2s＋1次相鄰對換 ,而2s＋1為奇數(shù) ,故這樣對換的最終結果還是改變奇偶性．定理得證．
例　求排列24351的逆序數(shù)．解　排列24351中,1的逆序數(shù)是4個;2的逆序數(shù)是0個;3的逆序數(shù)是1個;4的逆序數(shù)是0個;5的逆序數(shù)是0個,所以排列24351的逆序數(shù)是 τ(24351 )＝5,為奇排列．推論1　奇排列調成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù) ,偶排列調成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)．證　由定理1知對換次數(shù)就是排列奇偶數(shù)的變化次數(shù) ,而標準排列為偶排列 (逆序數(shù)為0),因此知 ,推論成立．推論2　由1,n這n個數(shù)構成的所有排列中 (共n!個),奇偶排列各占一半 ,即各
為n2!個．2,,
證明留作練習 ,請讀者自證．
習　題　12
1按照順序從小到大為標準順序 ,求下列各排列的逆序數(shù) ,并決定其奇偶性． 
(1)4,1,3,2,5; 
(2)2,4,5,3,1,8,7,6; 


(3),－n2,,2,
nn1,－3,1; 
(4)6,2,7,4,5,3,1; 


(5)(n－n2),,2,n
1),(－3,1,
2證明:2,,奇偶排列各半．


由1,n這n個數(shù)構成的n!個排列中,
,,,,
　.3假設n個數(shù)碼的排列iii的逆序數(shù)為k,n,n1 2,1的逆序數(shù)．
1,2 n求排列ii－ii
13　n階行列式
定義1　設有n2個數(shù),排成n行n列 
A11 A12 A1n 
A21 A22 A2n 
. 
nn n
積,并冠以符號 (－1)
作出表中位于不同行且不同列的An1個A數(shù)的乘Aτ2,得到形如 
τ
(－1)1j12j2 Anjn的項,其中j1,,,j是1,n的排列,τ為這個排列的逆序數(shù)．由
AAjn2,,于這樣的排列共有n!個,因而形如(2－1)1 AjAj的項共有n!個,所有這n!項的代
τAj1 22 nn
數(shù)和 ∑ (－1)AAA稱為n階行列式,記作
τ1j12j2 njn
A11 A12 A1n D＝ A21 A22 A2n 
. An1 An2 An


τ
＝ ∑ (－1)A1 A2 An
jj1 j2 jnj1j2 n 
簡記為D＝Δ()(或記為Dt())數(shù)A稱為行列式 Δ()中的元素,或簡稱為元．這
A＝eiii
idA．A里,∑ 表示對j,,所有n級排列求和．
jjjj
jj1,j2 jn
1j2 n


當n＝1時,規(guī)定 A＝A．當n＝2,3時,按此定義與在1．1節(jié)中用對角線法則定義的二、三階行列式,顯然是一致的．注　四階或四階以上的行列式值的計算不能像二、三階行列式那樣直接用對角線法則計算．例1　計算行列式
30－10
020－1
0130－3001
解　這是一個四階行列式．計算的結果應該為4!＝24項的代數(shù)和,但是這個行列式的零元素較多,所以不為零的項就不多了．第一行能取A11＝3和A13＝－1,第二行僅能取A22＝2和A24＝－1．當取A11＝A22＝第三行必取A33＝3．第四行也僅有一種取法A44＝1．故
3,2時,這個行列式有 
33 44＝3×2×3×1＝18 A13A24A32A4A111＝(A22A－1)A×(－1)×1×(－3)＝－3