《中公版·2017考研數(shù)學：題海戰(zhàn)“數(shù)”800題·數(shù)學一》 考研數(shù)學（一）包含高等數(shù)學、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計三個科目，所占試卷分值比例分別為56%、22%、22%。本書按科目分為三篇，便于考生根據(jù)各個科目的特點有針對性地復習。 高等數(shù)學篇分為函數(shù)、極限、連續(xù)，一元函數(shù)微分學，一元函數(shù)積分學，向量代數(shù)和空間解析幾何，多元函數(shù)微分學，多元函數(shù)積分學，無窮級數(shù)，常微分方程，共八章。 線性代數(shù)篇分為行列式，矩陣，向量，線性方程組，矩陣的特征值和特征向量，二次型，共六章�！ 「怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計篇分為隨機事件和概率，隨機變量及其分布，多維隨機變量及其分布，隨機變量的數(shù)字特征，大數(shù)定律和中心極限定理，數(shù)理統(tǒng)計的基本概念，參數(shù)估計，假設檢驗，共八章�！ ≌拿恳徽碌牡谝徊糠质强荚噧�(nèi)容及要求，該部分嚴格貼合考研大綱。第二部是專項訓練，按照題型分為選擇題、填空題和解答題三部分，每道題目均按星級標記了難易程度，三顆星的題目均附有二維碼，考生可掃碼聽微課程，輕輕松松學數(shù)學。
考試內(nèi)容
函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形初等函數(shù)函數(shù)關系的建立
數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)函數(shù)的左極限和右極限無窮小量和無窮大量的概念及其關系無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較極限的四則運算極限存在的兩個準則：單調(diào)有界準則和夾逼準則兩個重要極限：
limx→0sinxx=1，limx→
第二篇線性代數(shù)
考試內(nèi)容
行列式的概念和基本性質(zhì)行列式按行(列)展開定理
考試要求
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)。
2.會應用行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開定理計算行列式。
1. (★☆☆)設2n階行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，則D＝()
(A)0。(B)a2。
(C)－a2。(D)na2。
2. (★★☆)四階行列式
a100b1
0a2b20
0b3a30
b400a4
的值等于()
(A)a1a2a3a4－b1b2b3b4。
(B)a1a2a3a4＋b1b2b3b4。
(C)(a1a2－b1b2)( a3a4－b3b4)。
(D)(a2a3－b2b3)(a1a4－b1b4)。
3. (★★☆)設A=a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33，B=2a11a13a11 a12
2a21a23a21 a22
2a31a33a31 a32，且A=m，則B=()
(A)m。 (B)－8m。
(C)2m。(D)－2m。
4. (★☆☆)α1，α2，α3，β1，β2均為四維列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且A=1，B=2，則A＋B=()
(A)9。(B)6。
(C)3。 (D)1。
名師講解
5.(★★★)設矩陣A=1020
0-200
-1010
0001，矩陣B滿足AB B A 2E=O，則B E=()
(A)-6。 (B)6。
(C)-112。 (D)112。
1.(★☆☆)設三階行列式D3的第二行元素分別為1、－2、3，對應的代數(shù)余子式分別為－3、2、1，則D3＝。
名師講解
2.(★★★)已知三階行列式a112a123a13
2a214a226a23
3a316a329a33=6，則a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33=。
名師講解
3.(★★★)行列式xyx y
yx yx
x yxy=。
4.(★★☆)設n階矩陣A＝122…2
222…2
223…2
222…n，則A＝。
5.(★☆☆)行列式9876
1223242
1233343
1234＝。
6.(★★☆)在xOy平面上，平面曲線方程y＝111
23x
49x2，則平面曲線與x軸的交點坐標是。
7. （★☆☆）設A=(α1,α2,α3)是三階矩陣，且A=4。若B=(α1－3α2 2α3,α2－2α3,2α2 α3)，則B=。
名師講解
8.(★★★)已知A，B，C都是行列式值為2的三階矩陣，則D＝O-A
23B-1C=。
9.（★☆☆）設A為奇數(shù)階矩陣，且AAT=ATA=E。若A>0，則A－E=。
10. (★☆☆)設A，B是三階矩陣，滿足AB＝A－B，其中B＝-211
1-21
11-2，則A＋E＝。
11.（★★☆）已知A為三階方陣，A2－A－2E=O，且0<5，則A 2E=。
12.（★☆☆）設三階方陣A與B相似，且2E A=0。已知λ1=1，λ2=－1是方陣B的兩個特征值，則A 2AB=。
1. (★☆☆)設n階矩陣A=2a1
a22a
1
a22a。
證明:行列式A=(n 1)an。
2. (★★☆)證明：x-10…00
0x-1…00
000…x-1
a0a1a2…an-1an=anxn an-1xn-1 … a1x a0。
3. （★★☆）計算n階行列式α βα0…00
βα βα…00
0βα β…00
000…α βα
000…βα β，其中α≠β。
4. （★★☆）計算行列式Dn=1 a21a1a2…a1an－1a1an
a2a12 a22…a2an－1a2an
an－1a1an－1a2…(n－1) a2n－1an－1an
ana1ana2…anan－1n a2n。
名師講解
5. (★★★)計算D2n=anbn
a1b1
c1d1
cndn ，其中未寫出的元素都是0。
(一)選擇題
1.【答案】A
【解析】按這一列展開，D＝a1jA1j＋ a2jA2j＋…＋a2njA2nj＝aA1j＋aA2j＋…＋aA2nj，并注意到這一列元素的代數(shù)余子式中有n個為a，n個為－a，從而行列式的值為零。所以應選A。
2.【答案】D
【解析】將此行列式按第一行展開，
原式=a1a2b20
b3a30
00a4－b10a2b2
0b3a3
b400=(a1a4－b1b4)a2b2
b3a3
=(a1a4－b1b4)(a2a3－b2b3)，
所以選D。
3.【答案】D
【解析】 方法一：
B=2a11a13a11 a12
2a21a23a21 a22
2a31a33a31 a32＝2a11a13a11 a12
a21a23a21 a22
a31a33a31 a32＝2a11a13a12
a21a23a22
a31a33a32
＝-2a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33＝-2A=-2m。
方法二：將行列式A的第一列加到第二列上，再將第二、三列互換，之后第一列乘以2就可以得到行列式B。由行列式的性質(zhì)知B=-2A=-2m。
4.【答案】B
【解析】方法一：由矩陣加法公式，得A B=(α1 α3，α2 α1，α3 α2，β1 β2)，結(jié)合行列式的性質(zhì)有
A B=α1 α3，α2 α1，α3 α2，β1 β2
=2(α1 α2 α3),α2 α1,α3 α2,β1 β2
=2α1 α2 α3,α2 α1,α3 α2,β1 β2
=2α1 α2 α3,-α3,-α1,β1 β2
=2α2,-α3,-α1,β1 β2
=2α1,α2,α3,β1 β2
=2(A B)=6。
方法二：
A B=α1 α3,α2 α1,α3 α2,β1 β2=(α1,α2,α3,β1 β2)1100
0110
1010
0001
=α1,α2,α3,β1 β21100
0110
1010
0001=2(A B)=6。
5.【答案】C
【解析】化簡矩陣方程，構(gòu)造B E，用因式分解法，則有
A(B E) (B E)=-E,即(A E)(B E)=-E,
兩邊取行列式，由行列式乘法公式得
A E·B E=1,
又A E=2020
0-100
-1020
0002=2202
0-10
-102=-12,故B E=-112，因此選C。
(二)填空題
1.【答案】－4
【解析】根據(jù)行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素與其相應的代數(shù)余子式乘積之和,故
D3=a21A21 a22A22 a23A23=1×(-3) (-2)×2 3×1=-4。
2.【答案】16
【解析】結(jié)合行列式的性質(zhì)：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面，即
a112a123a13
2a214a226a23
3a316a329a33=2×3×a112a123a13
a212a223a23
a312a323a33=2×3×2×3×a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33=6,
所以a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33=16 。
3.【答案】－2(x3＋y3)
【解析】將后兩列加到第一列上
xyx y
yx yx
x yxy=2x 2yyx y
2x 2yx yx
2x 2yxy=2(x y)1yx y
1x yx
1xy
=2(x y)1yx y
0x-y
0x-y-x=2(x y)x-y
x-y-x
=-2(x3 y3)。
4.【答案】－2(n－2)！
【解析】把第二行所有元素乘以－1加到其他各行所對應的元素上，再將第一行所有元素乘以2加到第二行相應的元素上，可得
A＝-100…0
222…2
001…0
000…n-2=-100…0
022…2
001…0
000…n-2=-2(n-2)!。
5.【答案】120
【解析】將行列式第四行的各元素加到第一行相應元素上后，提出公因子10，然后將第四行逐行換至第二行，即
原式=101111
1223242
1233343
1234=101111
1234
1223242
1233343
=10(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=120。
6.【答案】(2,0)，(3,0)
【解析】曲線y＝111
23x
49x2與x軸(即y＝0)的交點為方程組y=111
23x
49x2，
y=0的解，行列式111
23x
49x2為范德蒙德行列式，即有y=111
23x
2232x2=(3-2)(x-2)(x-3)＝0，解得x＝2或3，故曲線與x軸的交點坐標為(2,0)，(3,0)。
7.【答案】20
【解析】方法一：利用行列式的性質(zhì)
B=α1－3α2 2α3,α2－2α3,5α3=5α1－3α2 2α3,α2－2α3,α3
=5α1－3α2,α2,α3=5α1,α2,α3=5A=20。
方法二：
B=(α1－3α2 2α3,α2－2α3,2α2 α3)=(α1,α2,α3)100
－312
2－21，
所以B=A·100
－312
2－21=4×5=20。
8.【答案】278
【解析】根據(jù)拉普拉斯展開式，得
D=(-1)3×3-A23B-1=-(-1)3A32B-1=2×3231B=278 。
9.【答案】0
【解析】A－E=A－AAT=A(E－AT)=A·E－AT=A·E－A。
由AAT=ATA=E，可知A2=1，因為A>0，所以A=1，即A－E=E－A。
又A為奇數(shù)階矩陣，所以E－A=－(A－E)=－A－E=－E－A，故A－E=0。
10.【答案】116
【解析】由題設，AB＝A－B，則(A＋E)(E－B)＝E，因此
A＋E＝1E-B=13-1-1
-13-1
-1-13=116。
11.【答案】4
【解析】設A的特征值λi對應的特征向量是xi (xi≠0，i=1,2,3)，則Axi=λxi。
由A2－A－2E=O可知，特征向量xi滿足(A2－A－2E)xi=0，從而有λi2－λi－2=0，解得λi=－1或λi=2。再根據(jù)A=λ1λ2λ3及0<5可得，λ1=λ2=－1，λ3=2。
由Axi=λxi可得(A 2E)xi=(λi 2)xi，即A 2E的特征值μi (i=1,2,3)滿足μi=λi 2，所以μ1=μ2=1，μ3=4，故A 2E=1×1×4=4。
12.【答案】18
【解析】由2E A=0，可得－2E－A=0，即λ=－2是A的一個特征值。
因A與B相似，且由相似矩陣具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=－1也是A的特征值，所以A、B的特征值均為λ1=1，λ2=－1，λ3=－2，則E 2B的三個特征值分別為3，－1，－3。從而可得A=λ1λ2λ3=2，E 2B=3×(－1)×(－3)=9，故
A 2AB=A(E 2B)=A·E 2B=18。
(三)解答題
1.【解析】方法一：數(shù)學歸納法。
記Dn=A＝2a1
a22a1
a22a1
a22a1
a22an,
以下用數(shù)學歸納法證明Dn=(n 1)an。
當n=1時，D1=2a，結(jié)論成立。
當n=2時，D2=2a1
a22a=3a2，結(jié)論成立。
假設結(jié)論對小于n的情況成立,將Dn按第一行展開，則有
Dn=2aDn-1-a21
02a1
a22a1
a22a1
a22an-1=2aDn-1-a2Dn-2
=2anan-1-a2(n-1)an-2=(n 1)an，
故A=(n 1)an。
方法二：消元法。
A=2a1
a22a1
a22a1
a22a1
a22anr2-12ar12a1
032a1
a22a1
a22a1
a22an
r3-23ar22a1
032a1
043a1
a22a1
a22a1
a22an=…
rn-n-1narn-12a1
032a1
043a1
0nn-1a1
0n 1nan=(n 1)an。
2.【解析】本題可利用遞推法證明。
記Dn=x-1…00
00…x-1
a1a2…an-1an,則
左邊=xDn (-1)n 2a0-10…0
x-1…0
0…x-1=xDn (-1)2n 2a0=xDn a0。
顯然D1=an，根據(jù)上面的結(jié)論有
左邊=xDn a0=x(xDn-1 a1) a0=x2Dn-1 xa1 a0=…
=xnD1 an-1xn-1 … a1x a0=anxn an-1xn-1 … a1x a0＝右邊,
所以，命題成立。
3.【解析】令Dn=α βα0…00
βα βα…00
0βα β…00
000…α βα
000…βα β，
則將該行列式按第一行展開得
Dn=(α β)Dn－1－αβα…00
0α β…00
00…α βα
00…βα β(n－1)×(n－1)，
再將上式中后面的n－1階行列式按照第一列展開得Dn=(α β)Dn－1－αβDn－2，則
Dn－αDn－1=β(Dn－1－αDn－2)=β2(D
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