目錄
前言
第1章 Birkho仔系統(tǒng)動(dòng)力學(xué) 1
1.1 Birkhoff方程和Pfaff-Birkhoff原理 1
1.1.1 Birkhoff方程 1
1.1.2 Pfaff-Birkhoff原理 2
1.1.3 Birkhoff函數(shù)的構(gòu)造 2
1.2 完整力學(xué)系統(tǒng)的Birkhoff動(dòng)力學(xué) 7
1. 2.1 特殊完整系統(tǒng)的Birkhoff動(dòng)力學(xué) 7
1.2.2 一般完整系統(tǒng)的Birkhoff動(dòng)力學(xué) 8
1.3 非完整力學(xué)系統(tǒng)的Birkhoff動(dòng)力學(xué) 9
1. 3.1 特殊非完整系統(tǒng)的Birkhoff動(dòng)力學(xué) 10
1.3.2 一般非完整系統(tǒng)的Birkhoff動(dòng)力學(xué) 10
1.3.3 高階非完整系統(tǒng)的Birkhoff動(dòng)力學(xué) 14
1.4 Birkhoff系統(tǒng)的積分理論 14
1.4.1 Birkhoff方程的變換理論 14
1.4.2 Birkhoff系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量 15
1.4.3 Birkhoff系統(tǒng)的Poisson積分法 19
1.4.4 積分Birkhoff方程的場方法 22
1.4.5 積分Birkhoff萬程的勢(shì)積分方法 24
1.5 Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)逆問題 25
1.5.1 Birkhoff方程的建立問題 25
1.5.2 Birkhoff系統(tǒng)的對(duì)稱性與動(dòng)力學(xué)逆問題 26
1.5.3 根據(jù)Pfaff-Birkhoff-d'Alembert原理組成運(yùn)動(dòng)方程 27
1.5.4 廣義Poisson方法與動(dòng)力學(xué)逆問題 27
1.6 Birkhoff系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性 28
1.6.1 Birkhoff系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性 28
1.6.2 Birkhoff系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性 29
參考文獻(xiàn) 29
第2章 廣義Pfaff-Birkhoff原理和廣義Birkhoff方程 30
2.1 Pfaff-Birkhoff原理的推廣 30
2.1.1 Hamilton原理的推廣 30
2.1.2 Pfaff-Birkhoff原理的推廣 30
2.2 廣義Birkhoff方程 31
2.2.1 廣義Pfaff-Birkhoff-d'Alembert原理 31
2.2.2 廣義Birkhoff方程 32
2.3 廣義Birkhoff系統(tǒng)的兩類積分和降階法 34
2.3.1 類能量積分 34
2.3.2 類循環(huán)積分 34
2.3.3 利用類循環(huán)積分的降階法 36
2.3.4 利用類能量積分的降階法 38
2.4 廣義Birkhoff系統(tǒng)的時(shí)間積分定理 42
2.4.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的時(shí)間積分等式 42
2.4.2 導(dǎo)出類功率方程 42
2.4.3 導(dǎo)出類維里定理 43
2.4.4 導(dǎo)出積分變分原理和微分變分原理 44
2.5 廣義Birkhoff系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng) 45
2.5.1 系統(tǒng)的隨機(jī)微分方程 45
2.5.2 Ito方程和矩方程 46
2.6 廣義Birkhoff系統(tǒng)與約束Birkhoff系統(tǒng) 50
2.6.1 約束Birkhoff系統(tǒng) 50
2.6.2 廣義Birkhoff系統(tǒng)與約束Birkhoff系統(tǒng) 51
參考文獻(xiàn) 52
第3章 廣義Birkhoff系統(tǒng)的積分方法I 54
3.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的代數(shù)結(jié)構(gòu) 54
3.1.1 廣義Birkhoff方程的逆變代數(shù)形式 54
3.1.2 廣義Birkhoff方程的代數(shù)結(jié)構(gòu) 55
3.2 Poisson積分方法 55
3.2.1 廣義Poisson條件 55
3.2.2 由已知積分生成新的積分 56
3.3 Poisson方法的應(yīng)用 57
3.3.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的兩類積分 57
3.3.2 Poisson方法應(yīng)用舉例 59
參考文獻(xiàn) 64
第4章 廣義Birkhoff系統(tǒng)的積分方法II 65
4.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與Noether守恒量 65
4.1.1 Pfaff作用量的變分 65
4.1.2 對(duì)稱變換 準(zhǔn)對(duì)稱變換和廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換 66
4.1.3 廣義Killing方程 67
4.1.4 廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理 68
4.2 廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與Hojman型守恒量 70
4.2.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性 70
4.2.2 Hojman定理的推廣 71
4.3 廣義Birkhoff系統(tǒng)的形式不變性與新型守恒量 74
4.3.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的形式不變性 74
4.3.2 形式不變性直接導(dǎo)致的新型守恒量 75
4.4 廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與Hojman型守恒量 78
4.4.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與Lie對(duì)稱性 78
4.4.2 Noether對(duì)稱性間接導(dǎo)致的Hojman型守恒量 78
4.5 廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與新型守恒量 81
4.5.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與形式不變性 81
4.5.2 Noether對(duì)稱性間接導(dǎo)致的新型守恒量 81
4.6 廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與Noether守恒量 83
4.6.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與Noether對(duì)稱性 83
4.6.2 Lie對(duì)稱性間接導(dǎo)致的Noether守恒量 83
4.7 廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與新型守恒量 85
4.7.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與形式不變性 85
4.7.2 Lie對(duì)稱性間接導(dǎo)致的新型守恒量 85
4.8 廣義Birkhoff系統(tǒng)的形式不變性與Noether守恒量 87
4.8.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的形式不變性與Noether對(duì)稱性 87
4.8.2 形式不變性間接導(dǎo)致的Noether守恒量 87
4.9 廣義Birkhoff系統(tǒng)的形式不變性與Hojman型守恒量 89
4.9.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的形式不變性與Lie對(duì)稱性 89
4.9.2 形式不變性間接導(dǎo)致的Hojman型守恒量 89
參考文獻(xiàn) 91
第5章 廣義Birkhoff系統(tǒng)的積分方法III 92
5.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的弱Noether對(duì)稱性與Noether守恒量 92
5.1.1 弱Noether對(duì)稱性的定義和判據(jù) 92
5.1.2 弱Noether對(duì)稱性導(dǎo)致的Noether守恒量 94
5.2 廣義Birkhoff系統(tǒng)的弱Noether對(duì)稱性與Hojman型守恒量 98
5.2.1 弱Noether對(duì)稱性與Lie對(duì)稱性 98
5.2.2 弱Noether對(duì)稱性導(dǎo)致的Hojman型守恒量 99
5.3 廣義Birkhoff系統(tǒng)的弱Noether對(duì)稱性與新型守恒量 100
5.3.1 弱Noether對(duì)稱性與形式不變性 100
5.3.2 弱Noether對(duì)稱性與新型守恒量 101
5.4 廣義Birkhoff系統(tǒng)的Birkhoff對(duì)稱性 102
5.4.1 系統(tǒng)Birkhoff對(duì)稱性的定義和判據(jù) 102
5.4.2 Birkhoff對(duì)稱性導(dǎo)致的守恒量 103
5.5 廣義Birkhoff系統(tǒng)的共形不變性 108
5.5.1 系統(tǒng)的共形不變性與Lie對(duì)稱性 108
5.5.2 共形不變性導(dǎo)致的Hojman型守恒量 111
5.5.3 共形不變性導(dǎo)致的Noether守恒量 113
5.6 廣義Birkhoff系統(tǒng)對(duì)稱性攝動(dòng)與絕熱不變量 114
5.6.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的攝動(dòng) 115
5.6.2 廣義Birkhoff系統(tǒng)的絕熱不變量 115
5.7 廣義Birkhoff系統(tǒng)的積分不變量 117
5.7.1 系統(tǒng)存在積分不變量的條件 117
5.7.2 系統(tǒng)的線性積分不變量 118
5.7.3 系統(tǒng)的通用積分不變量 119
5.7.4 系統(tǒng)的二階絕對(duì)積分不變量 119
5.7.5 由積分生成積分不變量 120
5.8 廣義Birkhoff系統(tǒng)的無限小正則變換與積分 121
5.8.1 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 122
5.8.2 Birkhoff系統(tǒng)的無限小正則變換與積分 122
5.8.3 系統(tǒng)的無限小正則變換與積分 123
參考文獻(xiàn) 125
第6章 廣義Birkhoff系統(tǒng)的積分方法IV 127
6.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的場積分方法 127
6.1.1 場積分方法 127
6.1.2 廣義Birkhoff方程的場積分方法 128
6.2 廣義Birkhoff系統(tǒng)的勢(shì)積分方法 134
6.2.1 勢(shì)積分方法 134
6.2.2 廣義Birkhoff方程的勢(shì)積分方法 134
6.3 Jacobi最終乘子法 136
6.3.1 最終乘子 136
6.3.2 廣義Birkhoff系統(tǒng)的最終乘子 138
6.3.3 最終乘子法的應(yīng)用 139
參考文獻(xiàn) 144
第7章 二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的定性理論 145
7.1 二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的奇點(diǎn)類型 145
7.1.1 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程和奇點(diǎn)方程 145
7.1.2 用線性近似系統(tǒng)判斷系統(tǒng)的奇點(diǎn) 147
7.1.3 用Birkhoff函數(shù)判斷系統(tǒng)的奇點(diǎn) 149
7.1.4 對(duì)稱原理 150
7.1.5 關(guān)于平衡穩(wěn)定性 151
7.2 二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形 151
7.2.1 雙曲平衡點(diǎn) 151
7.2.2 穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形 152
7.2.3 無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)和全局結(jié)構(gòu) 153
7.3 平衡點(diǎn)分岔 156
7.3.1 極限點(diǎn)分岔 156
7.3.2 跨臨界分岔 157
7.3.3 叉形分岔 157
參考文獻(xiàn) 157
第8章 廣義Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)逆問題 158
8.1 根據(jù)系統(tǒng)的給定運(yùn)動(dòng)性質(zhì)來建立廣義Birkhoff方程 158
8.1.1 逆問題的提法 158
8.1.2 逆問題的解法 158
8.2 運(yùn)動(dòng)方程的修改 162
8.2.1 逆問題的提法 162
8.2.2 逆問題的解法 162
8.3 運(yùn)動(dòng)方程的封閉 166
8.3.1 逆問題的提法 166
8.3.2 逆問題的解法 166
8.4 廣義Birkhoff系統(tǒng)的對(duì)稱性與動(dòng)力學(xué)逆問題 167
8.4.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性 168
8.4.2 逆問題的第一種提法和解法 169
8.4.3 逆問題的第二種提法和解法 172
8.4.4 逆問題的第三種提法和解法 173
8.5 根據(jù)微分變分原理組建運(yùn)動(dòng)方程 174
8.5.1 微分變分原理 175
8.5.2 逆問題的提法和解法 175
8.6 廣義Poisson方法與動(dòng)力學(xué)逆問題 177
8.6.1 廣義Poisson條件 177
8.6.2 逆問題的提法和解法 177
參考文獻(xiàn) 179
第9章 廣義Birkhoff系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性 181
9.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性 181
9.1.1 廣義Birkhoff系統(tǒng)的平衡方程 181
9.1.2 廣義Birkhoff系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)方程和一次近似方程 182
9.1.3 平衡穩(wěn)定性的一次近似方法 183
9.1.4 平衡穩(wěn)定性的直接法 185
9.2 相對(duì)部分變量的平衡穩(wěn)定性 190
9.2.1 關(guān)于部分變量穩(wěn)定性的基本定理 190
9.2.2 對(duì)廣義Birkhoff系統(tǒng)的應(yīng)用 190
9.3 平衡狀態(tài)流形的穩(wěn)定性 191
9.3.1 基本定理 191
9.3.2 對(duì)廣義Birkhoff系統(tǒng)的應(yīng)用 192
9.4 廣義Birkhoff系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性 193
9.4.1 系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)方程和一次近似方程 194
9.4.2 運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一次近似方法 194
9.4.3 運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的直接法 195
9.5 廣義Birkhoff系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性 199
9.5.1 自治系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性 199
9.5.2 二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性 200
9.6 梯度表示與穩(wěn)定性 202
9.6.1 梯度系統(tǒng) 202
9.6.2 廣義Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示 203
9.6.3 穩(wěn)定性問題 203
參考文獻(xiàn) 205
索引 207