（修訂版）折紙?jiān)O(shè)計(jì)的秘密——折紙模型中的數(shù)學(xué)世界前言（修訂版）2006年在出版第1版《折紙?jiān)O(shè)計(jì)的秘密》后，我收到了許多讀者反饋。每學(xué)期我都會(huì)收到眾多讀者發(fā)來(lái)的郵件，他們?cè)��?jīng)通過(guò)這樣或那樣的途徑使用過(guò)這本書(shū)。在這些讀者之中，有的是大學(xué)教授，有的是中學(xué)教師。他們告訴我講授書(shū)中的某些章節(jié)時(shí)效果很好，或者告訴我他們有個(gè)好主意，又或者是某一種教學(xué)方式對(duì)學(xué)生很適用。還有些郵件來(lái)自學(xué)生，他們咨詢我對(duì)于正在嘗試的某個(gè)項(xiàng)目有何建議，或者希望獲得更多資源以便進(jìn)一步深入拓展。還有一些郵件來(lái)自熱愛(ài)折紙數(shù)學(xué)藝術(shù)的粉絲們，以及那些因?yàn)榇藭?shū)希望感謝我的人。 

       當(dāng)然，我自己也常常使用這本書(shū)。我在莫瑞麥克學(xué)院和西新英格蘭大學(xué)教授好幾門(mén)關(guān)于折紙數(shù)學(xué)的課程。每當(dāng)我教大學(xué)幾何、多變量微積分或圖論時(shí)，我都會(huì)從這本書(shū)中選取課程案例。 

       當(dāng)過(guò)老師的人都明白，教學(xué)活動(dòng)不是單向的，并不是說(shuō)信息單方面從老師流向?qū)W生，而更像是一種回饋式的互動(dòng)。在觀察學(xué)生們學(xué)會(huì)教材內(nèi)容并對(duì)其做出反應(yīng)的同時(shí)，教師們自身也會(huì)學(xué)習(xí)到很多新東西。因此，在收到讀者來(lái)信后，加上我多年來(lái)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，開(kāi)發(fā)一本新教材的想法很自然就產(chǎn)生了。與學(xué)生們和同事們的交流給我?guī)��?lái)了許多靈感。有時(shí)，學(xué)生們自己在網(wǎng)絡(luò)上或書(shū)本中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)折紙模型后，向我拋出關(guān)于這個(gè)模型的數(shù)學(xué)問(wèn)題。此外，在我打算出第2版書(shū)之前，我自己也已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了六七個(gè)折紙數(shù)學(xué)教材。當(dāng)我意識(shí)到這些后，我明白，出第2版書(shū)的時(shí)機(jī)已經(jīng)到了。 

        無(wú)論是自己激動(dòng)萬(wàn)分發(fā)現(xiàn)的新材料，還是其他人在使用第1版書(shū)時(shí)發(fā)現(xiàn)的新材料，無(wú)疑都是出版新書(shū)時(shí)令人開(kāi)心的一面。但同樣令人窘迫的是，任何一本包含大量信息而且被廣泛使用的書(shū)中小錯(cuò)誤總是難免的。大多數(shù)錯(cuò)誤（有些是我自己發(fā)現(xiàn)的）屬于拼寫(xiě)類(lèi)錯(cuò)誤或者是為了省略而造成了令人遺憾的錯(cuò)誤，這些都是很容易被發(fā)現(xiàn)并可以彌補(bǔ)的。然而，有些錯(cuò)誤屬于數(shù)學(xué)范疇，盡管第1版初稿經(jīng)過(guò)全國(guó)多所大學(xué)、學(xué)院教授及其學(xué)生們的詳盡測(cè)試，有些數(shù)學(xué)錯(cuò)誤仍然成為漏網(wǎng)之魚(yú)。 

       這些錯(cuò)誤中最糟糕的莫過(guò)于“五個(gè)交叉四面體”。第1版中關(guān)于這一課的解決方案已經(jīng)很接近完美，但并非百分之百的準(zhǔn)確。在第2版中對(duì)這個(gè)錯(cuò)誤進(jìn)行了更正，事實(shí)上，是給出了比第1版更為簡(jiǎn)捷的新方案。 

       在準(zhǔn)備出版《折紙?jiān)O(shè)計(jì)的秘密》（第2版）的過(guò)程中，我終于有機(jī)會(huì)用一種挑剔的眼光來(lái)重新通讀全書(shū)。我很高興，同時(shí)又很驚奇地發(fā)現(xiàn)，在本書(shū)第一次出版5年后的今天，我原先所堅(jiān)持的要用最簡(jiǎn)單的辦法來(lái)展示或教授這些教材的觀點(diǎn)已經(jīng)發(fā)生了改變。甚至是相對(duì)更為直截了當(dāng)?shù)卣故窘Y(jié)果，比如平頂點(diǎn)折疊的矩陣模型看起來(lái)也可能有所改善。就這樣，我對(duì)第1版中幾乎所有的課程教材都進(jìn)行了修訂，解決方案和教學(xué)法部分也在書(shū)中多處予以改進(jìn)。 

       以我個(gè)人的觀點(diǎn)，第2版比第1版更棒。不僅目錄從原先的22章擴(kuò)充到30章，新增加了100多頁(yè)內(nèi)容，我個(gè)人以及其他數(shù)十人（將在致謝中一一提及）這些年來(lái)的感受和經(jīng)驗(yàn)也大大完善了課程教材的許多內(nèi)容。我希望你也會(huì)同意這一點(diǎn)：這本書(shū)確實(shí)值得一讀！ 

      托馬斯·赫爾西新英格蘭大學(xué)馬薩諸塞州斯普林菲爾德市 

      我為什么寫(xiě)這本書(shū)？我希望本書(shū)能成為眾多關(guān)于折紙數(shù)學(xué)書(shū)籍中的第一選擇。此書(shū)源自我對(duì)折紙和數(shù)學(xué)這兩大主題的畢生熱愛(ài)。我從8歲便開(kāi)始接觸折紙，當(dāng)時(shí)叔叔送給了我一本折紙的指導(dǎo)書(shū)。盡管這本從日文翻譯過(guò)來(lái)的書(shū)中有很多地方語(yǔ)焉不詳，翻譯模糊，我還是設(shè)法琢磨出很多內(nèi)容，但由于各種原因，仍然有一些沒(méi)想明白。不過(guò)與此同時(shí)，我也意識(shí)到，我很擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)，尤其是從加法和乘法中發(fā)現(xiàn)的模式簡(jiǎn)單易記也很有趣。我還清楚地記得，正是在那些年里，我開(kāi)始注意到折紙和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。我折了一個(gè)動(dòng)物，可能是經(jīng)典的拍鳥(niǎo)。我沒(méi)有把它放在我那不斷增多的折疊模型盒子中，而是仔細(xì)地展開(kāi)它。在展開(kāi)的紙張上，折線的模式復(fù)雜又可愛(ài)。很顯然，在我看來(lái)，這其中蘊(yùn)藏著一些數(shù)學(xué)的東西。線條的模式必須遵循一些幾何規(guī)則。但在當(dāng)時(shí)，了解這些規(guī)則遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出我的理解能力。 

       上大學(xué)時(shí)，我再度與折紙和數(shù)學(xué)相遇。那時(shí)，我已精通復(fù)雜高水平的折紙，并且閱讀了大量書(shū)籍，包括John Montroll，Robert Lang，Jun Maekawa，以及Peter Engel的書(shū)（參見(jiàn)本書(shū)后的參考文獻(xiàn)［Eng89］，［Kas83］，［Lang95］，［Mon79］）。我參加過(guò)紐約市的一些折紙大會(huì)［由非營(yíng)利性組織主辦，現(xiàn)在被稱為“美國(guó)折紙協(xié)會(huì)”（Origami USA）］�…�Origami USA:美國(guó)折紙協(xié)會(huì)，甚至還自己發(fā)明了一些折紙?jiān)O(shè)計(jì)。我上過(guò)一些數(shù)學(xué)課，正在考慮以數(shù)學(xué)科學(xué)作為我的職業(yè)生涯。但就在這時(shí)發(fā)生了一件事，迫使我開(kāi)始思考和探索折紙與數(shù)學(xué)的交集。我得到了Kunihiko Kasahara和Toshie Takahama創(chuàng)作的一本經(jīng)典書(shū)《折紙鑒賞家》（參見(jiàn)［Kas87］）。起初，我以為這只是另一本復(fù)雜一些的折紙書(shū)。其實(shí)，我買(mǎi)它是因?yàn)槠渲邪�含了John Montroll的著名劍龍模型說(shuō)明（細(xì)節(jié)描述無(wú)可挑剔，由一張未經(jīng)裁剪的正方形紙做成）。當(dāng)時(shí)我一點(diǎn)也不知道，這本書(shū)其實(shí)還包含一些指導(dǎo)說(shuō)明，而這些會(huì)是在未來(lái)緊緊吸引我的興趣愛(ài)好，我仿佛上癮一般，沉迷其中數(shù)十小時(shí)。 

       這本書(shū)帶領(lǐng)我第一次接觸了模塊化折紙，將許多小方塊紙張折成相同的“組件”，接著將這些組件鎖定在一起，形成各種形狀�！墩奂堣b賞家》中的組件使人們可以做出所有正多面體的代表：立方體、四面體、八面體、十二面體和二十面體。而在此之前，我對(duì)這些物體只有大致的了解，但在我折疊了許多，有時(shí)甚至是上百個(gè)組件來(lái)制作這些正多面體和其他多面體后，我才逐漸熟悉了它們�？梢院敛豢鋸埖卣f(shuō)，模塊化折紙是我認(rèn)識(shí)多面體幾何物體的第一導(dǎo)師。 

       對(duì)我來(lái)說(shuō)，現(xiàn)在回想起來(lái)能很快就明白到底發(fā)生了什么事，而在當(dāng)時(shí)，我只知道自己對(duì)折紙感興趣，可以做一些具有漂亮幾何形狀的物體來(lái)裝飾我的宿舍。折紙教會(huì)了我，并且給了我一個(gè)環(huán)境，讓我去探索和掌握各種多面體的特性。比如，在每個(gè)頂點(diǎn)周?chē)�，我�?yīng)該如何安排一個(gè)個(gè)小組件，使之形成立方八面體？每種顏色的組件我需要多少個(gè)，才能做出三十二面體的有趣著色？從那以后直到在研究生院當(dāng)教授的多年間，我一直在盡我所能地收集一切和折紙數(shù)學(xué)相關(guān)的材料，先是在莫瑞麥克學(xué)院，后來(lái)是西新英格蘭大學(xué)。由于很多來(lái)源很難找到，或者僅僅是對(duì)潛在模式的暗示，所以我常常不得不自己做研究，把這些零星碎片拼在一起。在此過(guò)程中，我看到折紙與各種各樣數(shù)學(xué)主題的交集，從更明顯的幾何領(lǐng)域到代數(shù)、數(shù)論和組合。似乎我了解的越多，折紙與數(shù)學(xué)重疊的領(lǐng)域也就越多。 

       在收集折紙數(shù)學(xué)材料的同時(shí)，我開(kāi)始向大學(xué)生、高中生，以及他們的老師做關(guān)于這一主題的講座。自那以后，他們對(duì)折紙作為數(shù)學(xué)教學(xué)工具的興趣變得非常濃厚。老師們會(huì)經(jīng)常問(wèn)我，他們可以在哪里找到如何在他們班的課堂上使用折紙的詳細(xì)信息。后來(lái)出了幾本書(shū)，如參考文獻(xiàn)［Fra99］，提供了一些方式，可以使用模塊化折紙來(lái)教授幾何概念，但這些都不是針對(duì)大學(xué)水平做的，也沒(méi)有觸及折紙能夠提供的各類(lèi)主題。 

      因此，我寫(xiě)了這本書(shū)。我的目標(biāo)是將我所發(fā)現(xiàn)的很多數(shù)學(xué)折紙內(nèi)容編輯在一起，將它們按照一種比較容易讓大學(xué)或高中教師在課堂上使用的方式加以呈現(xiàn)。 

      如何使用這本書(shū)本書(shū)包含內(nèi)容涵蓋了多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域。出書(shū)的目的是讓數(shù)學(xué)老師能找到可用的教材，不管是教大學(xué)還是教高中課程。每一章一開(kāi)始是可能適合的課程列表。 

      但很重要的一點(diǎn)是，必須認(rèn)識(shí)到許多教材都可以有效應(yīng)用于不同水平的課程之中。例如，角三等分的活動(dòng)在高中幾何教師之間已經(jīng)非常普及，但它同樣也可以用在高等水平的伽羅瓦理論課程中。PHiZZ單元巴基球的活動(dòng)對(duì)于“文科數(shù)學(xué)”的學(xué)生而言是一個(gè)很好的拓展項(xiàng)目，并為學(xué)習(xí)圖論的學(xué)生提供了手把手的教學(xué)方式，可以來(lái)探索三邊著色立方平面圖和四色定理之間的聯(lián)系，更不要說(shuō)還有機(jī)會(huì)在更高水平的幾何課上對(duì)曲面進(jìn)行分類(lèi)。 

      總之，這本書(shū)及其應(yīng)用的一大關(guān)鍵詞就是靈活性。每一章都附有講義，可以復(fù)印給學(xué)生們使用，還包括為老師提供的關(guān)于解決方案的注釋、如何使用講義、對(duì)教學(xué)法的建議，以及可以進(jìn)一步采取的方向。