本書共5章：第1章介紹面型與點(diǎn)型奇異積分（包括弱奇異、Cauchy強(qiáng)奇異、Hadamard超奇異積分）的概念與存在條件及一些基本性質(zhì)，并介紹各類奇異積分算子的定義和基本性質(zhì)；第2章簡(jiǎn)略介紹正常積分的數(shù)值方法和加速收斂方法；第3章主要論述一維各類奇異積分與含參數(shù)的奇異積分的高精度算法以及各類奇異積分的加速收斂方法，同時(shí)給出了外推的穩(wěn)定性分析；第4章主要論述各類多維奇異積分與含參的奇異積分的高精度算法以及各類奇異積分的加速收斂方法；第3、4章是本書的核心內(nèi)容；第5章介紹奇異積分與奇異積分算子的漸近展開式。
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目錄
第1章 奇異積分與奇異積分算子 1
1.1 奇異積分 1
1.1.1 無窮限廣義積分 1
1.1.2 無界函數(shù)廣義積分 5
1.1.3 含參變量的廣義積分 7
1.1.4 一維Cauchy強(qiáng)奇異主值積分 16
1.1.5 多維Cauchy強(qiáng)奇異主值積分 21
1.1.6 一維Hadamard超奇異積分與Hadamard意義下的有限部分 23
1.1.7 多維Hadamard超奇異積分的有限部分 26
1.2 積分變換 28
1.2.1 Fourier變換與Fourier積分 28
1.2.2 Laplace變換與逆變換 33
1.2.3 Mellin變換與逆變換 35
1.3 奇異積分算子 36
1.3.1 有界算子和緊算子 36
1.3.2 弱奇異積分算子 38
1.3.3 Volterra型積分算子 42
1.3.4 一維Cauchy強(qiáng)奇異積分算子 44
1.3.5 多維Cauchy強(qiáng)奇異積分算子 47
1.3.6 Hadamard超奇異積分算子 55
1.3.7 擬微分算子(PDO)中的變量替換 59
第2章 數(shù)值積分 63
2.1 一維積分的數(shù)值算法 63
2.1.1 求積公式與求積法 63
2.1.2 Newton-Cotes公式 65
2.1.3 復(fù)合型求積公式 70
2.1.4 Euler-Maclaurin展開式 72
2.1.5 Gauss求積公式 78
2.2 多維積分的數(shù)值算法 82
2.2.1 乘法定理 82
2.2.2 多維近似積分的降維方法 83
2.2.3 多維Euler-Maclaurin展開式 89
2.2.4 被積函數(shù)的周期化 96
2.3 加速收斂方法 100
2.3.1 自變量替換 100
2.3.2 Richardson外推與Romberg算法 106
2.3.3 分裂外推法 109
2.3.4 加速收斂的組合算法 113
第3章 一維奇異積分的高精度算法 116
3.1 一維弱奇異積分的誤差的漸近展開式 116
3.1.1 一維端點(diǎn)弱奇異積分的求積公式與誤差的漸近展開式 116
3.1.2 一維含參弱奇異積分的誤差漸近展開式 125
3.1.3 一維弱奇異積分的積積法 128
3.1.4 端點(diǎn)弱奇異積分的計(jì)算 129
3.2 一維Cauchy奇異積分的定義與計(jì)算 132
3.2.1Cauchy奇異積分的定義與運(yùn)算規(guī)律 132
3.2.2Cauchy奇異積分的計(jì)算公式 133
3.2.3 含有弱奇異與Cauchy奇異積分的計(jì)算 138
3.3 一維Cauchy奇異積分的高精度算法 142
3.3.1 定點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)的Cauchy奇異積分的誤差漸近展開式 142
3.3.2 端點(diǎn)弱奇異與內(nèi)點(diǎn)為Cauchy奇異積分的誤差漸近展開式 145
3.3.3 內(nèi)點(diǎn)為Cauchy奇異積分的加速收斂方法 148
3.3.4 端點(diǎn)弱奇異與內(nèi)點(diǎn)為Cauchy奇異積分的加速收斂方法 150
3.4 一維含參的Cauchy奇異積分的高精度算法 151
3.4.1 含參的Cauchy奇異積分的誤差漸近展開式 151
3.4.2 帶權(quán)的含參的Cauchy奇異積分的數(shù)值算法 154
3.4.3 含參的Cauchy奇異積分的加速收斂方法 163
3.4.4 端點(diǎn)弱奇異與含參的Cauchy奇異積分的加速收斂方法 165
3.5 一維Hadamard超奇異積分的計(jì)算 169
3.5.1 Hadamard超奇異積分的定義與一些運(yùn)算性質(zhì) 169
3.5.2 Hadamard超奇異積分的常用公式 172
3.5.3 混合超奇異積分的計(jì)算 177
3.5.4 高階超奇異積分的計(jì)算 179
3.6 二階Hadamard超奇積分的高精度算法 184
3.6.1 內(nèi)點(diǎn)為奇點(diǎn)的Hadamard超奇異積分的誤差漸近展開式 185
3.6.2 端點(diǎn)弱奇異與內(nèi)點(diǎn)為超奇異積分的加速收斂方法 186
3.7 端點(diǎn)為任意階的超奇異積分的誤差漸近展開式 191
3.7.1 定義在[0,∞)上的超奇異積分誤差的漸近展開式 191
3.7.2 發(fā)散積分的有限部分 196
3.7.3 定義在[0,∞)上的強(qiáng)奇異與超奇積分的Euler-Maclaurin展開式 199
3.7.4 有限區(qū)間上端點(diǎn)為強(qiáng)奇異與超奇異積分的Euler-Maclaurin展開式 201
3.8 含參的任意階超奇異積分的高精度算法 205
3.8.1 含參的任意階超奇積分的誤差漸近展開式 205
3.8.2 數(shù)值算例 212
3.8.3 含參的任意階超奇異積分的加速收斂方法 216
3.8.4 用Newton-Cote公式計(jì)算超奇異積分的超收斂算法 220
3.9 含參的任意階超奇異積分的誤差漸近展開式 (續(xù)) 232
3.9.1 含參的整數(shù)階超奇異積分的Euler-Maclaurin漸近展開式 232
3.9.2 含參的分?jǐn)?shù)階超奇異積分的Euler-Maclaurin漸近展開式 235
3.9.3 外推算法 239
3.9.4 數(shù)值算例 243
3.10 弱、強(qiáng)、超混合型奇異積分的高精度算法 250
3.10.1 端點(diǎn)為混合乘積型奇異積分的Euler-Maclaurin展開式 250
3.10.2 含參的任意階混合乘積型奇異積分的Euler-Maclaurin展開式 264
3.10.3 含參的二階混合乘積型奇異積分的Euler-Maclaurin展開式 267
3.10.4 含參的混合乘積型奇數(shù)階奇異積分的Euler-Maclaurin展開式 276
3.10.5 算例 278
3.10.6 弱、強(qiáng)、超奇異積分的線性組合的高精度算法 280
3.11 無界區(qū)域上奇異積分的高精度算法 289
3.11.1 無界區(qū)域上的奇異積分的求積公式 290
3.11.2 無界區(qū)間上的插值型求積公式 295
3.11.3 無界區(qū)間上的Gauss求積公式 297
3.12 關(guān)于強(qiáng)、超奇異數(shù)值積分的Richardson外推的穩(wěn)定性分析 301
3.12.1 Richardson 外推的穩(wěn)定性分析 301
3.12.2 關(guān)于Q(k)n[g]的Richardson外推的穩(wěn)定性分析 305
3.12.3 被積函數(shù)為周期函數(shù)的數(shù)值算法的穩(wěn)定性分析 309
第4章 多維奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式與分裂外推算法 312
4.1 點(diǎn)型弱奇異積分的誤差單參數(shù)漸近展開式 312
4.1.1 點(diǎn)型弱奇異積分的誤差單參數(shù)Euler-Maclaurin展開式 313
4.1.2 點(diǎn)型弱奇異積分的快速收斂方法 319
4.2 二維乘積型含參弱奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式 327
4.3 多維弱奇異積分誤差的多參數(shù)漸近展開式 333
4.3.1 代數(shù)弱奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式 333
4.3.2 對(duì)數(shù)弱奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式 340
4.3.3 面型弱奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式 341
4.3.4 混合型弱奇異積分的數(shù)值算法 345
4.4 多維含參的弱奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式 349
4.4.1 含參的點(diǎn)型弱奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式 349
4.4.2 多維單純形區(qū)域上的弱奇異積分的數(shù)值方法 353
4.4.3 多維曲邊形區(qū)域上的弱奇異積分的數(shù)值方法 356
4.4.4 多維一般區(qū)域上的弱奇異積分的數(shù)值方法 357
4.4.5 分裂外推算法 358
4.5 二維含參的Cauchy奇異積分的高精度算法 370
4.5.1 含參的點(diǎn)型Cauchy奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式 371
4.5.2 含參的面型Cauchy奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式 379
4.5.3Cauchy奇異積分的分裂外推算法 380
4.5.4 含參的點(diǎn)型Cauchy奇異積分的分離算法 387
4.6 多維超球形區(qū)域上的Cauchy奇異積分的分離算法 396
4.7 二維混合超奇異積分的誤差漸近展開式 397
4.7.1 原點(diǎn)為奇點(diǎn)的超奇異積分的誤差的單參數(shù)漸近展開式 398
4.7.2 原點(diǎn)為奇點(diǎn)的超奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式 413
4.7.3 含參的點(diǎn)型超奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式 419
4.8 面型超奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式 421
4.8.1 原點(diǎn)為奇點(diǎn)的面型超奇異積分的誤差的多參數(shù)漸近展開式 422
4.8.2 含參的乘積型超奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式 439
4.9 多維點(diǎn)型超奇異積分的求積公式與誤差多參數(shù)漸近展開式 443
4.9.1 原點(diǎn)為奇點(diǎn)的超奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式 446
4.9.2 含有對(duì)數(shù)奇異與超奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式 450
4.9.3 含參的超奇異積分的誤差多參數(shù)漸近展開式 451
第5章 奇異積分的漸近展開式 458
5.1 基本概念與基本定理 458
5.2 基本方法 461
5.2.1 分部積分法 461
5.2.2 逐項(xiàng)積分法 464
5.2.3 Laplace方法 468
5.2.4 平穩(wěn)相位法 474
5.2.5 Mellin變換法 479
5.2.6 求積法 491
5.3 幾類典型奇異積分的漸近展開式 496
5.3.1 對(duì)數(shù)奇異積分的漸近展開式 496
5.3.2 Fourier積分的漸近展開式 501
5.3.3 Stieltjes變換與Hilbert 變換 512
5.3.4 分?jǐn)?shù)階積分的漸近展開式 519
5.3.5Cauchy奇異與Hadamard奇異積分算子 521
參考文獻(xiàn) 523
索引 539
《信息與計(jì)算科學(xué)叢書》已出版書目 541
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