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本書結(jié)合作者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和科研成果, 并吸收國內(nèi)外同類教材的優(yōu)點(diǎn)編著, 內(nèi)容包括概率論的基本概念、隨機(jī)變量及其分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析與回歸分析、建模案例與MATLAB實(shí)驗(yàn)等。

　　前言

　　概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是對隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律進(jìn)行演繹和歸納的科學(xué)，是從數(shù)量上研究隨機(jī)現(xiàn)象的客觀規(guī)律的一門基礎(chǔ)學(xué)科，是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分.當(dāng)前，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和軍事技術(shù)中，并且正廣泛與其他學(xué)科互相滲透或結(jié)合，成為近代經(jīng)濟(jì)理論、管理科學(xué)等學(xué)科的應(yīng)用研究的重要工具.因此，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是理工農(nóng)醫(yī)、經(jīng)濟(jì)管理、金融等各類學(xué)生的必修課，是在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、人文科學(xué)中應(yīng)用最廣泛的一門課程.

　　本教材為普通高等學(xué)校非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生編寫，也可供各類需要提高數(shù)學(xué)素質(zhì)和能力的人員使用.本教材在編寫過程中，始終貫徹“以理論為基礎(chǔ)，以應(yīng)用為目標(biāo)”的原則，深入淺出地介紹了概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過程的基本理論、方法及應(yīng)用，注重隨機(jī)現(xiàn)象思想與原理的敘述，特別強(qiáng)調(diào)概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用性.在本教材中，概念、定理及理論敘述準(zhǔn)確、精煉，符合使用標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)范，知識點(diǎn)突出，難點(diǎn)分散，證明和計(jì)算過程嚴(yán)謹(jǐn)，例題、習(xí)題等均經(jīng)過精選，具有代表性和啟發(fā)性.

　　本教材由重慶郵電大學(xué)移通學(xué)院數(shù)理教學(xué)部編寫，潘顯兵提出編寫思想和提綱，靳艷紅和熊歐負(fù)責(zé)部分章節(jié)編寫及全書統(tǒng)稿工作，邊夢柯、陳素素、張學(xué)葉等參與編寫.編寫過程中參閱了大量的相關(guān)教材和資料，并借鑒了部分相關(guān)內(nèi)容，重慶郵電大學(xué)理學(xué)院的鮮思東教授對全部內(nèi)容進(jìn)行了審閱并提出寶貴意見.另外，本書的出版得到清華大學(xué)出版社的大力支持，在此一并表示衷心感謝.

　　由于編者的水平有限，教材中難免有不妥之處，希望讀者提出寶貴意見.

　　編者

　　2017年4月

　　第1章事件與概率

　　自然界和社會上發(fā)生的現(xiàn)象是各式各樣的，有一類現(xiàn)象，在一定條件下必然發(fā)生，這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.例如，太陽從東方升起;水在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下溫度達(dá)到100℃時必然沸騰;同性電荷相互排斥，異性電荷相互吸引等.在自然界和社會上也存在另一類現(xiàn)象,在一定的條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，且在試驗(yàn)或觀察之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)，這類現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.例如,擲一枚均勻的硬幣，其結(jié)果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次拋擲之前無法確定拋擲的結(jié)果是什么;又如,在軍訓(xùn)射擊時，用同一步槍向同一目標(biāo)射擊，每次彈著點(diǎn)不盡相同，且在每一次射擊之前無法預(yù)測彈著點(diǎn)的確切位置.

　　人們經(jīng)過長期的實(shí)踐和深入研究后，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察下，結(jié)果呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.例如，多次重復(fù)擲一枚均勻硬幣得到正面朝上的結(jié)果大致有一半;同一步槍射擊同一目標(biāo)的彈著點(diǎn)按照一定的規(guī)律分布.隨機(jī)現(xiàn)象的這種在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，我們稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)科學(xué).

　　1.1隨機(jī)事件

　　1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)

　　人們是通過觀察和試驗(yàn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象的，為對隨機(jī)現(xiàn)象加以研究所進(jìn)行的觀察或試驗(yàn)，稱為試驗(yàn).若一個試驗(yàn)具有下列三個特點(diǎn)：

　　(1)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；

　　(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；

　　(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)，

　　則稱這一試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)（randomtrial），通常用E表示.

　　例1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)的例子.

　　(1)E1：拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.

　　(2)E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.

　　(3)E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù).

　　(4)E4：記錄一天內(nèi)進(jìn)入某商場的顧客數(shù).

　　(5)E5：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命.

　　(6)E6：記錄某一地區(qū)一晝夜的最低溫度和最高溫度.

　　1.1.2樣本空間和樣本點(diǎn)

　　對于隨機(jī)試驗(yàn)，盡管在每次試驗(yàn)之前不能確定試驗(yàn)的結(jié)果，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是已知的，我們將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間(Space)，記為S.樣本空間的元素，即E的每個結(jié)果，稱為樣本點(diǎn).

　　例1.1.2請給出例1.1.1中隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間.

　　解(1)S1={H,T}；

　　(2)S2={HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT}；

　　(3)S3={0,1,2,3}；

　　(4)S4={0,1,2,…}；

　　(5)S5={t|t≥0}；

　　(6)S6={(x,y)|T0≤x≤y≤T1},這里x表示最低溫度，y表示最高溫度，并設(shè)這一地區(qū)溫度不會小于T0也不會大于T1.

　　需要注意的是：

　　(1)樣本空間中的元素可以是數(shù)，也可以不是數(shù).

　　(2)樣本空間中的元素個數(shù)可以是有限的，也可以是無限的，但至少含有兩個元素.

　　(3)樣本空間中的元素由試驗(yàn)?zāi)康拇_定.

　　1.1.3隨機(jī)事件

　　一般地，我們稱試驗(yàn)E的樣本空間S的子集為E的隨機(jī)事件，簡稱事件，通常用大寫字母A,B,C，…表示.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)時，稱這一事件發(fā)生,否則稱事件不發(fā)生.例如，在擲骰子的試驗(yàn)中，可以用A表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”這個事件，若試驗(yàn)結(jié)果是“出現(xiàn)6點(diǎn)”，就稱事件A發(fā)生;若試驗(yàn)結(jié)果是“出現(xiàn)1點(diǎn)”，就稱事件A不發(fā)生.

　　特別地，由一個樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集，稱為基本事件.例如，在擲骰子的試驗(yàn)中有六個基本事件{1}，{2}，…，{6}.每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生的事件，稱為必然事件.由于樣本空間S包含所有的樣本點(diǎn)，它是S自身的子集，且在每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生的，故它就是一個必然事件.因而必然事件我們也用S表示.在每次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件.空集不包含任何樣本點(diǎn)，它作為樣本空間的子集，在每次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生，故它就是一個不可能事件.因而不可能事件也用表示.

　　例1.1.3在擲一顆骰子觀察點(diǎn)數(shù)的試驗(yàn)中,令事件A表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5”，事件D表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是不小于3的偶數(shù)”.請寫出隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及事件包含的樣本點(diǎn).

　　解S={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4}，D={4,6}.

　　1.1.4事件的關(guān)系與運(yùn)算

　　事件是一個集合，因而事件間的關(guān)系與運(yùn)算自然按照集合論中集合之間的關(guān)系和運(yùn)算來處理.根據(jù)“事件發(fā)生”的含義，給出它們在概率論中的含義.設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，而A,B,Ak(k=1,2,…)是S的子集.

　　1.包含關(guān)系若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)，記為BA(或AB)(見圖1.1.1).

　　為了方便起見，規(guī)定對于任一事件A，有AS.

　　2.相等關(guān)系若事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即BA且AB,則稱事件A與事件B相等，記為A=B.

　　3.事件的和事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這一事件稱為事件A與事件B的并(和)，記為A∪B(見圖1.1.2).

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