第一章 預(yù)備知識 1
第一節(jié) 微分方程的相關(guān)概念與分類 1
一、微分方程的相關(guān)概念 1
二、微分方程的分類 2
第二節(jié) 數(shù)值分析的工具 3
本章要求及小結(jié) 6
習(xí)題一 6
第二章 常微分方程的數(shù)值解法 7
第一節(jié) 歐拉（Euler）方法 8
一、歐拉方法 8
二、梯形方法 9
三、改進的歐拉方法 11
第二節(jié) 誤差分析的相關(guān)概念 12
一、局部截斷誤差與相容性 12
二、穩(wěn)定性 13
三、收斂性 14
四、收斂階的數(shù)值意義 15
第三節(jié) 龍格-庫塔（Runge-Kutta）
方法 15
一、泰勒級數(shù)方法 16
二、龍格-庫塔方法? 17
第四節(jié) 線性多步法 20
一、線性多步法 21
二、阿當姆斯方法 24
三、預(yù)估―校正方法 26
第五節(jié) 一階方程組及高階方程初值問題
的解法 27
一、一階方程組初值問題的解法 27
二、高階方程初值問題的解法 29
第六節(jié) 兩點邊值問題的解法 30
一、打靶法求解兩點狄利克萊邊值
問題 30
二、打靶法求解兩點混合邊值問題 32
三、差分法求解兩點狄利克萊邊值
問題 33
四、差分法求解兩點混合邊值問題 36
第七節(jié) 高精度算法 39
一、理查德森（Richardson）外推法 39
二、緊差分方法 42
本章參考文獻 43
本章要求及小結(jié) 43
習(xí)題二 44
第三章 拋物型偏微分方程的有限差分法 46
第一節(jié) 向前歐拉方法 46
一、向前歐拉格式 46
二、向前歐拉格式解的存在唯一性、
穩(wěn)定性和收斂性分析 48
三、數(shù)值算例 52
第二節(jié) 向后歐拉方法 55
一、向后歐拉格式 55
二、向后歐拉格式解的存在唯一性、
穩(wěn)定性和收斂性分析 57
三、數(shù)值算例 57
第三節(jié) Crank-Nicolson方法 60
一、理查德森差分格式 61
二、Crank-Nicolson差分格式 65
三、Crank-Nicolson格式解的存在唯一性、
穩(wěn)定性和收斂性分析 67
四、數(shù)值算例 68
第四節(jié) 高精度算法 69
一、理查德森外推法 70
二、緊差分方法 76
第五節(jié) 混合邊界條件下的差分方法 80
一、幾種差分格式的建立 81
二、差分格式穩(wěn)定性的討論 84
三、數(shù)值算例 87
第六節(jié) 二維拋物型方程的交替方向隱
格式 89
一、向前歐拉格式 90
二、Crank-Nicolson格式 91
三、交替方向隱（ADI）格式 94
四、關(guān)于添加輔助項的說明 97
五、數(shù)值算例 100
第七節(jié) 二維拋物型方程的緊交替方向
隱式方法 101
一、二維緊差分格式 101
二、緊交替方向隱格式 103
三、緊ADI格式的收斂性分析 105
四、數(shù)值算例 105
本章參考文獻 106
本章要求及小結(jié) 107
習(xí)題三 107
第四章 雙曲型偏微分方程的有限差分法 110
第一節(jié) 一階雙曲型方程的若干差分
方法 110
一、精確解所具有的波的傳播性質(zhì)及
對初值的局部依賴性 110
二、迎風(fēng)格式 111
三、一個完全不穩(wěn)定的差分格式 113
四、蛙跳（Leapfrog）格式 113
五、Lax-Friedrichs 格式 115
六、Lax-Wendroff格式 116
七、Beam-Warming格式 116
八、隱格式的設(shè)計 117
九、Courant-Friedrichs-Lewy條件 118
十、數(shù)值算例 119
十一、推廣 120
第二節(jié) 二階雙曲型方程的顯式差分法 122
一、三層顯差分格式的建立 122
二、顯格式的穩(wěn)定性、收斂性分析 123
三、改進的三層顯格式 126
四、數(shù)值算例 127
第三節(jié) 二階雙曲型方程的隱式差
分法 128
一、隱差分格式的建立 128
二、隱格式的穩(wěn)定性、收斂性分析 130
三、數(shù)值算例 131
第四節(jié) 二階雙曲型方程的緊差分
方法 131
一、緊差分格式的建立 131
二、緊差分格式的穩(wěn)定性、收斂性
分析 133
三、數(shù)值算例 135
第五節(jié) 二維雙曲型方程的交替方向
隱格式 135
一、顯差分格式 135
二、交替方向隱格式 137
三、交替方向隱格式的穩(wěn)定性、收斂性
分析 140
四、二維拋物型方程交替方向隱格式的
穩(wěn)定性 142
五、數(shù)值算例 142
第六節(jié) 二維雙曲型方程的緊交替方向
隱式方法 143
一、二維緊差分格式 143
二、緊交替方向隱格式 145
三、緊交替方向隱格式的穩(wěn)定性、
收斂性分析 146
四、二維拋物型方程緊交替方向隱格式
的穩(wěn)定性 148
五、數(shù)值算例 148
本章參考文獻 149
本章要求及小結(jié) 150
習(xí)題四 150
第五章 橢圓型偏微分方程的有限差分法 155
第一節(jié) 五點菱形差分方法 155
一、五點菱形格式 155
二、五點菱形格式的收斂性分析 159
三、數(shù)值算例 162
第二節(jié) 九點緊差分方法 162
一、九點緊差分格式 163
二、九點緊差分格式的收斂性分析 165
三、數(shù)值算例 170
第三節(jié) 混合邊界條件下的差分方法 170
一、二階差分格式 171
二、差分格式的收斂性分析 176
三、數(shù)值算例 176
本章參考文獻 177
本章要求及小結(jié) 177
習(xí)題五 177
第六章 有限元法簡介 182
第一節(jié) 一個引例 182
一、常微分方程兩點邊值問題的等價
形式 182
二、模型問題的有限元法 184
三、有限元法的編程 185
四、有限元法的收斂性分析 188
五、數(shù)值算例 189
第二節(jié) 變分原理與弱解 190
一、原問題的等價變分形式 191
二、Lax-Milgram定理 192
第三節(jié) 有限元空間的構(gòu)造 194
一、對區(qū)域 ? 的剖分 194
二、三角形一次元 194
三、一次元的基函數(shù)與面積坐標 195
四、三角形二次元及其基函數(shù) 196
第四節(jié) 有限元法的實現(xiàn) 198
一、單元剛度矩陣及單元荷載 198
二、總剛度矩陣和總荷載的合成 199
三、邊界條件的處理 200
四、數(shù)值算例 200
第五節(jié) 拋物型方程初邊值問題的有限
元方法 201
一、原方程的變分形式 201
二、用有限元法進行空間半離散 202
三、用差分法進行時間全離散 203
四、相關(guān)量的數(shù)值計算 203
五、編程時的一些說明 204
六、數(shù)值算例 204
本章參考文獻 205
本章要求及小結(jié) 205
習(xí)題六 205
附錄A 二階線性偏微分方程的變換與分類 207
附錄B 四階龍格－庫塔方法的推導(dǎo) 212
附錄C 解線性方程組的迭代法 217