本書內(nèi)容包括常微分方程初值、邊值問題的數(shù)值解法，拋物型、雙曲型及橢圓型偏微分方程的差分解法，偏微分方程和邊界積分方程的有限元解法和邊界元解法．本書選材力求通用而新穎，既介紹了在科學和工程計算中常用的典型數(shù)值計算方法，又包含了近年計算數(shù)學研究的一些新的進展，包括作者本人的若干研究成果．本書以介紹微分方程的數(shù)值求解方法為主，但也涉及有關(guān)的理論，敘述和論證力求既深入淺出，又嚴格準確．
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兩位作者在計算數(shù)學領(lǐng)域有很深的造詣。余德浩教授曾獲得國家自然科學二等獎、中國科學院自然科學一等獎，以及*有突出貢獻專家的榮譽稱號。湯華中教授也曾獲得國家杰出青年基金和馮康科學計算獎。推薦閱讀！
目錄
第二版前言
第一版前言
第 1 章 常微分方程初、邊值問題數(shù)值解法 1
1.1 引言 1
1.2 Euler方法 3
1.2.1 Euler方法及其幾何意義 3
1.2.2 Euler方法的誤差分析 4
1.2.3 Euler方法的穩(wěn)定性 6
1.2.4 改進的Euler方法 7
1.3 Runge-Kutta方法 8
1.3.1 顯式Runge-Kutta方法 8
1.3.2 隱式Runge-Kutta方法 13
1.3.3 半隱式Runge-Kutta方法 16
1.3.4 單步法的穩(wěn)定性和收斂性 17
1.4 線性多步方法 20
1.4.1 Adams外插法 20
1.4.2 Adams內(nèi)插法 24
1.4.3 一般線性多步公式 26
1.5 線性多步法的穩(wěn)定性和收斂性 29
1.5.1 線性差分方程 29
1.5.2 線性多步法的局部截斷誤差 32
1.5.3 線性多步法的穩(wěn)定性和收斂性 35
1.5.4 絕對穩(wěn)定性 40
1.6 預估-校正算法 47
1.7 剛性方程組的解法 54
1.8 解常微分方程邊值問題的試射法 58
1.8.1 二階線性常微分方程的試射法 60
1.8.2 二階非線性常微分方程的試射法 61
1.9 解兩點邊值問題的有限差分方法 63
1.9.1 有限差分近似的基本概念 64
1.9.2 用差商代替導數(shù)的方法 66
1.9.3 積分插值法 68
1.9.4 解三對角方程組的追趕法 70
1.10 Hamilton系統(tǒng)的辛幾何算法 71
1.10.1 辛幾何與辛代數(shù)的基本概念 73
1.10.2 線性Hamilton系統(tǒng)的辛差分格式 76
1.10.3 辛Runge-Kutta方法 79
習題1 82
第 2 章 拋物型方程的差分方法 86
2.1 有限差分格式的基礎(chǔ) 89
2.2 一維拋物型方程的差分方法 95
2.2.1 常系數(shù)熱傳導方程 95
2.2.2 變系數(shù)熱傳導方程 103
2.3 差分格式的穩(wěn)定性和收斂性 106
2.3.1 圖方法 106
2.3.2 穩(wěn)定性分析的矩陣方法 108
2.3.3 Gerschgorin定理及其應用 120
2.3.4 穩(wěn)定性分析的Fourier方法 124
2.3.5 Kreiss矩陣定理 132
2.3.6 能量方法 142
2.3.7 差分方程的收斂性 145
2.4 二維拋物型方程的差分方法 147
2.4.1 顯式差分格式 148
2.4.2 隱式差分格式 151
2.4.3 差分格式的穩(wěn)定性分析 153
2.4.4 交替方向隱式差分格式 156
2.4.5 輔助應變量的邊界條件 161
習題2 163
第 3 章 雙曲型方程的差分方法 168
3.1 一維雙曲型方程的特征線方法 168
3.1.1 一階線性雙曲型方程 168
3.1.2 一階擬線性雙曲型方程 171
3.1.3 二階擬線性雙曲型方程 174
3.2 一維一階線性雙曲型方程的差分方法 179
3.2.1 雙曲型方程的初值問題 179
3.2.2 雙曲型方程的初邊值問題 190
3.3 一維一階線性雙曲型方程組的差分方法 191
3.3.1 Lax-Friedrichs格式 192
3.3.2 Lax-Wendroff格式 194
3.3.3 Courant-Isaacson-Rees格式 196
3.4 高維一階線性雙曲型方程的差分方法 201
3.4.1 Lax-Wendro格式 202
3.4.2 顯式MacCormack格式 203
3.4.3 Strang分裂格式 204
3.5 二階線性雙曲型方程的差分方法 207
3.5.1 一維波動方程 207
3.5.2 二維波動方程 213
3.6 擬線性雙曲型守恒律的差分方法 218
3.6.1 守恒律與弱解 218
3.6.2 熵條件和可容許解 228
3.6.3 守恒型差分方法 232
3.6.4 高分辨TVD格式 239
習題3 254
第 4 章 橢圓型方程的差分方法 258
4.1 Poisson方程邊值問題的差分方法 259
4.1.1 五點差分格式 259
4.1.2 邊界條件的離散 260
4.2 極坐標下Poisson方程的差分方法 266
4.3 Poisson方程的有限體積方法 267
4.4 差分方法的收斂性和誤差估計 271
4.4.1 離散邊值問題的可解性 271
4.4.2 差分格式的收斂性和誤差估計 272
4.5 一般二階線性橢圓型方程差分方法 274
4.6 橢圓型差分方程的迭代解法 278
4.6.1 迭代法的基本理論 278
4.6.2 Jacobi迭代方法和Gauss-Seidel迭代方法 281
4.6.3 逐次超松弛迭代法 287
4.6.4 相容次序和性質(zhì) A 289
4.6.5 共軛梯度方法 294
4.7 多重網(wǎng)格方法 301
4.7.1 雙重網(wǎng)格方法 302
4.7.2 多重網(wǎng)格方法 307
習題4 309
第 5 章 有限元方法 312
5.1 引言 312
5.2 變分原理 312
5.2.1 一個典型例子 312
5.2.2 二次泛函的變分問題 315
5.2.3 Ritz法與Galerkin 法 317
5.3 幾何剖分與分片插值 319
5.3.1 三角形單元剖分 320
5.3.2 三角形線性元與面積坐標 322
5.3.3 其他三角形Lagrange型單元 326
5.3.4 三角形Hermite型單元 329
5.3.5 矩形Lagrange型單元 331
5.3.6 矩形Hermite型單元 335
5.3.7 變分問題的有限元離散化 337
5.4 Sobolev空間初步 340
5.4.1 廣義導數(shù) 340
5.4.2 Sobolev空間Hk()與Hk0()342
5.4.3 嵌入定理與跡定理 343
5.4.4 等價模定理 345
5.5 協(xié)調(diào)元的誤差分析 346
5.5.1 Lax-Milgram 定理 346
5.5.2 典型邊值問題的適定性 348
5.5.3 投影定理 351
5.5.4 收斂性與誤差估計 353
5.6 非協(xié)調(diào)有限元 356
5.6.1 非協(xié)調(diào)元的例子 356
5.6.2 非協(xié)調(diào)元的收斂性 357
5.7 自適應有限元 358
5.7.1 自適應方法簡介 358
5.7.2 后驗誤差估計 359
習題5 363
第 6 章 邊界元方法 372
6.1 引言 372
6.2 經(jīng)典邊界歸化 373
6.2.1 調(diào)和邊值問題、Green公式和基本解 373
6.2.2 間接邊界歸化 376
6.2.3 直接邊界歸化 380
6.3 自然邊界歸化 382
6.3.1 自然邊界歸化原理 382
6.3.2 典型域上的自然邊界歸化 384
6.3.3 自然積分算子的性質(zhì) 389
6.4 邊界積分方程的數(shù)值解法 390
6.4.1 配置法 390
6.4.2 Galerkin法 391
6.4.3 一類超奇異積分方程的數(shù)值解法 392
6.5 有限元邊界元耦合法 393
6.5.1 有限元法與邊界元法比較 393
6.5.2 自然邊界元與有限元耦合法原理 394
6.6 無窮遠邊界條件的近似 397
6.6.1 人工邊界上的近似邊界條件 397
6.6.2 近似積分邊界條件與誤差估計 400
6.7 區(qū)域分解算法 400
6.7.1 有界區(qū)域的區(qū)域分解算法 400
6.7.2 基于邊界歸化的區(qū)域分解算法 403
習題6 406
參考文獻 409
附錄 馮康院士與科學計算 412
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